Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) (với AB < AC). BE và CF là 2 đường cao của tam giác cắt nhau tại Ha, Chứng minh tứ giác BEFC và AEHF là tứ giác nội tiếpb, Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại S và EF cắt đường tròn (O) tại M và N (M nằm giữa S và E). Chứng minh SM. SN = SE. SFc, Tia CE cắt đường tròn (O) tại K, vẽ dây KI song song với EF. Chứng minh H, K đối xứng nhau qua ABd, Chứng minh 3 điểm H, F, I thẳng hàng

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) (với AB < AC). BE và CF là 2 đường cao của tam giác cắt nhau tại Ha, Chứng minh tứ giác BEFC và AEHF là tứ giác nội tiếpb, Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại S và EF cắt đường tròn (O) tại M và N (M nằm giữa S và E). Chứng minh SM. SN = SE. SFc, Tia CE cắt đường tròn (O) tại K, vẽ dây KI song song với EF. Chứng minh H, K đối xứng nhau qua ABd, Chứng minh 3 điểm H, F, I thẳng hàng

Trả lời:

a, Xét tứ giác BEFC có:∠BEC = ${90}^0$ (CE là đường cao)∠BFC = ${90}^0$ (BF là đường cao)=> 2 đỉnh E, F cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc vuông=> Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếpXét tứ giác AEHF có:∠AEH = ${90}^0$ (CE là đường cao)∠AFH = ${90}^0$ (BF là đường cao)=> ∠AEH + ∠AFH = ${180}^0$=> Tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếpb,Xét ΔSBE và ΔSFC có:∠FSC là góc chung∠SEB = ∠SCF (Tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp)=> ΔSBE ∼ ΔSFC (g.g)=> $\frac{SB}{SF}$ = $\frac{SE}{SC}$=> SE.SF = SB.SC (1)Xét ΔSMC và ΔSNB có:∠ NSC là góc chung∠ SCM = ∠SNB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB)=> ΔSMC ∼ ΔSBN (g.g)=> $\frac{SM}{SB}$ = $\frac{SC}{SN}$=>SM.SN = SB.SC (2)Từ (1) và (2) => SE.SF = SM.SNc, Ta có:$\widehat{KAE}=\widehat{KCB}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KB)$\widehat{HAE}=\widehat{BFM}$ (tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp)$\widehat{KCB}=\widehat{BFM}$ (tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp)=> ∠KAE = ∠HAE=> AE là tia phân giác của góc ∠KAHMà AE cũng là đường cao của tam giác KAH=> ΔKAH cân tại A=> AE là đường trung tuyến của ΔKAH=> E là trung điểm của KH hay K và H đối xứng nhau qua ABd, Tia BF cắt đường tròn (O) tại J∠KJB = ∠KCB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KB)∠KCB = ∠EFH (tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp )=> ∠KJB = ∠EFHMà 2 góc này ở vị trí so le trong=> KJ // EFKI // EF (gt)=> I ≡ J=> H, F, J thẳng hàng

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho các biểu thức: A = x1+3x; B = x+3x-9 + 2x+3 – 13-x với x &gt; 0; x ≠ 9a, Tính A khi x = 49b, Rút gọn Bc, Cho P = B : A. Tìm x để P &lt; 3
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho các biểu thức: A = $\frac{\sqrt{x}}{1+3\sqrt{x}}$; B = $\frac{x+3}{x–9}$ + $\frac{2}{\sqrt{x}+3}$ – $\frac{1}{3–\sqrt{x}}$ với x > 0; x ≠ 9a, Tính A khi x = $\frac{4}{9}$b, Rút gọn Bc, Cho P = B : A. Tìm x để P < 3

   Trả lời:

   a, b, c, Ta có:Vậy với 0 < x < 9 thì P < 3 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:Một đội thợ mỏ phải khai thác 216 tấn than trong một thời gian nhất định. Ba ngày đầu, mỗi đội khai thác theo đúng định mức. Sau đó, mỗi ngày họ đều khai thác vượt mức 8 tấn. Do đó họ đã khai thác được 232 tấn và xong trước thời hạn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:Một đội thợ mỏ phải khai thác 216 tấn than trong một thời gian nhất định. Ba ngày đầu, mỗi đội khai thác theo đúng định mức. Sau đó, mỗi ngày họ đều khai thác vượt mức 8 tấn. Do đó họ đã khai thác được 232 tấn và xong trước thời hạn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than?

   Trả lời:

   Gọi số tấn than mỗi ngày đội thợ phải khai thác theo kế hoạch là x (tấn) (x >0)=> Thời gian dự định làm là $\frac{216}{x}$ (ngày)Số tấn than 3 ngày đầu khai thác được là: 3x ( tấn)Sau 3 ngày đầu, mỗi ngày khai thác vượt mức 8 tấn. Do đó sau ba ngày đầu, số tấn than đội khai thác được mỗi ngày là: x + 8 (tấn)Họ khai thác được 232 tấn nên thời gian khai thác thực tế là:$\frac{232–3x}{x+8}$+3Do thời gian xong trước 1 ngày nên ta có phương trìnhDo x > 0 nên x = 24Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày đội phải khai thác 24 tấn than

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. 1, Giải hệ phương trình sau:2, Cho phương trình: x2-2m-2x+2m-5=0 (1)a, Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi mb, Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để x1, x2 thỏa mãn: x1(1 – x2) + x2(1 – x1 ) &lt; 4
   
   

   Câu hỏi:
   

   1, Giải hệ phương trình sau:2, Cho phương trình: $x^2–2\left(m–2\right)x+2m–5=0$ (1)a, Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi mb, Gọi x₁,x₂ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để x₁, x₂ thỏa mãn: x₁(1 – x₂) + x₂(1 – x₁ ) < 4

   Trả lời:

   1. ĐKXĐ: <=> <=> <=> <=> <=> <=> Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (7; 6)2. $x^2–2\left(m–2\right)x+2m–5=0$a, $△‘={\left(m–2\right)}^2–\left(2m–5\right)$ = $m^2–6m+9={\left(m–3\right)}^2\ge 0\forall m$Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi mb, Theo định lí Vi-et ta có:x₁ (1 – x₂ ) + x₂ (1 – x₁ ) = x₁ – x₁ x₂ + x₂ – x₁ x₂ = x₁ + x₂ – 2x₁x₂= 2(m – 2) – 2(2m – 5) = –2m + 6Theo bài ra:x₁ (1 – x₂ ) + x₂ (1 – x₁ )<4<=> –2m + 6 < 4 <=> m > 1Vậy với m > 1 thì thỏa mãn yêu cầu đề bài

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho ba số a, b, c &gt; 0. Chứng minh rằng: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ba số a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 

   Trả lời:

   Ta có: Vì a, b, c > 0 nênTương tự, ta có:Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====