Rút gọn biểu thức B=31.22+52.32+…+2n+1nn+12

Câu hỏi:

Rút gọn biểu thức $B=\frac{3}{{\left(1.2\right)}^2}+\frac{5}{{\left(2.3\right)}^2}+\mathrm{\dots }+\frac{2n+1}{{\left[n\left(n+1\right)\right]}^2}$

Trả lời:

Đương nhiên không thể quy đồng mẫu tất cả các phân thức. Ta tìm cách tách mỗi phân thức thành hiệu của hai phân thức rồi dùng phương pháp khử liên tiếp. Ta có:$\frac{2k+1}{k^2{\left(k+1\right)}^2}=\frac{{\left(k+1\right)}^2-k^2}{k^2{\left(k+1\right)}^2}=\frac{1}{k^2}-\frac{1}{{\left(k+1\right)}^2}$Do đó $B=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}$$=1-\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}=\frac{n\left(n+2\right)}{{\left(n+1\right)}^2}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho phân thức M=a2+b2+c2a+b+c2+ab+bc+ca2a+b+c2−ab+bc+caa) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức được xác định (tức là để mẫu khác 0).b) Rút gọn phân thức M.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho phân thức $M=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right){\left(a+b+c\right)}^2+{\left(ab+bc+ca\right)}^2}{{\left(a+b+c\right)}^2-\left(ab+bc+ca\right)}$a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức được xác định (tức là để mẫu khác 0).b) Rút gọn phân thức M.

   Trả lời:

   Ta có${\left(a+b+c\right)}^2-\left(ab+bc+ca\right)=0\iff a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=0$$\iff 2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca=0$$\iff {\left(a+b\right)}^2+{\left(b+c\right)}^2+{\left(c+a\right)}^2=0\iff a+b=b+c=c+a=0$$\iff a=b=c=0$Vậy điều kiện để phần thức M được xác định là a, b, c không đồng thời bằng 0.b) Chú ý rằng ${\left(a+b+c\right)}^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)$Do đó, ta đặt $a^2+b^2+c^2=x$, $ab+bc+ca=y$. Khi đó ${\left(a+b+c\right)}^2=x+2y$Ta có $M=\frac{x\left(x+2y\right)+y^2}{x+2y-y}=\frac{x^2+2xy+y^2}{x+y}=\frac{{\left(x+y\right)}^2}{x+y}=x+y=a^2+b^2+c^2+ac+bc+ca$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Rút gọn phân thức A=b−c3+c−a3+a−b3a2b−c+b2c−a−c2a−b 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Rút gọn phân thức $A=\frac{{\left(b-c\right)}^3+{\left(c-a\right)}^3+{\left(a-b\right)}^3}{a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)-c^2\left(a-b\right) }$

   Trả lời:

   Phân tích mẫu thức thành nhân tử:$a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c- a\right)+c^2\left(a-b\right)=a^2\left(b-c\right)+b^{2}c-a{b}^2+a{c}^2-b{c}^2=a^2\left(b-c\right)+bc\left(b-c\right)-a\left(b^2-c^2\right)=\left(b-c\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)=\left(b-c\right)\left[a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right]=\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)$Do đó$A=\frac{{\left(b-c\right)}^3+{\left(c-a\right)}^3+{\left(a-b\right)}^3}{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right) }$Ta có nhận xét: Nếu $x+y+z=0$ thì $x^3+y^3+z^3=3xyz$Đặt $b-c=x, c-a=y, a-b=z$ thì $x+y+z=0$. Theo nhận xét trên: $A=\frac{x^3+y^3+z^3}{-xyz }=\frac{3xyz}{-xyz}=-3$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số n3+2nn4+3n2+1 là phân số tối giản.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số $\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}$ là phân số tối giản.

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Chứng minh rằng 1 +x+x2+x3+…+x31=1+x1+x21+x41+x81+x16. 1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng $1 +x+x^2+x^3+\mathrm{\dots }+x^{31}=\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)\left(1+x^4\right)\left(1+x^8\right)\left(1+x^{16}\right). \left(1\right)$

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm giá trị của x để các phân thức sau bằng 0:a)  x4+x3+x+1×4−x3+2×2−x+1;b) x4−5×2+4×4−10×2+9.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm giá trị của x để các phân thức sau bằng 0:a)  $\frac{x^4+x^3+x+1}{x^4-x^3+2x^2-x+1};$b) $\frac{x^4-5x^2+4}{x^4-10x^2+9}.$

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====