Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AB, CD ở E, F. Qua O vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AD, BC ở G, H. Chứng minh rằng EGFH là hình bình hành.

Câu hỏi:

Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AB, CD ở E, F. Qua O vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AD, BC ở G, H. Chứng minh rằng EGFH là hình bình hành.

Trả lời:

* Xét $∆$OAE và $∆$OCF, ta có:OA = OC (tính chất hình bình hành)$\angle$(AOE)= $\angle$(COF)(đối đỉnh)$\angle$(OAE)= $\angle$(OCF)(so le trong)Do đó: $∆$OAE = $∆$OCF (g.c.g)⇒ OE = OF (l)* Xét $∆$OAG và $∆$OCH, ta có:OA = OC (tính chất hình bình hành)$\angle$(AOG) = $\angle$(COH)(dối đỉnh)$\angle$(OAG) = $\angle$(OCH)(so le trong).Do đó: $∆$OAG = $∆$OCH (g.c.g)⇒ OG = OH (2)Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EGFH là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình vẽ, trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua điểm c
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình vẽ, trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua điểm c

   Trả lời:

   Tứ giác ABCD là hình bình hành:⇒ AB // CD hay BM // CDXét tứ giác BMCD ta có:BM // CDBM = CD( = AB ) (gt)Suy ra: Tứ giác BMCD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)⇒ MC // BD và MC = BD (1)+) Ta có AD // BC (gt) haỵ DN // BCXét tứ giác BCND ta có: DN // BC và DN = BC (vì cùng bằng AD)Suy ra: Tứ giác BCND là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)⇒ CN // BD và CN = BD (2)Từ (1) và (2) theo tiên đề Ơ- clit suy ra: M, C, N thẳng hàng và MC = CN( = BD).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình vẽ trong đó DE // AB, DF // AC.Chứng minh rằng điểm E đối xứng với điểm F qua điểm I.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình vẽ trong đó DE // AB, DF // AC.Chứng minh rằng điểm E đối xứng với điểm F qua điểm I.

   Trả lời:

   Ta có: DE //AB (gt) hay DE //AFVà DF //AC (gt) hay DF //AESuy ra, tứ giác AEDF là hình bình hành.Lại có, I là trung điểm của AD nên I cũng là trung điểm EF (tính chất hình bình hành)Vậy E và F đối xứng qua tâm I.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng Với C qua N. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng Với C qua N. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.

   Trả lời:

   * Xét tứ giác ABCD, ta có:MA = MC (gt)MB = MD (định nghĩa đối xứng tâm)Suy ra: Tứ giác ABCD là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)⇒ AD // BC và AD = BC (1)* Xét tứ giác ACBE, ta có:AN = NB (gt)NC = NE (định nghĩa đối xứng tâm)Suy ra: Tứ giác ACBE là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) ⇒ AE // BC và AE = BC (2)Từ (1) và (2) suy ra: A, D, E thẳng hàng và AD = AENên A là trung điểm của DE hay điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Chứng minh rằng các điểm E và F đối xứng với nhau qua điểm A.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Chứng minh rằng các điểm E và F đối xứng với nhau qua điểm A.

   Trả lời:

   * Vì E đối xứng với D qua AB⇒ AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE⇒ AD = AE (tính chất đường trung trực)Nên $∆$ADE cân tại ASuy ra: AB là đường phân giác của $\angle$(DAE) ⇒ $\angle$$A_1$= $\angle$$A_2$* Vì F đối xứng với D qua AC⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF⇒ AD = AF (tính chất đường trung trực)Nên $∆$ADF cân tại ASuy ra: AC là phân giác của $\angle$(DAF)⇒ $\angle$$A_3$= $\angle$$A_4$$\angle$(EAF) = $\angle$EAD) + $\angle$(DAF) = $\angle$$A_1$+ $\angle$$A_2$+ $\angle$$A_3$+ $\angle$$A_4$= 2($\angle$$A_1$+ $\angle$$A_3$) = $2.{90}^0={180}^0$⇒ E, A, F thẳng hàng có AE = AF = AD Nên A là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O cắt các cạnh đối AD, BC ở E, F. Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua điểm O.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O cắt các cạnh đối AD, BC ở E, F. Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua điểm O.

   Trả lời:

   Xét $∆$OED và $∆$OFB, ta có:$\angle$(EOD)= $\angle$(FOB)(đối đỉnh)OD = OB (tính chất hình bình hành)$\angle$(ODE)= $\angle$(OBF)(so le trong)Do đó: $∆$OED = $∆$OFB (g.c.g)⇒ OE = OFVậy O là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm O

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====