Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện (a+b)3+4ab≤12.  Chứng minh bất đẳng thức 11+a+11+b+2015ab≤2016.

Câu hỏi:

Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện ${(a+b)}^3+4ab\le 12.$  Chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\le 2016.$

Trả lời:

Ta có $12\ge {(a+b)}^3+4ab\ge {\left(2\sqrt{ab}\right)}^3+4ab$. Đặt $t=\sqrt{ab},t>0$ thì$12\ge 8t^3+4t^2\iff 2t^3+t^2-3\le 0\iff (t-1)(2t^2+3t+3)\le 0$ Do $2t^2+3t+3>0,\forall t$ nên $t-1\le 0\iff t\le 1$. Vậy $0<ab\le 1$ Chứng minh được $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\le \frac{2}{1+\sqrt{ab}},\forall a,b>0$ thỏa mãn $ab\le 1$ Thật vậy, BĐT $\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+\sqrt{ab}}+\frac{1}{1+b}-\frac{1}{1+\sqrt{ab}}\le 0$ $\frac{\sqrt{ab}-a}{(1+a)(1+\sqrt{ab})}+\frac{\sqrt{ab}-b}{(1+b)(1+\sqrt{ab})}\le 0\iff \left(\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{1+\sqrt{ab}}\right)\left(\frac{\sqrt{a}}{1+a}-\frac{\sqrt{b}}{1+b}\right)\iff \frac{{(\sqrt{b}-\sqrt{a})}^2(\sqrt{ab}-1)}{(1+\sqrt{ab})(1+a)(1+b)}\le 0$  Do $0<ab\le 1$ nên BĐT này đúngTiếp theo ta sẽ CM $\frac{2}{1+\sqrt{ab}}+2015ab\le 2016,\forall a,b>0$ thỏa mãn $ab\le 1$Đặt $t=\sqrt{ab},0<t\le t$ ta được $\frac{2}{1+t}+2015t^2\le 2016$ $2015t^3+2015t^2-2016t-2014\le 0\iff (t-1)(2015t^2+4030t+2014)\le 0$ BĐT này đúng $\forall t:0<t\le 1$ Vậy $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab\le 2016.$ Đẳng thức xảy ra a = b = 1

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho a−b=29+125−25 . Tính giá trị của biểu thức:A=a2(a+1)−b2(b−1)−11ab+2015
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $a-b=\sqrt{29+12\sqrt{5}}-2\sqrt{5}$ . Tính giá trị của biểu thức:$A=a^2(a+1)-b^2(b-1)-11ab+2015$

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}a-b=\sqrt{29+12\sqrt{5}}-2\sqrt{5}=\sqrt{{\left(3+2\sqrt{5}\right)}^2}-2\sqrt{5}=3\\ A=a^3-b^3+a^2+b^2-11ab+2015\\ =(a-b)(a^2+b^2+ab)+a^2+b^2-11ab+2015\\ =3(a^2+b^2+ab)+a^2+b^2-11ab+2015\\ =4(a^2-2ab+b^2)+2015=4{\left(a–b\right)}^2+2015=2051\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho x, y là hai số thực thỏa mãn xy+(1+x2)(1+y2)=1. Chứng minh rằng x1+y2+y1+x2=0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho x, y là hai số thực thỏa mãn $xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=1.$ Chứng minh rằng $x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=0.$

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=1\iff \sqrt{{(1+x)}^2{(1+y)}^2}=1-xy\\ \Rightarrow (1+x^2)(1+y^2)={\left(1–xy\right)}^2\\ \iff 1+x^2+y^2+x^2{y}^2=1-2xy+x^2{y}^2\\ \iff x^2+y^2+2xy=0\iff {\left(x+y\right)}^2=0\iff y=-x\\ \Rightarrow x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}=x\sqrt{1+x^2}-x\sqrt{1+x^2}=0\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Giải phương trình 2x+3+4×2+9x+2=2x+2+4x+1. 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình $2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2}=2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}.$ 

   Trả lời:

