Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O; R). Vẽ cát tuyến ABC và tiếp tuyến AM với đường tròn (O). M là tiếp điểm. Chọn câu đúng nhất

Câu hỏi:

Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O; R). Vẽ cát tuyến ABC và tiếp tuyến AM với đường tròn (O). M là tiếp điểm. Chọn câu đúng nhất

A. AB + AC $\le$ 2AM

B. AB + AC $\ge$ 2AM

Đáp án chính xác

C. AB + AC = 2AM

D. AB + AC < 2AM

Trả lời:

Đáp án BVẽ OH $\perp$ BC, H $\in$ HC (định lý đường kính vuông góc dây cung)Ta có AB + AC = (AH – BH) + (AH + HC) = 2AH$∆MAO có \widehat{AMO}= {90}^o$Theo định lý Pytago có $A{M}^2 + O{M}^2 = O{A}^2; ∆HAO có \widehat{AHO}= {90}^o$ nên $A{H}^2 + O{H}^2 = O{A}^2$;Mà OB = OM = R; OH $\le$ OB nên OH $\le$ OMDo đó $O{H}^2 \le O{M}^2$, suy ra AH $\ge$ AM. Từ đó ta có AB + AC $\ge$ 2AM

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B ∈ (O) và C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B $\in$ (O) và C $\in$ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I. Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm

   A. 12cm

   Đáp án chính xác

   B. 18cm

   C. 10cm

   D. 6cm

   Trả lời:

   Đáp án ATa có IO là tia phân giác của $\widehat{BIA}$(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)IO’ là tia phân giác của $\widehat{CIA}$(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)Mà $\widehat{BIA}+\widehat{CIA} = {180}^o\Rightarrow \widehat{OIO‘}= {90}^o$Tam giác OIO’ vuông tại I có IA là đường cao (vì IA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn) nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:$I{A}^2 = AO.AO’ = 9.4 = 36\Rightarrow IA = 6cm$$\Rightarrow$ IA = IB = IC = 6cm (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)Vậy BC = 2IA = 2.6 = 12 (cm)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By (Ax và By và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Lấy I là trung điểm của CD. Chọn câu sai:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By (Ax và By và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Lấy I là trung điểm của CD. Chọn câu sai:

   A. Đường tròn có đường kính CD và tiếp xúc với AB

   B. Đường tròn có đường kính CD cắt AB

   Đáp án chính xác

   C. IO $\perp$ AB

   D. $IO=\frac{DC}{2}$

   Trả lời:

   Đáp án BVì I là trung điểm CDNên I là tâm của đường tròn đường kính CDTheo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: AC = CM và BD = DMXét tứ giác ABDC có: AC // BD $\Rightarrow$ ABDC là hình thangSuy ra IO là đường trung bình của hình thang ABDC$\Rightarrow$ IO // AC // BD mà AC $\perp$ AB $\Rightarrow$ IO $\perp$ AB (1)$IO = \frac{AC+BD}{2}=\frac{CM+DM}{2}=\frac{CD}{2} \left(2\right)$Từ (1) và (2) suy ra đường tròn đường kính CD tiếp xúc với ABVậy A, C, D đúng, B sai

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By (Ax và By và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Lấy I là trung điểm của CD. Hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By (Ax và By và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D. Lấy I là trung điểm của CD. Hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất là:

   A. AB

   B. 2AB

   C. 3AB

   Đáp án chính xác

   D. 4AB

   Trả lời:

   Đáp án CTheo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: AC = CN và BD = DMChu vi hình thang ABDC là:$P_{ABDC}$ = AC + AB + BD + CD = CM + AB + DM + CD = AB + 2CD$\Rightarrow P_{ABDC min} khi C{D}_{min} \Rightarrow CD = AB \Rightarrow CD // AB$Mà OM $\perp$ CD $\Rightarrow$ OM $\perp$ AB$\Rightarrow P_{ABDC min} = AB + 2AB = 3AB$Vậy chu vi nhỏ nhất của hình thang ABDC là 3AB khi OM $\perp$ AB

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho đường tròn (O; 3cm), lấy điểm A sao cho OA = 6cm. Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm). Chu vi tam giác ABC là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O; 3cm), lấy điểm A sao cho OA = 6cm. Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm). Chu vi tam giác ABC là:

   A. 9cm

   B. $9\sqrt{3} cm$

   Đáp án chính xác

   C. $9\sqrt{2} cm$

   D. Kết quả khác

   Trả lời:

   Đáp án BGọi D là giao điểm của BC và OACó OC $\perp$ AC (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)Xét $∆$OAC vuông tại C, ta có: $O{C}^2 + C{A}^2 = O{A}^2$ (Pytago)$\Rightarrow A{C}^2 = O{A}^2 - O{C}^2 = 6^2 - 3^2 = 36 – 9 = 27\Rightarrow AC = 3\sqrt{3} cm$Mà AC = AB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $AB = 3\sqrt{3} cm$Vì AC = AB; OB = OC nên OA là đường trung trực của BC hay OA $\perp$ BC tại D và D là trung điểm của CBXét tam giác vuông OCA có CD là đường cao nên:$CD = \frac{OC.CA}{OA}=\frac{3.3\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BC = 2CD = 3\sqrt{3} cm$Vậy chu vi tam giác ABC là: $3\sqrt{3}+ 3\sqrt{3}+ 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}cm$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====