Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, các đường cao là BM và CN. Gọi D là trung điểm cạnh BC. Gọi G là giao điểm của BM và CN. Xác định vị trí tương đối của điểm G và điểm A với đường tròn đi qua bốn điểm B, N, M, C

Câu hỏi:

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, các đường cao là BM và CN. Gọi D là trung điểm cạnh BC. Gọi G là giao điểm của BM và CN. Xác định vị trí tương đối của điểm G và điểm A với đường tròn đi qua bốn điểm B, N, M, C

A. Điểm G nằm ngoài đường tròn; điểm A nằm trong đường tròn

B. Điểm G nằm trong đường tròn; điểm A nằm ngoài đường tròn

Đáp án chính xác

C. Điểm G và A cùng nằm trên đường tròn

D. Điểm G và A cùng nằm ngoài đường tròn

Trả lời:

Đáp án BGọi D là trung điểm BCXét hai tam giác vuông BNC và BMC có ND, MD là hai đường trung tuyến$\Rightarrow DN=DB=DC=DM=\frac{BC}{2}$ nên bốn điểm B, N, M, C cùng thuộc đường tròn tâm D bán kính $\frac{BC}{2}$Do đó ta xác định được vị trí tương đối của điểm G với đường tròn tâm D bán kính $\frac{BC}{2}$Gọi cạnh của tam giác đều ABC là a (a > 0)Ta có G là trực tâm $∆$ABC nên G cũng là trọng tâm $∆$ABC suy ra $GD=\frac{1}{3}AG$D là trung điểm $BC\Rightarrow AD\perp BD; DC=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$Theo định lý Pytago cho tam giác vuông ADC ta có:$AD=\sqrt{A{C}^2-D{C}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow GD=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$Nhận thấy $GD=\frac{a\sqrt{3}}{6}<\frac{a}{2}=\frac{BC}{2}$ nên điểm G nằm trong đường tròn tâm D bán kính $\frac{BC}{2}$Và $AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}>\frac{a}{2}=\frac{BC}{2}$ nên điểm A nằm ngoài đường tròn tâm D bán kính $\frac{BC}{2}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi E là giao điểm của CM và DN. Tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, D, E, M là?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi E là giao điểm của CM và DN. Tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, D, E, M là?

   A. Trung điểm của DM

   Đáp án chính xác

   B. Trung điểm của DB

   C. Trung điểm của DE

   D. Trung điểm của DA

   Trả lời:

   Đáp án A+) Ta có $∆DCN = ∆CMB (c – g – c)$$\Rightarrow \widehat{CDN}=\widehat{ECN}$ nên $\widehat{CNE}+\widehat{ECN}=\widehat{CNE}+\widehat{CDN} = {90}^o$Suy ra góc $\widehat{CEN} = {90}^o \Rightarrow CM \perp DN$+) Gọi I là trung điểm của DM.Xét tam giác vuông ADM ta có $AI=ID=IM=\frac{DM}{2}$ . Xét tam giác vuông DEM ta có $EI=ID=IM=\frac{DM}{2}$  Nên $EI=ID=IM=IA=\frac{DM}{2}$Do đó bốn điểm A, D, E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính $\frac{DM}{2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình vuông ABCD cạnh 4cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi E là giao điểm của AM và DN. Bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm A, D, E, M là?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình vuông ABCD cạnh 4cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi E là giao điểm của AM và DN. Bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm A, D, E, M là?

   A. R = 5cm

   B. R = 10cm

   C. $R=2\sqrt{5}cm$

   D. $R=\sqrt{5}cm$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D+) Ta có góc CDN = góc ECN (vì cùng phụ với góc CNE)Nên $\widehat{CNE}+\widehat{ECN}=\widehat{CNE}+\widehat{CDN} = {90}^o$Suy ra $\widehat{CEN} = {90}^o$$\Rightarrow CM \perp DN$+) Gọi I là trung điểm của DMXét tam giác vuông ADM ta có $AI=ID=IM=\frac{DM}{2}$Xét tam giác vuông DEM ta có $EI=ID=IM=\frac{DM}{2}$Nên $EI=ID=IM=IA=\frac{DM}{2}$Do đó bốn điểm A, D, E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính $R=\frac{DM}{2}$Xét tam giác ADM vuông tại A có AD = 4cm; $AM=\frac{AB}{2}=2 cm$ nên theo định lý Pytago ta có $DM=\sqrt{A{D}^2+A{M}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$Suy ra bán kính đường tròn đi qua 4 điểm A, D, E, M là $R=\frac{DM}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}cm$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 2cm, BC = 8cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở DCác điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 2cm, BC = 8cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở DCác điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn?

   A. D, H, B, C

   B. A, B, H, C

   C. A, B, D, H

   D. A, B, D, C

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DTa có $∆$ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác $\Rightarrow \widehat{CAD}=\widehat{DAB}$Suy ta $∆ACD = ∆ABD$ (c – g – c) nên $\widehat{ABD}=\widehat{ACD} = {90}^o$Lấy I là trung điểm AD. Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có$IA=ID=IB=IC=\frac{AD}{2}$Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính AD

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 2cm, BC = 8cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở DTính đường kính của đường tròn đi qua các điểm A, B, D, C
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 2cm, BC = 8cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở DTính đường kính của đường tròn đi qua các điểm A, B, D, C

   A. d = 8cm

   B. d = 12cm

   C. d = 10cm

   Đáp án chính xác

   D. d = 5cm

   Trả lời:

   Đáp án CTa có $∆$ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác $\Rightarrow \widehat{CAD}=\widehat{DAB}$Suy ta $∆ACD = ∆ABD$ (c – g – c) nên $\widehat{ABD}=\widehat{ACD} = {90}^o$Lấy I là trung điểm AD. Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có$IA=ID=IB=IC=\frac{AD}{2}$Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính ADDo đó ta cần tính độ dài ADVì BC = 8cm $\Rightarrow$ BH = 4cm. Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB ta được $AB=\sqrt{A{H}^2+B{H}^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD ta có $A{B}^2 = AH. AD$$\Rightarrow AD=\frac{A{B}^2}{AH}=\frac{20}{2}=10$Vậy đường kính cần tìm là 10cm

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 4cm, BC = 6cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở DChọn câu đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 4cm, BC = 6cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở DChọn câu đúng:

   A. $\widehat{ABC}={90}^{\circ }$

   B. DC = DB

   C. Bốn điểm A, B, D, C cùng thuộc một đường tròn

   D. Cả A, B, C đều đúng

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DTa có $∆$ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác $\Rightarrow \widehat{CAD}=\widehat{DAB}$Suy ta $∆ACD = ∆ABD$ (c – g – c) nên $\widehat{ABD}=\widehat{ACD} = {90}^o$ và CD = DB nên A, B đúngLấy I là trung điểm AD. Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có$IA=ID=IB=IC=\frac{AD}{2}$Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính AD nên đáp án C đúng

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====