Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Vẽ đường kính DE; kéo dài AE cắt BC tại M. chọn câu đúng nhất

Câu hỏi:

Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Vẽ đường kính DE; kéo dài AE cắt BC tại M. chọn câu đúng nhất

A. BD > CM

B. BD < CM

C. BD = CM

Đáp án chính xác

D. Không đủ điều kiện so sánh

Trả lời:

Đáp án CVẽ tiếp tuyến tại E của đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại H, K. Ta cóED $\perp$ HK, ED $\perp$ BC $\Rightarrow$ HK // BCGọi N là tiếp điểm của đường tròn (O) tiếp xúc với ACOK, OC là hai tia phân giác của hai góc kề bù EON và NOD (tính chất trung tuyến) $\Rightarrow \widehat{KOC} = {90}^o$+ Xét $∆$OEK và $∆$CDO có $\widehat{OEC}=\widehat{CDO}(= {90}^o), \widehat{OKE}=\widehat{COD}$ (cùng phụ với $\widehat{EOK}$). Do đó $∆$OEK $\backsim$ $∆$CDO $\Rightarrow \frac{EK}{OD}=\frac{OE}{CD}$ hay $\frac{EK}{r}=\frac{r}{CD}$Tương tự cũng có $\frac{HE}{r}=\frac{r}{BD}$. Do vậy $\frac{EK}{HE}=\frac{BD}{CD}\Rightarrow \frac{EK}{EK+HE}=\frac{BD}{BD+CD}$ hay $\frac{EK}{HK}=\frac{BD}{BC}$(1)+ Trong $∆$ABM có HE // BM, áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét trong tam giác ta có: $\frac{HE}{BM}=\frac{AE}{AM}$. Tương tự có $\frac{EK}{CM}=\frac{AE}{AM}$Do đó: $\frac{HE}{BM}=\frac{EK}{CM}\Rightarrow \frac{EK}{CM}=\frac{EK+HE}{CM+BM}$ hay $\frac{EK}{CM}=\frac{HK}{BC}\Rightarrow \frac{EK}{HK}=\frac{CM}{BC}$ (2)Từ (1) và (2) cho ta BD = CM

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định và dây AC. Biết rằng khoảng cách từ O lần lượt đến AC và BC là 8cm và 6cm. Lấy D đối xứng với A qua C. Chọn câu sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định và dây AC. Biết rằng khoảng cách từ O lần lượt đến AC và BC là 8cm và 6cm. Lấy D đối xứng với A qua C. Chọn câu sai?

   A. AC = 12cm; BC = 16cm

   B. Khi C di chuyển trên đường tròn (O) thì điểm D thuộc đường tròn cố định tâm B và bán kính bằng 2R

   C. $∆$ABD cân tại B

   D. Khi C di chuyển trên đường tròn (O) thì điểm D thuộc đường tròn cố định tâm B và bán kính bằng $\frac{3}{2}R$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DKẻ OH, OK lần lượt vuông góc với AC và BC, ta có:OH = 8 (cm); OK = 6 (cm) và HA = HC = $\frac{AC}{2}$; KB = KC = $\frac{BC}{2}$ (định lí đường kính dây cung)AB là đường kính nên $\widehat{ACB} = {90}^o$Do đó tứ giác CHOK là hình chữ nhật (có ba góc vuông)$\Rightarrow$ OH = CK = 8 (cm) $\Rightarrow$ BC = 16 (cm)Tương tự ta có AC = 12 (cm)Xét tam giác vuông OHC, ta có:$OC = \sqrt{O{H}^2+H{C}^2}=\sqrt{8^2+6^2}= q0$ (cm) (Định lý Pytago)$∆$ABD có đường cao BC đồng thời là đường trung tuyến nên $∆$ABD cân tại BTa có BD = BA = 2R (cm), điểm B cố định, 2R không đổi.Vậy D thuộc đường tròn cố định tâm B và bán kính bằng 2R. Do đó D sai

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By (Ax và By và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Tìm vị trí điểm M để tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By (Ax và By và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Tìm vị trí điểm M để tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất

   A. M là trung điểm của CD

   B. OM // AB

   C. OM $\perp$ AB

   Đáp án chính xác

   D. OM // Ax

   Trả lời:

   Đáp án CXét tứ giác ABDC có: AC // BD $\Rightarrow$ ABDC là hình thangVì hai tiếp tuyến CD và Ax cắt nhau tại C, hai tiếp tuyến DC và By cắt nhau tại D nên AC = CM; BD = BM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)Chu vi hình thang ABDC là:$C_{ABDC min} khi C{D}_{min} \Rightarrow CD = AB \Rightarrow CD // AB$Mà OM $\perp$ CD $\Rightarrow$ OM $\perp$ AB $\Rightarrow C_{ABDC min} = AB + 2AB = 3AB$Vậy chu vi nhỏ nhất của hình thang ABDC là 2AB khi OM $\perp$ AB

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By (Ax và By và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Tìm vị trí điểm C và D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14, biết AB = 4cm
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By (Ax và By và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Tìm vị trí điểm C và D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14, biết AB = 4cm

   A. AC = 4cm; BD = 1cm hoặc AC = 1cm; BD = 4cm

   Đáp án chính xác

   B. AC = 4cm; BD = 1cm

   C. AC = 3cm; BD = 2cm hoặc AC = 2cm; BD = 3cm

   D. AC = 3cm; BD = 1cm hoặc AC = 1cm; BD = 3cm

   Trả lời:

   Đáp án AGọi I là trung điểm của CDSuy ra I là tâm của đường tròn đường kính CDTheo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: AC = CM và BD = DMXét tứ giác ABDC có: AC // BD $\Rightarrow$ ABDC là hình thang$\Rightarrow$ IO là đường trung bình của hình thang ABDC$\Rightarrow$ IO // AC // BD mà AC $\perp$ AB $\Rightarrow$ IO $\perp$ AB (1)$IO =\frac{AC+BD}{2}=\frac{CM+DM}{2}=\frac{CD}{2} \left(2\right)$Suy ra tam giác COD vuông tại O$C_{ABDC} = 14 \iff AB + 2CD=14 \Rightarrow CD=\frac{14-AB}{2}=\frac{14-4}{2}= 5cm$Lại có: CD = CM + DM = AC + BD  AC = CD – BD = 5 – BDMà tam giác COD vuông tại OÁp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông COD ta có:$O{M}^2 = CM . DM\iff 2^2 = AC . BD\iff AC . BD = 4\iff (5 – BD). BD = 4$$\iff 5BD – B{D}^2 = 4\iff B{D}^2 – 5BD + 4 = 0\iff B{D}^2 – BD – 4BD + 4 = 0$$\iff$ BD (BD – 1) – 4(BD – 1) = 0 $\iff$ (BD – 1) (BD – 4) = 0$\iff \left[\begin{array}{l}BD-1=0\\ BD-4=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}BD=1\Rightarrow AC=4\\ BD=4\Rightarrow AC=1\end{array}\right.$Vậy với AC = 4cm; BD = 1cm hoặc AC = 1cm; BD = 4cm thì chu vi của hình thang ABDC bằng 14

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Gọi N = AD ∩ BC, H = MN ∩ AB. Chọn câu đúng nhất
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Gọi N = AD $\cap$ BC, H = MN $\cap$ AB. Chọn câu đúng nhất

   A. MN $\perp$ AB

   Đáp án chính xác

   B. MN > NH

   C. Cả A, B đều đúng

   D. Cả A, B đều sai

   Trả lời:

   Đáp án ATheo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: AC = CM và BD = DM;AC // BD (vì cùng vuông góc với AB)Theo hệ quả của định lý Ta-lét ta có:$\frac{CN}{BN}=\frac{AC}{BD}\Rightarrow \frac{CN}{BN}=\frac{CM}{DM}$Theo định lý Ta-lét đảo ta được MN // BDMà BD $\perp$ AB $\Rightarrow$ MN $\perp$ AB nên A đúngTheo hệ quả của định lý Ta-lét ta có:$\frac{NH}{BD}=\frac{AH}{AB}=\frac{CN}{CB}=\frac{MN}{BD}$ $\Rightarrow$ MN = NH nên B sai

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B ∈ (O) và C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B $\in$ (O) và C $\in$ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm

   A. 12cm

   Đáp án chính xác

   B. 18cm

   C. 10cm

   D. 6cm

   Trả lời:

   Đáp án ATa có IO là tia phân giác của $\widehat{BIA}$IO’ là tia phân giác của $\widehat{CIA}$Mà $\widehat{BIA}+\widehat{CIA}= {180}^o\Rightarrow \widehat{OIO‘}= {90}^o$Tam giác OIO’ vuông tại I có IA là đường cao nên $I{A}^2 = AO.AO’ = 9.4 = 36$$\Rightarrow$ IA = 6cm $\Rightarrow$ IA = IB = IC = 6cm (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)Vậy BC = 2IA = 2.6 = 12 (cm)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====