Cho hình chữ nhật có hai cạnh kề không bằng nhau. Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc của hình chữ nhật đó cắt nhau tạo thành một hình vuông.

Câu hỏi:

Cho hình chữ nhật có hai cạnh kề không bằng nhau. Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc của hình chữ nhật đó cắt nhau tạo thành một hình vuông.

Trả lời:

Gọi giao điểm các đường phân giác của các góc: A, B, C, D theo thứ tự cắt nhau tại E, H, F, G.* Trong $∆$ADG , ta có:$\angle$(GAD) = ${45}^0$; $\angle$(GDA) = ${45}^0$ (gt)Suy ra: $\angle$(AGD) = ${180}^0$ – $\angle$(GAD) – $\angle$(GDA) = ${90}^0$⇒ $∆$GAD vuông cân tại G.⇒ GD = GATrong $∆$BHC, ta có:$\angle$(HBC) = ${45}^0$; $\angle$(HCB) = ${45}^0$ (gt)Suy ra: $\angle$(BHC) = ${180}^0$ – $\angle$(HBC) – $\angle$(HCB) = ${90}^0$⇒ $∆$HBC vuông cân tại H.⇒ HB = HC* Trong ΔFDC, ta có: $\angle$$D_1$ = ${45}^0$; $\angle$$C_1$= ${45}^0$ (gt)Suy ra: $\angle$F = ${180}^0$ – D1 – C1 = ${90}^0$⇒ $∆$FDC vuông cân tại F ⇒ FD = FCNên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).Xét $∆$GAD và $∆$HBC,ta có: $\angle$(GAD) = $\angle$(HBC) = ${45}^0$AD = BC (tính chất hình chữ nhật)$\angle$(GDA) = $\angle$(HCB) = ${45}^0$Suy ra: $∆$GAD = $∆$HBC ( g.c.g)Do đó, GD = HC .Lại có: FD = FC (chứng minh trên)Suy ra: FG = FHVậy hình chữ nhật EFGH có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình vuông.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Gọi M, N là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác AMDN là hình vuông.

   Trả lời:

   Xét tứ giác AMDN, ta có: $\angle$(MAN) = ${90}^0$ (gt)DM ⊥ AB (gt)⇒$\angle$(AMD) = ${90}^0$DN ⊥ AC (gt) ⇒$\angle$(AND) = ${90}^0$Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật(vì có ba góc vuông), có đường chéo AD là đường phân giác của AVậy hình chữ nhật AMDN là hình vuông

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tứ giác EKPQ là hình gì? Vì sao?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình vuông ABCD. Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, K, P, Q sao cho AE = BK = CP = DQ. Tứ giác EKPQ là hình gì? Vì sao?

   Trả lời:

   Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)AE = BK = CP = DQ (gt)Suy ra: EB = KC = PD = QA* Xét ΔAEQ và ΔBKE,ta có:AE = BK (gt)$\angle$(EAQ) = $\angle$(KBE) = ${90}^0$QA = EB (chứng minh trên)Suy ra: $△$AEQ = $△$BKE (c.g.c) ⇒ EQ = EK (1)* Xét $△$BKEvà $△$CPK,ta có: BK = CP (gt)             $\angle$(KBE) = $\angle$(PCK) = ${90}^0$             EB = KC ( chứng minh trên)Suy ra: $△$BKE = $△$CPK (c.g.c) ⇒ EK = KP (2)* Xét $△$CPK và $△$DQP,ta có: CP = DQ (gt)             $\angle$C = $\angle$D = ${90}^0$             DP = CK ( chứng minh trên)Suy ra: $△$CPK = $△$DQP (c.g.c) ⇒ KP = PQ (3)Từ (1), (2) và (3) suy ra: EK = KP = PQ = EQHay tứ giác EKPQ là hình thoi.Mặt khác: $△$AEQ = $△$BKE⇒ $\angle$(AQE) = $\angle$(BEK)Mà $\angle$(AQE) + $\angle$(AEQ) = ${90}^0$⇒ $\angle$(BEK) + $\angle$(AEQ) = ${90}^0$Ta có: $\angle$(BEK) + $\angle$(QEK) + $\angle$(AEQ ) = ${180}^0$Suy ra: $\angle$(QEK ) = ${180}^0$ -( $\angle$(BEK ) + $\angle$(AEQ) )= ${180}^0$ – ${90}^0$ = ${90}^0$Vậy tứ giác EKPQ là hình vuông.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K. Tứ giác AHIK là hình gì?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K. Tứ giác AHIK là hình gì?

   Trả lời:

   Ta có: IK // AC (gt) hay IK // AHLại có: IH // AB (gt) hay IH // AKVậy tứ giác AHIK là hình bình hàn

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K. Điểm I ở vị trí nào trên BC thì tứ giác AHIK là hình thoi
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K. Điểm I ở vị trí nào trên BC thì tứ giác AHIK là hình thoi

   Trả lời:

   Hình bình hành AHIK là hình thoi nên đường chéo AI là phân giác của $\angle$(BAC)Ngược lại nếu AI là phân giác của $\angle$(BAC) thì hình bình hành AHIK có đường chéo AI là phân giác của một góc nên hình bình hành AHIK là hình thoi.Vậy nếu I là giao điểm của đường phân giác của $\angle$A với cạnh BC thì tứ giác AHIK là hình thoi.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K. Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC, điểm I nằm giữa B và C. Qua I vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở H. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở K. Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.

   Trả lời:

   Hình bình hành AHIK là hình chữ nhật⇒ $\angle$A = ${90}^0$ suy ra $∆$ABC vuông tại A. Ngược lại ΔABC có $\angle$A = ${90}^0$Suy ra hình bình hành AHIK là hình chữ nhậtVậy nếu $∆$ABC vuông tại A thì tứ giác AHIK là hình chữ nhật.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====