Cho hệ phương trình a1x+y=ba2x+y=ba) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi a1,a2,b bất kìb) Hệ có thể vô số nghiệm được không?

Câu hỏi:

Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{a}}_1\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{b}\\ {\mathrm{a}}_2\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{b}\end{array}\right.$a) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi ${\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,\mathrm{b}$ bất kìb) Hệ có thể vô số nghiệm được không?

Trả lời:

a) Biến đổi hệ về dạng $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=-{\mathrm{a}}_1\mathrm{x}+\mathrm{b}\left({\mathrm{d}}_1\right)\\ \mathrm{y}=-{\mathrm{a}}_2\mathrm{x}+\mathrm{b}\left({\mathrm{d}}_2\right)\end{array}\right.$Nhận xét rằng, hai đường thẳng $\left({\mathrm{d}}_1\right)$ và $\left({\mathrm{d}}_2\right)$ ứng với hai phương trình trong hệ luôn cắt trục Oy (vì hệ số tự do bằng nhau) tại điểm $\mathrm{I}\left(0;\mathrm{b}\right)$Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm $\left(0;\mathrm{b}\right)$ với mọi ${\mathrm{a}}_1;{\mathrm{a}}_2;\mathrm{b}$ bất kì.b) Hệ có vô số nghiệm khi $\left({\mathrm{d}}_1\right)\equiv \left({\mathrm{d}}_2\right)\iff {\mathrm{a}}_1={\mathrm{a}}_2$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Giải hệ phương trình sau bằng đồ thị 4x+3y=128x+6y=24
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải hệ phương trình sau bằng đồ thị $\left\{\begin{array}{c}4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=12\\ 8\mathrm{x}+6\mathrm{y}=24\end{array}\right.$

   Trả lời:

   Ta có đồ thị sau:Dựa vào đồ thị, hai đường thẳng trùng nhau nên có vô số điểm chung.Vậy hệ có vô số nghiệm, mỗi nghiệm là tọa độ (x; y) của một điểm trên đường thẳng 4x + 3y = 12.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao?a) y=3−2xy=3x−1b) y=−12x+3y=−12x+1c) 2y=−3x3y=2xd) 3x−y=3x−13y=1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao?a) $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=3-2\mathrm{x}\\ \mathrm{y}=3\mathrm{x}-1\end{array}\right.$b) $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{y}=-\frac{1}{2}\mathrm{x}+3\\ \mathrm{y}=-\frac{1}{2}\mathrm{x}+1\end{array}\right.$c) $\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{y}=-3\mathrm{x}\\ 3\mathrm{y}=2\mathrm{x}\end{array}\right.$d) $\left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}-\mathrm{y}=3\\ \mathrm{x}-\frac{1}{3}\mathrm{y}=1\end{array}\right.$

   Trả lời:

   a) Xét các phương trình trong hệ, ta cóĐường thẳng y = 3 – 2x có hệ số góc ${\mathrm{a}}_1=-2$Đường thẳng y = 3x – 1 có hệ số góc ${\mathrm{a}}_2=3$Vì ${\mathrm{a}}_1\ne {\mathrm{a}}_2$ nên hai đường thẳng này cắt nhau. Vậy hệ có một nghiệm duy nhất.b) Xét các phương trình trong hệ, ta cóĐường thẳng $\mathrm{y}=-\frac{1}{2}\mathrm{x}+3$ có hệ số góc ${\mathrm{a}}_1=-\frac{1}{2},{\mathrm{b}}_1=3$Đường thẳng $\mathrm{y}=-\frac{1}{2}\mathrm{x}+1$ có hệ số góc ${\mathrm{a}}_2=-\frac{1}{2},{\mathrm{b}}_2=1$Vì ${\mathrm{a}}_1={\mathrm{a}}_2,{\mathrm{b}}_1\ne {\mathrm{b}}_2$ nên hai đường thẳng này song song. Vậy hệ vô nghiệm.c) Xét các phương trình trong hệ, ta cóĐường thẳng $\mathrm{y}=-\frac{3}{2}\mathrm{x}$ có hệ số góc ${\mathrm{a}}_1=-\frac{3}{2}$Đường thẳng $\mathrm{y}=\frac{2}{3}\mathrm{x}$ có hệ số góc ${\mathrm{a}}_2=\frac{2}{3}$Vì ${\mathrm{a}}_1.{\mathrm{a}}_2=-1$ nên hai đường thẳng này vuông góc với nhau. Vậy hệ có một nghiệm duy nhất.d) Xét các phương trình trong hệ, ta cóĐường thẳng $3\mathrm{x}-\mathrm{y}=3\iff \mathrm{y}=3\mathrm{x}-3$Đường thẳng $\mathrm{x}-\frac{1}{3}\mathrm{y}=1\iff \mathrm{y}=3\mathrm{x}-3$Ta thấy hai đường thẳng này trùng nhau. Vậy hệ có vô số nghiệm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình sau (minh họa bằng đồ thị)a) 2x−y=−1x−y=−1b) x−y=8×2−y2=4c) 3x+6y=6x+2y=3
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình sau (minh họa bằng đồ thị)a) $\left\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}-\mathrm{y}=-1\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=-1\end{array}\right.$b) $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-\mathrm{y}=8\\ \frac{\mathrm{x}}{2}-\frac{\mathrm{y}}{2}=4\end{array}\right.$c) $\left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}+6\mathrm{y}=6\\ \mathrm{x}+2\mathrm{y}=3\end{array}\right.$

