Giải SGK Toán 10 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 1

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 1

Giải toán lớp 10 trang 27 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 27 Toán lớp 10: Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

a) ${a} \in {a; b; c; d}$

b) $\emptyset = {0}$

c) ${a; b; c; d} \in {b; a; d; c}$

d) ${a; b; c} \subset {a; b; c}$

Phương pháp giải:

Mệnh đề là những câu, phát biểu đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai.

Lời giải:

a) ${a} \in {a; b; c; d}$ là mệnh đề sai, vì không có quan hệ $\in$ giữa hai tập hợp.

b) $\emptyset = {0}$ là mệnh đề sai, vì tập rỗng là tập không có phần tử nào, còn tập {0} có một phần tử là 0.

c) ${a; b; c; d} = {b; a; d; c}$ là mệnh đề đúng (có thể thay đổi tùy ý vị trí các phần tử trong một tập hợp).

d) ${a; b; c} \subset {a; b; c}$ là mệnh đề đúng, vì các phần tử a,b,c đều thuộc tập hợp ${a; b; c}$

Bài 2 trang 27 Toán lớp 10: Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

a) Nếu $2 a - 1 > 0$ thì $a > 0$ (a là số thực cho trước).

b) $a - 2 > b$ nếu và chỉ nếu $a > b + 2$ (a, b là hai số thực cho trước).

Lời giải:

a) Mệnh đề có dạng $P \Rightarrow Q$ với P: “ $2 a - 1 > 0$ ” và Q: “ $a > 0$ ”

Ta thấy khi P đúng (tức là $a > \frac{1}{2}$ ) thì Q cũng đúng. Do đó, $P \Rightarrow Q$ đúng.

b) Mệnh đề có dạng $P \Leftrightarrow Q$ với P: “ $a - 2 > b$ ” và Q: “ $a > b + 2$ ”

Khi P đúng thì Q cũng đúng, do đó, $P \Rightarrow Q$ đúng.

Khi Q đúng thì P cũng đúng, do đó, $Q \Rightarrow P$ đúng.

Vậy mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ đúng.

Bài 3 trang 27 Toán lớp 10: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, phát biểu lại các định lí sau:

a) Nếu $B \subset A$ thì $A \cup B = A$ (A, B là hai tập hợp);

b) Nếu hình bình hành ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau thì nó là hình thoi.

Phương pháp giải:

Mệnh đề trên có dạng “Nếu P thì Q” là mệnh đề kéo theo, có thể phát biểu là:

P là điều kiện đủ để có Q

Q là điều kiện cần để có P.

Lời giải:

a) Mệnh đề trên có dạng “Nếu P thì Q” là mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ , với:

P: “ $B \subset A$ ” và Q: “ $A \cup B = A$ ”. Có thể phát biểu dưới dạng:

$B \subset A$ là điều kiện đủ để có $A \cup B = A$

$A \cup B = A$ là điều kiện cần để có $B \subset A$

b) Mệnh đề trên có dạng “Nếu P thì Q” là mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ , với:

P: “Hình bình hành ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau” và Q: “ABCD là hình thoi”. Có thể phát biểu dưới dạng:

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện đủ để ABCD là hình thoi.

ABCD là hình thoi là điều kiện cần để có ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Bài 4 trang 27 Toán lớp 10: Cho định lí: “ $\forall x \in R, x \in Z$ nếu và chỉ nếu $x + 1 \in Z$ ”. Phát biểu lại định lí này sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”.

Phương pháp giải:

Mệnh đề trên có dạng “P nếu và chỉ nếu Q”, là một mệnh đề tương đương.

Có thể phát biểu là: “P là điều kiện cần và đủ để có Q” (hoặc “Q là điều kiện cần và đủ để có P”)

Lời giải:

Mệnh đề trên có dạng “P nếu và chỉ nếu Q”, là một mệnh đề tương đương với P: “ $x \in Z$ ” và Q: “ $x + 1 \in Z$ ” ( $x \in R$ )

Phát biểu:

“ $\forall x \in R, x \in Z$ là điều kiện cần và đủ để có $x + 1 \in Z$ ”

Hoặc “ $\forall x \in R, x + 1 \in Z$ là điều kiện cần và đủ để có $x \in Z$ ”

Bài 5 trang 27 Toán lớp 10: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) $\forall x \in N, x^{3} > x$

b) $\exists x \in Z, x \notin N$

c) $\forall x \in R,$ nếu $x \in Z$ thì $x \in Q$

Lời giải:

a) Mệnh đề “ $\forall x \in N, x^{3} > x$ ” sai vì $0 \in N$ nhưng $0^{3} = 0.$

b) Mệnh đề “ $\exists x \in Z, x \notin N$ ” đúng, chẳng hạn $- 2 \in Z, - 2 \notin N .$

c) Mệnh đề “ $\forall x \in R,$ nếu $x \in Z$ thì $x \in Q$ ” đúng vì $Z \subset Q .$

Bài 6 trang 27 Toán lớp 10: Xét quan hệ bao hàm giữa các tập hợp dưới đây. Vẽ biểu đồ Ven thể hiện các quan hệ bao hàm đó.

A là tập hợp các hình tứ giác;

B là tập hợp các hình bình hành;

C là tập hợp các hình chữ nhật;

D là tập hợp các hình vuông;

E là tập hợp các hình thoi.

