Cho một tam giác đều ABC có cạnh AB = 8cm, đường cao AH. Khi đó thể tích hình cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH.

Câu hỏi:

Cho một tam giác đều ABC có cạnh AB = 8cm, đường cao AH. Khi đó thể tích hình cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH.

A. $\frac{{\mathrm{\pi a}}^3}{54}$.

B. $\frac{\sqrt{3}{\mathrm{\pi a}}^3}{72}$.

C. $\frac{\sqrt{3}{\mathrm{\pi a}}^3}{54}$.

Đáp án chính xác

D. $\frac{{\mathrm{\pi a}}^3}{72}$.

Trả lời:

Đáp án cần chọn là: C.Vì ABC là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm O của tam giácKhi đó bán kính đường tròn nội tiếp R = OH = $\frac{AH}{3}$Xét tam giác vuông ABH có: $A{H}^2=A{B}^2–B{H}^2=a^2–{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$Suy ra R = $\frac{a\sqrt{3}}{6}$.Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH ta được hình cầu bán kính R = $\frac{a\sqrt{3}}{6}$ $\Rightarrow$ V = $\frac{4}{3}{\mathrm{\pi R}}^3=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{\left(\frac{\mathrm{a}\sqrt{3}}{6}\right)}^3=\frac{\sqrt{3}{\mathrm{\pi a}}^3}{54}$Chú ý: Một số em có thể nhớ sai công thức thể tích hình cầu thành $V={\mathrm{\pi R}}^3$ dẫn đến tính toán ra đáp án B sai.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm; AD = 3cm. Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD, N là trung điểm BC.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm; AD = 3cm. Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD, N là trung điểm BC.

   A. $25\mathrm{\pi }$.

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{25}{8}\mathrm{\pi }$.

   C. 25.

   D. $\frac{25}{4}\mathrm{\pi }$.

   Trả lời:

   Đáp án cần chọn là: AGọi O là tâm của hình chữ nhật nên OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Khi đó bán kính đường tròn là R = OA = $\frac{AC}{2}$Theo định lý Pytago ta có:$A{C}^2=A{D}^2+D{C}^2=3^2+4^2=25\Rightarrow AC=5\left(vì AB=DC=4cm\right)\Rightarrow R=\frac{5}{2}$Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD, N là trung điểm BC ta được một hình cầu tâm O bán kính R = $\frac{5}{2}$Diện tích mặt cầu là $S=4{\mathrm{\pi R}}^2=4\mathrm{\pi }{\left(\frac{5}{2}\right)}^2=25\mathrm{\pi }\left({\mathrm{cm}}^2\right)$.Chú ý: Một số em có thể nhớ nhầm công thức diện tích thành S = R² dẫn đến ra kết quả D sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm; AD = 6cm. Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD, N là trung điểm BC.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm; AD = 6cm. Tính diện tích mặt cầu thu được khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD, N là trung điểm BC.

   A. $50\mathrm{\pi }\left({\mathrm{cm}}^2\right)$.

   B. $100\mathrm{\pi }\left({\mathrm{cm}}^2\right)$.

   Đáp án chính xác

   C. $100\left(c{m}^2\right)$.

   D. $25\mathrm{\pi }\left({\mathrm{cm}}^2\right)$.

   Trả lời:

   Đáp án cần chọn là: B.Gọi O là tâm của hình chữ nhật nên OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Khi đó bán kính đường tròn là R = OA = $\frac{AC}{2}$Theo định lý Pytago ta có:$A{C}^2=A{D}^2+D{C}^2=6^2+8^2=100\Rightarrow AC=10 \left(vì AB=CD=8cm\right)\Rightarrow R=5cm.$Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD quay quanh đường thẳng MN với M là trung điểm AD, N là trung điểm BC ta được một hình cầu tâm O bán kính R = 5cmDiện tích mặt cầu là $S=4{\mathrm{\pi R}}^2=4\mathrm{\pi }.5^2=100\mathrm{\pi }\left({\mathrm{cm}}^2\right)$.Chú ý: Một số em có thể nhớ nhầm công thức diện tích thành S = $\mathrm{\pi }$R² dẫn đến ra kết quả D sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.

   A. 3.

   B. 1.

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{1}{2}$.

   D. 2.

   Trả lời:

   Đáp án cần chọn là: B.Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên h = 2R với R là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụDiện tích mặt cầu $S=4{\mathrm{\pi R}}^2$Diện tích xung quanh của hình trụ là: $S_{xq}=2\mathrm{\pi Rh}=2\mathrm{\pi R}.2\mathrm{R}=4{\mathrm{\pi R}}^2$.Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ là: $\frac{S}{S_{xq}}=\frac{4{\mathrm{\pi R}}^2}{4{\mathrm{\pi R}}^2}=1.$Chú ý: Một số em có thể tính nhầm mối quan hệ giữa đường cao với bán kính của hình trụ h = R dẫn đến ra kết quả sai là D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho một hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ.

   A. $\frac{3}{2}$.

   B. 1.

   C. $\frac{2}{3}$.

   Đáp án chính xác

   D. 2.

   Trả lời:

   Đáp án cần chọn là: C.Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên h = 2R với R là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụDiện tích mặt cầu $S=4{\mathrm{\pi R}}^2$.Diện tích toàn phần của hình trụ là: $S_{tp}=S_{xq}+2{\mathrm{\pi R}}^2=4{\mathrm{\pi R}}^2+2{\mathrm{\pi R}}^2=6{\mathrm{\pi R}}^2$Tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ là:$\frac{S}{S_{tp}}=\frac{4{\mathrm{\pi R}}^2}{6{\mathrm{\pi R}}^2}=\frac{2}{3}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho một hình cầu nội tiếp trong hình trụ. Biết rằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu. Tính tỉ số giữa thể tích hình cầu và thể tích hình trụ.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho một hình cầu nội tiếp trong hình trụ. Biết rằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu. Tính tỉ số giữa thể tích hình cầu và thể tích hình trụ.

   A. $\frac{2}{3}$.

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{3}{2}$.

   C. $\frac{1}{2}$.

   D. 2.

   Trả lời:

   Đáp án cần chọn là: AVì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên h = 2R với R là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụThể tích hình cầu $V_C=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi R}}^3$;Thể tích khối trụ $V_t={\mathrm{\pi R}}^2.2\mathrm{R}=2{\mathrm{\pi R}}^3$Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là$\frac{V_C}{V_t}=\frac{\frac{4}{3}{\mathrm{\pi R}}^3}{2{\mathrm{\pi R}}^3}=\frac{2}{3}$.Chú ý: Một số em có thể tính nhầm thành tỉ số giữa thể tích khối trụ và thể tích khối cầu dẫn đến ra đáp án sai là B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====