   Trả lời:

   a) Nhận xét rằng$\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{2}{1}=2$ và $\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{-1}{-1}=1$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}\ne \frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}$Vậy hệ có nghiệm duy nhấtb) Nhận xét rằng$\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$ và $\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{-1}{-\frac{1}{2}}=2$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=2=\frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_2}$Vậy hệ có nghiệm vô số nghiệmc) Nhận xét rằng$\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{3}{1}=3$ và $\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{6}{2}=3$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=3\ne 2=\frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_2}$Vậy hệ vô nghiệm

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Hãy xác định số nghiệm của các hệ phương trình sau (minh họa bằng đồ thị)a) 4x+0y=12x−y=2b) x+3y=60x−y=−2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hãy xác định số nghiệm của các hệ phương trình sau (minh họa bằng đồ thị)a) $\left\{\begin{array}{c}4\mathrm{x}+0\mathrm{y}=12\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=2\end{array}\right.$b) $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}+3\mathrm{y}=6\\ 0\mathrm{x}-\mathrm{y}=-2\end{array}\right.$

   Trả lời:

   a) Nhận xét rằng$\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{4}{1}=4$ và $\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{0}{-1}=0$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}\ne \frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}$Vậy hệ có nghiệm duy nhấtb) Nhận xét rằng$\frac{{\mathrm{a}}_2}{{\mathrm{a}}_1}=\frac{0}{1}=0$ và $\frac{{\mathrm{b}}_2}{{\mathrm{b}}_1}=\frac{-1}{3}$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_2}{{\mathrm{a}}_1}\ne \frac{{\mathrm{b}}_2}{{\mathrm{b}}_1}$Vậy hệ có nghiệm duy nhất

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Chứng tỏ rằng hệ phương trình ax−y=2x+2y=3a) Có nghiệm duy nhất với a = 3.b) Vô nghiệm với a=−12Hãy minh họa bằng đồ thị.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng tỏ rằng hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{ax}-\mathrm{y}=2\\ \mathrm{x}+2\mathrm{y}=3\end{array}\right.$a) Có nghiệm duy nhất với a = 3.b) Vô nghiệm với $\mathrm{a}=-\frac{1}{2}$Hãy minh họa bằng đồ thị.

   Trả lời:

   a) Với a = 3, hệ phương trình có dạng $\left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}-\mathrm{y}=2\\ \mathrm{x}+2\mathrm{y}=3\end{array}\right.$Nhận xét rằng$\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{3}{1}=3$ và $\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{-1}{2}$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}\ne \frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}$Vậy hệ có nghiệm duy nhấtb) Với $\mathrm{a}=-\frac{1}{2}$, hệ phương trình có dạngNhận xét rằng$\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=-\frac{1}{2}$ và $\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=\frac{-1}{2}$ suy ra $\frac{{\mathrm{a}}_1}{{\mathrm{a}}_2}=\frac{{\mathrm{b}}_1}{{\mathrm{b}}_2}=-\frac{1}{2}\ne \frac{2}{3}=\frac{{\mathrm{c}}_1}{{\mathrm{c}}_2}$Vậy hệ vô nghiệm

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====