Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh:AC2 + BD2 = 4(OA2 + OB2) = 4AB2.

Câu hỏi:

Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh:AC² + BD² = 4(OA² + OB²) = 4AB².

Trả lời:

Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Do đó AC = 2OA, BD = 2OB.
Ta có: AC² + BD² = (2OA)² + (2OB)² = 4OA² + 4OB² = 4(OA² + OB²).
Xét ΔOAB vuông tại O, theo định lí Pythagore ta có:
AB² = OA² + OB²
Suy ra AC² + BD² = 4(OA² + OB²) = 4AB².

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hoạ tiết trên vải ở Hình 55 gợi lên hình ảnh của hình thoi. Hình thoi có những tính chất gì? Có những dấu hiệu nào để nhận biết một tứ giác là hình thoi?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hoạ tiết trên vải ở Hình 55 gợi lên hình ảnh của hình thoi.
   

   Hình thoi có những tính chất gì? Có những dấu hiệu nào để nhận biết một tứ giác là hình thoi?

   Trả lời:

   Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết câu hỏi trên như sau:
   ‒ Trong một hình thoi:
   + Bốn cạnh bằng nhau;
   + Các cạnh đối song song.
   + Các góc đối bằng nhau.
   + Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
   + Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.
   ‒ Dấu hiệu nhận biết hình thoi:
   + Hình bình hành có hai cạnh kề nhau là hình thoi.
   + Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
   + Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. So sánh độ dài các cạnh của tứ giác ABCD ở Hình 56.
   
   

   Câu hỏi:
   

   So sánh độ dài các cạnh của tứ giác ABCD ở Hình 56.
   

   Trả lời:

   Xét tứ giác ABCD ở Hình 56 ta có: AB = BC = CD = DA.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (Hình 58). a) Hình thoi ABCD có là hình bình hành hay không?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (Hình 58).
   
   a) Hình thoi ABCD có là hình bình hành hay không?

   Trả lời:

   a) Do ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.
   Xét tứ giác ABCD có: AB = CD, AD = BC nên ABCD là hình bình hành.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. b) Hai đường chéo AC và BD có vuông góc với nhau hay không?
   
   

   Câu hỏi:
   

   b) Hai đường chéo AC và BD có vuông góc với nhau hay không?

   Trả lời:

   b) Do ABCD là hình bình hành nên OB = OD.
   Xét ΔOAD và ΔOAB có:
   OA là cạnh chung;
   AD = AB (chứng minh trên);
   OD = OB (chứng minh trên).
   Do đó ΔOAD = ΔOAB (c.c.c)
   Suy ra $\widehat{AOD}=\widehat{AOB}$ (hai góc tương ứng)
   Mà .$\widehat{AOD}+\widehat{AOB}=180°$. (hai góc kề bù)
   Do đó $\widehat{AOD}=\widehat{AOB}=\frac{180°}{2}=90°$ hay AC ⊥ BD tại O.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. c) Hai tam giác ABC và ADC có bằng nhau hay không? Tia AC có phải là tia phân giác của BAD^ hay không?
   
   

   Câu hỏi:
   

   c) Hai tam giác ABC và ADC có bằng nhau hay không? Tia AC có phải là tia phân giác của $\widehat{BAD}$ hay không?

   Trả lời:

   c) Xét ΔABC và ΔADC có:
   AC là cạnh chung;
   AB = AD (chứng minh câu a);
   BC = DC (chứng minh câu a)
   Do đó ΔABC = ΔADC (c.c.c)
   Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{DAC}$ (hai góc tương ứng)
   Nên AC là tia phân giác của $\widehat{BAD}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====