Phương pháp giải:

Tìm mối liên hệ bao hàm giữa các tập hợp.

Lời giải:

Ta có:

Mỗi hình chữ nhật là một hình bình hành đặc biệt (có một góc vuông). Do đó: $C \subset B$

Mỗi hình thoi là một hình bình hành đặc biệt (có hai cạnh kề bằng nhau). Do đó: $E \subset B$

Mỗi hình bình hành là một hình tứ giác (có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau). Do đó: $B \subset A$

$C \cap E$ là tập hợp các hình vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi, hay là hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau (hình vuông). Do đó: $C \cap E = D$

Kết hợp lại ta có: ${\begin{cases} D \subset C \subset B \subset A, \\ D \subset E \subset B \subset A, \\ C \cap E = D \end{cases}$

Biểu đồ Ven:

Bài 7 trang 27 Toán lớp 10: a) Hãy viết tất cả các tập hợp con của tập hợp $A = {a; b; c}$

b) Tìm tất cả các tập hợp B thỏa mãn điều kiện ${a; b} \subset B \subset {a; b; c; d}$

Phương pháp giải:

$B \subset A$ nếu mọi phần tử của B cũng là phần tử của A.

Lời giải:

a) Các tập hợp con của tập hợp $A = {a; b; c}$ gồm:

+) Tập rỗng: $\emptyset$

+) Tập con có 1 phần tử: ${a}, {b}, {c} .$

+) Tập con có 2 phần tử: ${a; b}, {b; c}, {c; a} .$

+) Tập hợp A.

b) Tập hợp B thỏa mãn ${a; b} \subset B \subset {a; b; c; d}$ là:

+) $B = {a; b}$

+) $B = {a; b; c}$

+) $B = {a; b; d}$

+) $B = {a; b; c; d}$

Chú ý

Mọi tập hợp A luôn có hai tập con là $\emptyset$ và A.

Bài 8 trang 27 Toán lớp 10: Cho $A = {x \in R | x^{2} - 5 x - 6 = 0},$ $B = {x \in R | x^{2} = 1} .$ Tìm $A \cap B, A \cup B, A ∖ B, B ∖ A .$

Phương pháp giải:

Liệt kê các phần tử của A và B.

$A \cap B = {x \in A | x \in B}$

$A \cup B = {x | x \in A$ hoặc $x \in B} .$

$A ∖ B = {x \in A | x \notin B}$

$B ∖ A = {x \in B | x \notin A}$

Lời giải:

Phương trình $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ có hai nghiệm là -1 và 6, nên $A = {- 1; 6}$

Phương trình $x^{2} = 1$ có hai nghiệm là 1 và -1, nên $B = {- 1; 1}$

Do đó

$\begin{array}{l} A \cap B = {- 1}, \\ A \cup B = {- 1; 1; 6}, \\ A ∖ B = {6}, \\ B ∖ A = {1}, \end{array}$

Bài 9 trang 27 Toán lớp 10: Cho $A = {x \in R | 1 - 2 x \leq 0},$ $B = {x \in R | x - 2 < 0} .$ Tìm $A \cap B, A \cup B .$

Phương pháp giải:

Liệt kê các phần tử của A và B.

$A \cap B = {x \in A | x \in B}$

$A \cup B = {x | x \in A$ hoặc $x \in B} .$

Lời giải:

Ta có:

Bất phương trình $1 - 2 x \leq 0$ có nghiệm là $x \leq \frac{1}{2}$ hay $A = (- \infty; \frac{1}{2}]$

Bất phương trình $x - 2 < 0$ có nghiệm là $x < 2$ hay $B = (- \infty; 2)$

Do đó $A \subset B \Rightarrow$ $A \cup B = A, A \cap B = B .$

$A \cup B = (- \infty; 2)$

$A \cap B = (\frac{1}{2}; 2)$

Bài 10 trang 27 Toán lớp 10: Lớp 10C có 45 học sinh, trong đó có 18 học sinh tham gia cuộc thi vẽ đồ họa trên máy tính, 24 học sinh tham gia cuộc thi tin học văn phòng cấp trường và 9 học sinh không tham gia cả hai cuộc thi này. Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp 10C tham gia đồng thời hai cuộc thi?

Phương pháp giải:

Gọi A là tập hợp các học sinh tham gia cuộc thi vẽ đồ họa trên máy tính và B là tập hợp các học sinh tham gia cuộc thi tin học văn phòng cấp trường.

Vẽ biểu đồ Ven.

Lời giải:

Gọi X là tập hợp các học sinh của lớp 10C.

A là tập hợp các học sinh tham gia cuộc thi vẽ đồ họa trên máy tính,

B là tập hợp các học sinh tham gia cuộc thi tin học văn phòng cấp trường.

Theo biểu đồ Ven ta có: $n (A) = 18, n (B) = 24, n (X) = 45.$

$n (A \cup B)$ là số học sinh tham gia ít nhất một trong hai cuộc thi, bằng: 45 -9 = 36 (học sinh)

Mà $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ (do các học sinh tham gia cả 2 cuộc thi được tính hai lần)

Suy ra số học sinh tham gia cả 2 cuộc thi là: $n (A \cap B) = 18 + 24 - 36 = 6$

Vậy có 6 học sinh của lớp 10C tham gia đồng thời hai cuộc thi.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Các phép toán trên tập hợp

Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương 2

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy