Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC.a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp

Câu hỏi:

Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC.a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp

Trả lời:

a) Vì $CMA=DMB={60}^o\Rightarrow CMB=DMA={120}^o.$ Xét ∆ CMB và ∆ AMD có$\left\{\begin{array}{l}CM=AM\\ CMB=DMA\Rightarrow \Delta CMB=\Delta AMD(c.g.c)\\ MB=MD\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}MCB=MAD\\ MBC=MDA\end{array}\right.$Suy ra AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho biểu thức P=1+a1+a−1−a+1−a1−a2−1+a1a2−1−1a với 0 < a < 1. Chứng minh rằng P = –1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho biểu thức $P=\left(\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{1-a}{\sqrt{1-a^2}-1+a}\right)\left(\sqrt{\frac{1}{a^2}-1}-\frac{1}{a}\right)$ với 0 < a < 1. Chứng minh rằng P = –1

   Trả lời:

   Với 0 < a < 1 ta có:$\begin{array}{l}P=\left[\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{{\left(\sqrt{1-a}\right)}^2}{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}-{\left(\sqrt{1-a}\right)}^2}\right]\left(\sqrt{\frac{1-a^2}{a^2}}-\frac{1}{a}\right)\\ =\left[\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{{\left(\sqrt{1-a}\right)}^2}{\sqrt{1-a}\left(\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}\right)}\right]\left[\sqrt{\frac{(1-a)(1+a)}{a^2}}-\frac{1}{a}\right]\\ =\left[\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}\right]\left(\frac{\sqrt{1-a}.\sqrt{1+a}}{a^2}-\frac{1}{a}\right)\\ =\frac{\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}.\frac{2\sqrt{1-a}.\sqrt{1+a}-(1-a)-(1+a)}{2a}\\ =\frac{\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}.\frac{-{\left(\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}\right)}^2}{2a}\\ =-\frac{\left(\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}\right)\left(\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}\right)}{2a}\\ =-\frac{1+a-1+a}{2a}=-\frac{2a}{2a}=-1\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số.b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi y1, y2 là tung độ của A, B. Tìm m sao cho |y12−y22|=35
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho parabol (P): y = -x² và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số.b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi y₁, y₂ là tung độ của A, B. Tìm m sao cho $|y_1^2-y_2^2|=3\sqrt{5}$

   Trả lời:

   b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): $-x^2=2mx-1\iff x^2+2mx-1=0$Phương trình (*) có ∆’ = m² + 1 > 0 ⇒ (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ ∀ m hay d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.Áp dụng Viét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2m\\ x_1{x}_2=-1\end{array}\right.\Rightarrow |x_1-x_2|=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2}=\sqrt{{(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{4m^2+4}=2\sqrt{m^2+1}$Khi đó ta có $\left\{\begin{array}{l}{y}_1=2m{x}_1-1\\ y_2=2m{x}_2-1\end{array}\right.\Rightarrow |y_1^2-y_2^2|=|{(2m{x}_1-1)}^2-{(2m{x}_2-1)}^2|\begin{array}{l}\Rightarrow |y_1^2-y_2^2|=\left|\right(2m{x}_1-1-2m{x}_2+1\left)\right(2m{x}_1-1+2m{x}_2-1\left)\right|=\left|4m\right(x_1-x_2\left)\text{[}m\right(x_1+x_2)-1]|\\ =\left|4m\right(2m^2+1\left)\right(x_1-x_2\left)\right|=4\left|m(2m^2+1)\right||x_1-x_2|=4\left|m\right|(2m^2+1)2\sqrt{m^2+1}\end{array}$Ta có: $|y_1^2-y_2^2|=3\sqrt{5}\iff 64m^2{(2m^2+1)}^2(m^2+1)=45\iff 64(4m^4+4m^2+1)(m^4+m^2)=45$Đặt: $m^4+m^2=t\ge 0$có phương trình $64t(4t+1)=45\iff 256t^2+64t-45=0\iff t=\frac{5}{16} (vì t\ge 0)\Rightarrow m^4+m^2=\frac{5}{16}\iff 16m^4+16m^2-5=0\iff m=\pm \frac{1}{2}$Vậy $m=\pm \frac{1}{2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số.a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho parabol (P): y = -x² và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số.a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 1

   Trả lời:

   a, Khi m = 1 ta có d : y = 2x – 1 và (P): y = –x²Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là:Với $x=-1+\sqrt{2}\Rightarrow y=-3+2\sqrt{2}$ Với $x=-1-\sqrt{2}\Rightarrow y=-3-2\sqrt{2}$Vậy các giao điểm là $\left(-1+\sqrt{2};-3+2\sqrt{2}\right);\left(-1-\sqrt{2};-3-2\sqrt{2}\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. Vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc trên 1/4 quãng đường AB sau bằng 1/2 vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại A với vận tốc lớn hơn vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu tiên lúc đi là 10 km/h. Thời gian kể từ lúc xuất phát tại A đến khi xe trở về A là 8,5 giờ. Tính vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. Vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc trên 1/4 quãng đường AB sau bằng 1/2 vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại A với vận tốc lớn hơn vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu tiên lúc đi là 10 km/h. Thời gian kể từ lúc xuất phát tại A đến khi xe trở về A là 8,5 giờ. Tính vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A?

   Trả lời:

   Gọi vận tốc của người đi xe máy trên 3/4 quãng đường AB đầu (90 km) là x (km/h) (x > 0)Vận tốc của người đi xe máy trên 1/4 quãng đường AB sau là 0,5x (km/h)Vận tốc của người đi xe máy khi quay trở lại A là x + 10 (km/h)Tổng thời gian của chuyến đi là $\frac{90}{x}+\frac{30}{0,5x}+\frac{120}{x+10}+\frac{1}{2}=8,5$$\iff \frac{90}{x}+\frac{60}{x}+\frac{120}{x+10}=8\iff \frac{150}{x}+\frac{120}{x+10}=8\iff 75(x+10)+60x=4x(x+10)\iff 4x^2-95x-750=0\iff x=30 (do x>0)$Vậy vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A là 30 + 10 = 40 (km/h)
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC.b) Chứng minh CP.CB+DP.DA=ABc) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC và BMPD cắt PA, PB tương ứng tại E, F. Chứng minh CDFE là hình thang.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC.b) Chứng minh $\sqrt{CP.CB}+\sqrt{DP.DA}=AB$c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC và BMPD cắt PA, PB tương ứng tại E, F. Chứng minh CDFE là hình thang.

   Trả lời:

   b) Vì AMPC là tứ giác nội tiếp nên$CPM={180}^o-CAM={120}^o=CMB\Rightarrow \Delta CPM~\Delta CMB(g.g)\Rightarrow \frac{CP}{CM}=\frac{CM}{CB}\Rightarrow CP.CB=C{M}^2\Rightarrow \sqrt{CP.CB}=CM.$Tương tự $\sqrt{DP.DA}=DM$Vậy $\sqrt{CP.CB}+\sqrt{DP.DA}=CM+DM=AM+BM=AB$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====