Cho tam giác vuông ABC. Từ một điểm M bất kì trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng: BD2+CE2+AF2=DC2+EA2+FB2

Câu hỏi:

Cho tam giác vuông ABC. Từ một điểm M bất kì trong tam giác kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng: $B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2=D{C}^2+E{A}^2+F{B}^2$

Trả lời:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BDM, ta có:$B{M}^2=B{D}^2+D{M}^2\Rightarrow B{D}^2=B{M}^2–D{M}^2$    (1)Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CEM, ta có:$C{M}^2=C{E}^2+E{N}^2\Rightarrow C{E}^2=C{M}^2–E{M}^2$    (2)Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AFM, ta có:$A{M}^2=A{F}^2+F{M}^2\Rightarrow A{F}^2=A{M}^2–F{M}^2$   (3)Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:$B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2=B{M}^2–D{M}^2+C{M}^2–E{M}^2+A{M}^2–F{M}^2$  (4)Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BFM, ta có:$B{M}^2=B{F}^2+F{M}^2$     (5)Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CDM, ta có:$C{M}^2=C{D}^2+D{M}^2$     (6)Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AEM, ta có:$A{M}^2=A{E}^2+E{M}^2$     (7)Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:$B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2=B{F}^2+F{M}^2–D{M}^2+C{D}^2+D{M}^2–E{M}^2+A{E}^2+E{M}^2–F{M}^2=D{C}^2+E{A}^2+F{B}^2$Vậy $B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2=D{C}^2+E{A}^2+F{B}^2$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Xét hình 1. Chứng minh ΔAHB ∼ ΔCHA. Từ đó suy ra hệ thức (2).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét hình 1. Chứng minh ΔAHB ∼ ΔCHA. Từ đó suy ra hệ thức (2).
   

   Trả lời:

   Xét ΔABH và ΔCAH có:
   ∠(AHB) = ∠(AHC) = 90o
   ∠(BAH) = ∠(ACH) (cùng phụ ∠(CAH))
   ⇒ ΔABH ∼ ΔCAH (g.g)
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Xét hình 1. Hãy chứng minh hệ thức (3) bằng tam giác đồng dạng.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét hình 1. Hãy chứng minh hệ thức (3) bằng tam giác đồng dạng.

   Trả lời:

   Xét tam giác ABC vuông tại A có
   SABC = 1/2 AB.AC
   Xét tam giác ABC có AH là đường cao
   ⇒ SABC = 1/2 AH.BC
   ⇒ 1/2 AB.AC = 1/2 AH.BC ⇒ AB.AC = AH.BC hay bc = ah

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.4a, b) Hình 4
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.4a, b)
   
   Hình 4

   Trả lời:

   – Hình a
   Theo định lí Pitago ta có:
   
   Áp dụng định lí 1 ta có:
   
   – Hình b
   Áp dụng định lí 1 ta có:
   
   => y = 20 – 7,2 = 12,8

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.5) Hình 5
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.5)
   
   Hình 5

   Trả lời:

   Áp dụng định lí 1 ta có:
   
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.6) Hình 6
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.6)
   
   Hình 6

   Trả lời:

   Áp dụng định lí Pitago ta có:
   
   Áp dụng định lí 3 ta có:
   
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====