   Pt $\iff 2x+3+\sqrt{(x+2)(4x+1)}=2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}.$ ĐK: $x\ge -\frac{1}{4}$ Đặt $t^2=8x+4\sqrt{(x+2)(4x+1)}+9\iff 2x+\sqrt{(x+2)(4x+1)}=\frac{t^2-9}{4}$ PTTT $t^2-4t+3=0\iff t=1$ hoặc t = 3TH1. t = 1 giải ra vô nghiệm hoặc kết hợp với ĐK $t\ge \sqrt{7}$ bị loạiTH 2 $t=3\Rightarrow 2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}=3.$ Giải pt tìm được $x=-\frac{2}{9}$ (TM)Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=-\frac{2}{9}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Giải hệ phương trình 2×2−y2+xy−5x+y+2=y−2x+1−3−3xx2−y−1=4x+y+5−x+2y−2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x^2-y^2+xy-5x+y+2=\sqrt{y-2x+1}-\sqrt{3-3x}\\ x^2-y-1=\sqrt{4x+y+5}-\sqrt{x+2y-2}\end{array}\right.$

   Trả lời:

   ĐK: $y-2x+1\ge 0,4x+y+5\ge 0,x+2y-2\ge 0,x\le 1$$TH1: \left\{\begin{array}{l}y-2x+1=0\\ 3-3x=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}0=0\\ -1=\sqrt{10}-1\end{array}\right.(ko t/m)TH2: x\ne 1,y\ne 1$Đưa pt thứ nhất về dạng tích ta được$(x+y-2)(2x-y-1)=\frac{x+y-2}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}(x+y-2)\left[\frac{1}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}+y-2x+1\right]=0\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}+y-2x+1>0\Rightarrow x+y-2=0$Thay y= 2-x vào pt thứ 2 ta được $x^2+x-3=\sqrt{3x+7}-\sqrt{2-x}$$\begin{array}{l}\iff x^2+x-2=\sqrt{3x+7}-1+2-\sqrt{2-x}\\ \iff (x+2)(x-1)=\frac{3x+6}{\sqrt{3x+7}+1}+\frac{2+x}{2+\sqrt{2-x}}\\ \iff (x+2)\left[\frac{3}{\sqrt{3x+7}+1}+\frac{1}{2+\sqrt{2-x}}+1-x\right]=0\end{array}$Do $x\le 1\Rightarrow \frac{3}{\sqrt{3x+7}+1}+\frac{1}{2+\sqrt{2-x}}+1-x>0$Vậy $x+2=0\iff x=-2\Rightarrow y=4$ (t/m)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãnx4+x2−y2−y+20=0.  (1)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn$x^4+x^2-y^2-y+20=0.$  (1)

   Trả lời:

   Ta có (1) $\iff x^4+x^2+20=y^2+y$Ta thấy: $x^4+x^2<x^4+x^2+20\le x^4+x^2+20+8x^2\iff x^2(x^2+1)<y(y+1)\le (x^2+4)(x^2+5)$Vì x, y ∈ Z nên ta xét các trường hợp sau+ TH1. $y(y+1)=(x^2+1)(x^2+2)\iff x^4+x^2+20=x^4+3x^2+2\iff 2x^2=18\iff x^2=9\iff x=\pm 3$Với $x^2=9 \Rightarrow y^2+y=9^2+9+20\iff y^2+y-110=0\iff y=10;y=-11(t.m)$+ TH2 $y(y+1)=(x^2+2)(x^2+3)\iff x^4+x^2+20=x^4+5x^2+6\iff 4x^2=14\iff x^2=\frac{7}{2} \left(loại\right)$+ TH3: $y(y+1)=(x^2+3)(x^2+4)\iff 6x^2=8\iff x^2=\frac{4}{3} \left(loại\right)$+ TH4: $y(y+1)=(x^2+4)(x^2+5)\iff 8x^2=0\iff x^2=0\iff x=0$Với $x^2=0$ ta có $y^2+y=20\iff y^2+y-20=0\iff y=-5;y=4$Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên (x;y) là :(3;10), (3;-11), (-3; 10), (-3;-11), (0; -5), (0;4).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====