Cho dãy số 7, 13, 25, …, 3nn−1+7n∈ℕ. Chứng minh rằng:a) Trong năm số hạng liên tiếp của dãy, bao giờ cũng tồn tại một bội số của 25.b) Không có số hạng nào của dãy là lập phương của một số nguyên.

Câu hỏi:

Cho dãy số $7,13,25,\mathrm{\dots },3n\left(n-1\right)+7\left(n\in \mathbb{N}\right)$. Chứng minh rằng:a) Trong năm số hạng liên tiếp của dãy, bao giờ cũng tồn tại một bội số của 25.b) Không có số hạng nào của dãy là lập phương của một số nguyên.

Trả lời:

a)b)

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho các số nguyên a, b, c. Chứng minh rằng: Nếu a+b+c chia hết cho 6 thì a3+b3+c3 chia hết cho 6
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho các số nguyên a, b, c. Chứng minh rằng: Nếu a+b+c chia hết cho 6 thì $a^3+b^3+c^3$ chia hết cho 6

   Trả lời:

   Xét hiệu$(a^3+b^3+c^3)-(a+b+c)=(a^3-a)+(b^3-b)+(c^3-c).$Mỗi biểu thức trong dấu ngoặc ở vế phải đều chia hết cho 6

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng: a3+b3+c3 chia hết cho 3abc
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng: $a^3+b^3+c^3$ chia hết cho 3abc

   Trả lời:

   $a+b+c=0\Rightarrow c=-(a+b).$Do đó$a^3+b^3+c^3=a^3+b^3-{(a+b)}^3=-3ab(a+b)=3abc.$=> chia hết cho 3abc

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng: a5+b5+c5 chia hết cho 5abc.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng: $a^5+b^5+c^5$ chia hết cho 5abc.

   Trả lời:

   $a+b+c=0\Rightarrow c=-(a+b).$Do đó$a^5+b^5+c^5=a^5+b^5-{(a+b)}^5=-5a^{4}b-10a^3{b}^2-10a^2{b}^3-5a{b}^4.$$=-5ab(a^3+2a^{2}b+2a{b}^2+b^3).$Biểu thức trong dấu ngoặc bằng $a^3+b^3+2ab(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2)+2ab(a+b)$$=(a+b)(a^2+ab+b^2).$Vậy $a^5+b^5+c^5=5abc(a^2+ab+b^2).$=> chia hết cho 5abc

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Viết số 19951995 thành tổng của nhiều số tự nhiên. Tổng các lập phương của các số tự nhiên đó chia cho 6 dư bao nhiêu?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Viết số ${1995}^{1995}$ thành tổng của nhiều số tự nhiên. Tổng các lập phương của các số tự nhiên đó chia cho 6 dư bao nhiêu?

   Trả lời:

   Đặt ${1995}^{1995}=a=a_1+a_2+\mathrm{\dots }+a_n.$Gọi $S=a_1^3+a_2^3+\mathrm{\dots }+a_n^3=(a_1^3-a_1)+(a_2^3-a_2)+\mathrm{\dots }+(a_n^3-a_n)+a.$Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6. Chỉ cần tìm số dư khi chia a cho 6. Chú ý rằng 1995 là số lẻ chia hết cho 3 nên a cũng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho 6 dư 3. Vậy S chia cho 6 dư 3.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a và b: a3b-ab3 chia hết cho 6
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số nguyên a và b: $a^{3}b–a{b}^3$ chia hết cho 6

   Trả lời:

   $a^{3}b-a{b}^3=a^{3}b-ab-a{b}^3+ab=b(a^3-a)-a(b^3-b)$; biểu thức trong mỗi dấu ngoặc chia hết cho 6.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====