Cho biểu thức Sn=1+122+132+1+132+142+…+1+1n−12+1n21. Tính S2016.2. Chứng minh rằng với mọi n≥3 thì Sn là số hữu tỉ nhưng không thể là số nguyên

Câu hỏi:

Cho biểu thức $S_n=\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\mathrm{\dots }+\sqrt{1+\frac{1}{{\left(n-1\right)}^2}+\frac{1}{n^2}}$1. Tính $S_{2016}$.2. Chứng minh rằng với mọi $n\ge 3$ thì $S_n$ là số hữu tỉ nhưng không thể là số nguyên

Trả lời:

1. Tính $S_{2016}$Sử dụng (2) bằng cách thay a, b, c bởi ba bộ số 1, (n – 1), – n, ta sẽ nhận được:$\sqrt{1+\frac{1}{{\left(n-1\right)}^2}+\frac{1}{n^2}}=\left|1+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right|=1+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$Từ đó suy ra:$\begin{array}{l}{S}_n=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\mathrm{\dots }+\left(1+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\right)\\ =1+1+\mathrm{\dots }+1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\\ =(n-2).1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\\ =n-\frac{1}{n}-\frac{3}{2}\end{array}$Suy ra $S_{2016}=2016-\frac{1}{2016}-\frac{3}{2}=\frac{2010513}{1003}$2. Chứng minh rằng với mọi $n\ge 3$ thì ” $S_n$ là số hưu tỉ nhưng không thể là số nguyênDễ thấy ngay được khẳng định “ $S_n$ là ố hưu tỉ nhưng không thể là số nguyên”

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Thực hiện phép tính: 38−18−512+50
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thực hiện phép tính: $3\sqrt{8}-\sqrt{18}-5\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{50}$

   Trả lời:

   Ta biến đổi:$\begin{array}{l}3\sqrt{8}-\sqrt{18}-5\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{50}\\ =3.\sqrt{4.2}-\sqrt{9.2}-5\sqrt{\frac{2}{2^2}}+\sqrt{25.2}\\ =6\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\frac{5}{2}\sqrt{2}+5\sqrt{2}\\ =\left(6-3-\frac{5}{2}+5\right)\sqrt{2}\\ =\frac{11\sqrt{2}}{2}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Thực hiện phép tính: 22−13−2+23−1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thực hiện phép tính: $\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}-1}$

   Trả lời:

   Ta biến đổi:$\begin{array}{l}\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}-1}\\ =\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\\ =\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}+\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\\ =\sqrt{2}-\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{3}+1\right)\\ =\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{3}+1\\ =1\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Thực hiện phép tính: A=1535+53
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thực hiện phép tính: $A=15\left(\sqrt{\frac{3}{5}}+\sqrt{\frac{5}{3}}\right)$

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}A=15\left(\sqrt{\frac{3}{5}}+\sqrt{\frac{5}{3}}\right)\\ =15\left(\frac{1}{5}\sqrt{15}+\frac{1}{3}\sqrt{15}\right)\\ =15.\frac{8}{15}\sqrt{15}\\ =8\sqrt{15}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Thực hiện phép tính: B=7−67+6−7+67−6
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thực hiện phép tính: $B=\sqrt{\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}-\sqrt{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}$

   Trả lời:

   Ta có thể làm theo hai cách:Cách 1: Sử dụng phương pháp quy đồng mẫu, ta có:$\begin{array}{l}B=\sqrt{\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}-\sqrt{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}\\ =\frac{\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}{\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}-\frac{\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}{\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}\\ =\frac{{\left(\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{6}}\right)}^2-{\left(\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{6}}\right)}^2}{\sqrt{\sqrt{7}+\sqrt{6}}.\sqrt{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}\\ =-2\sqrt{6}\end{array}$Cách 2: Sử dụng phương pháp trục căn thức ở mẫu, ta có:$\begin{array}{l}B=\sqrt{\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}}-\sqrt{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}}\\ =\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)}^2}{\left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{7}-\sqrt{6}\right)}}\\ =\sqrt{{\left(\sqrt{7}-\sqrt{6}\right)}^2}-\sqrt{{\left(\sqrt{7}+\sqrt{6}\right)}^2}\\ =\sqrt{7}-\sqrt{6}-\sqrt{7}-\sqrt{6}=-2\sqrt{6}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Rút gọn biểu thức sau: A=23x+27x−8x+50x+x
   
   

   Câu hỏi:
   

   Rút gọn biểu thức sau: $A=2\sqrt{3x}+\sqrt{27x}-\sqrt{8x}+\sqrt{50x}+\sqrt{x}$

   Trả lời:

   Ta biến đổi:
   $\begin{array}{l}A=2\sqrt{3x}+\sqrt{27x}-\sqrt{8x}+\sqrt{50x}+\sqrt{x}\\ =\left(2+3\right)\sqrt{3x}+(-2+5)\sqrt{2x}+\sqrt{x}\\ =5\sqrt{3x}+3\sqrt{2x}+\sqrt{x}\\ =\left(5\sqrt{3}+3\sqrt{2}+1\right)\sqrt{x}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====