Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với (O) (E không trùng với D). Số đo góc HEC là:

Câu hỏi:

Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với (O) (E không trùng với D). Số đo góc HEC là:

A. ${60}^{\circ }$

B. ${80}^{\circ }$

C. ${45}^{\circ }$

D. ${90}^{\circ }$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án DTa có D đối xúng với B qua O $\Rightarrow$ B là đường kính của (O) mà E $\in$ (O) $\Rightarrow \widehat{BED} = {90}^o$Xét $∆$BED và $∆$ABD có: $\widehat{BED} = \widehat{ABD} = {90}^o$, $\hat{D}$ chung$\Rightarrow ∆BED \backsim ∆ABD (g – g)\Rightarrow \frac{DE}{BE}=\frac{BD}{BA}$$\widehat{BCD} = {90}^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)$\widehat{AHB} = {90}^o$ (AO là trung trực của BC)Xét $∆$BCD và $∆$AHB có: $\widehat{BCD} = \widehat{AHB} = {90}^o, \widehat{BDC} = \widehat{ABH}$ (BA là tiếp tuyến của (O) tại B)$\Rightarrow \Delta BCD\backsim \Delta AHB(g – g)\Rightarrow \frac{BD}{BA}=\frac{CD}{BH}$ mà $\frac{DE}{BE}=\frac{BD}{BA}\Rightarrow \frac{DE}{BE}=\frac{CD}{BH}$Xét $∆$BHE và $∆$DCE có $\frac{DE}{BE}=\frac{CD}{BH}$$\Rightarrow ∆BHE \backsim ∆DCE \Rightarrow \widehat{BEH} = \widehat{DEC}$ (2 góc tương tứng)$\Rightarrow \widehat{BEH} + \widehat{HED} = \widehat{DEC} + \widehat{HED}\Rightarrow \widehat{BED} = \widehat{HEC}$Mà $\widehat{BED} = {90}^o$ (chứng minh trên)Vậy $\widehat{HEC} = {90}^o$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến ME, MF đến đường tròn với (E; F là tiếp điểm). Đoạn OM cắt đường tròn (O; R) tại I. Kẻ đường kính ED của (O; R). Hạ FK vuông góc với ED. Gọi P là giao điểm của MD và FK. Cho FK = 4cm. Khi đó:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến ME, MF đến đường tròn với (E; F là tiếp điểm). Đoạn OM cắt đường tròn (O; R) tại I. Kẻ đường kính ED của (O; R). Hạ FK vuông góc với ED. Gọi P là giao điểm của MD và FK. Cho FK = 4cm. Khi đó:

   A. FP = PK = 2cm

   Đáp án chính xác

   B. P là trọng tâm tam giác FDE

   C. A, B đều đúng

   D. A, B đều sai

   Trả lời:

   Đáp án A* Vì ME là tiếp tuyến của (O) nên ME vuông góc với OE, suy ra tam giác MOE nội tiếp đường tròn đường kính MO (1)Vì MF là tiếp tuyến của (O) nên MF vuông góc với OF, suy ra tam giác MOF nội tiếp đường tròn đường kính MO (1)Từ (1) và (2) suy ra M, E, O, F cùng thuộc một đường tròn.* Gọi MO $\cap$ EF = {H}Vì M là giao điểm của hai tiếp tuyến ME và MF của (O)$\Rightarrow$ ME = MF (tính chất) mà OE = OF = R (gt)$\Rightarrow$ MO là đường trung trực của EF$\Rightarrow$ MO $\perp$ EFGọi G là giao điểm của tia DF và tia EMTa có $\widehat{EFD} = {90}^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow$ EF $\perp$ DG màEF $\perp$ OM (cmt) $\Rightarrow$ OM // DG (từ vuông góc đến song song)Tam giác EDG có OE = OD; OM // DG $\Rightarrow$ ME = MG (tính chất đường trung bình)Áp dụng định lý Ta-lét cho tam giác EDM có OK // ME (cùng vuông góc với ED) ta được: $\frac{PK}{ME}=\frac{DP}{DM}$ (3)Áp dụng định lý Ta-lét cho tam giác MDG có PF// MG (cùng vuông góc với ED) ta được: $\frac{PF}{MG}=\frac{DP}{DM}$ (4)Từ (3) và (4) suy ra $\frac{PK}{ME}=\frac{PF}{MG}$ mà ME = MG (cmt)$\Rightarrow$ PK = PF $\Rightarrow$ P là trung điểm của FK. Suy ra $FP = PK =\frac{4}{2}= 2cm$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến ME, MF đến đường tròn với (E; F là tiếp điểm). Đoạn OM cắt đường tròn (O; R) tại I. Kẻ đường kính ED của (O; R). Hạ FK vuông góc với ED. Gọi P là giao điểm của MD và FK. Chọn câu đúng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến ME, MF đến đường tròn với (E; F là tiếp điểm). Đoạn OM cắt đường tròn (O; R) tại I. Kẻ đường kính ED của (O; R). Hạ FK vuông góc với ED. Gọi P là giao điểm của MD và FK. Chọn câu đúng:

   A. Các điểm M, E, O, F cùng thuộc một đường tròn

   B. Điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF

   C. Điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF

   D. Cả A, B, C đều đúng

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D* Vì ME là tiếp tuyến của (O) nên ME vuông góc với OE, suy ra tam giác MOE nội tiếp đường tròn đường kính MO (1)Vì MF là tiếp tuyến của (O) nên MF vuông góc với OF, suy ra tam giác MOF nội tiếp đường tròn đường kính MO (1)Từ (1) và (2) suy ra M, E, O, F cùng thuộc một đường tròn nên A đúng* Gọi MO $\cap$ EF = {H}Vì M là giao điểm của hai tiếp tuyến ME và MF của (O)$\Rightarrow$ ME = MF (tính chất) mà OE = OF = R (gt)$\Rightarrow$ MO là đường trung trực của EF$\Rightarrow MO \perp EF\Rightarrow \widehat{IFE}+\widehat{OIF}= {90}^o$Vì OI = OF = R nên tam giác OIF cân tại O$\Rightarrow \widehat{OIF}=\widehat{OFI}$ mà $\widehat{MFI}+\widehat{OFI} = {90}^o; \widehat{IFE}+\widehat{OIF} = {90}^o$$\Rightarrow \widehat{MFI} = \widehat{IFE}$$\Rightarrow$ FI là phân giác của $\widehat{MFE}$ (1)Vì M là giao điểm của hai tiếp tuyến ME và MF của (O)$\Rightarrow$ MI là phân giác của $\widehat{EMF}$ (tính chất) (2)Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====