Sách bài tập Toán 10 Bài 5 (Cánh diều): Phương trình đường tròn

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 5: Phương trình đường tròn

Giải SBT Toán 10 trang 88 Tập 2

Bài 47 trang 88 SBT Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây không là phương trình đường tròn?

A. x²+y²=4;

B. x²+y²+2x-1=0;

C. 2x²+3y²+2x+3y=9;

D. x²+y²+4y+3=0.

Lời giải:

Câu A: x²+y²=4 là phương trình đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R = 2.

Câu B: x²+y²+2x-1=0$\iff$(x+1)²+y²=1 là phương trình đường tròn có tâm (-1; 0) bán kính R = $\sqrt{2}$.

Câu C: không thể biến đổi về dạng của phương trình đường tròn.

Câu D: x²+y²+4y+3=0$\iff$x²+(y+2)²=1 là phương trình đường tròn có tâm (0; -2) và bán kính R = 1.

Vậy chọn đáp án C.

Bài 48 trang 88 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x+8)²+(y-10)²=36. Tọa độ tâm I của (C) là:

A. (8; – 10);

B. (- 8; 10);

C. (- 10; 8);

D. (10; – 8).

Lời giải:

Dễ dàng ta thấy theo dạng phương trình đường tròn (x-a)²+(y-b)²=R² thì tâm I của (C) có tọa độ là I(-8; 10).

Vậy chọn đáp án B.

Bài 49 trang 88 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x-1)²+(y+2)²=4. Bán kính của (C) bằng:

A. 4;

B. 16;

C. 2;

D. 1.

Lời giải:

Dễ dàng ta thấy theo dạng phương trình đường tròn (x-a)²+(y-b)²=R² thì bán kính của đường tròn là R = $\sqrt{4}$=2

Vậy chọn đáp án C.

Giải SBT Toán 10 trang 89 Tập 2

Bài 50 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn tâm I(- 4; 2) bán kính R = 9 có phương trình là:

A. (x-4)²+(y+2)²=81;

B. (x+4)²+(y-2)²=9;

C. (x-4)²+(y+2)²=9;

D. (x+4)²+(y-2)²=81.

Lời giải:

Đường tròn tâm I(- 4; 2) bán kính R = 9 có phương trình là: (x+4)²+(y-2)²=81

Vậy chọn đáp án D.

Bài 51 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 3)² + (y – 4)² = 25. Tiếp tuyến tại điểm M(0; 8) thuộc đường tròn có một vectơ pháp tuyến là:

A. $\overrightarrow{n}$=(-3;4);

B. $\overrightarrow{n}$=(3;4);

C. $\overrightarrow{n}$=(4;-3);

D. $\overrightarrow{n}$=(4;3).

Lời giải:

Đường tròn có tâm I(3; 4).

Tiếp tuyến tại M của đường tròn có vectơ pháp tuyến là vectơ $\overrightarrow{IM}$=(-3;4)

Vậy chọn đáp án A.

Bài 52 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (x – 6)² + (y – 7)² = 16. Hai điểm M, N chuyển động trên đường tròn (C). Khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm M và N bằng:

A. 16;

B. 8;

C. 4;

D. 256.

Lời giải:

Do M, N chuyển động trên đường tròn nên khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm M, N chính bằng đường kính của đường tròn.

Bán kính của đường tròn (C) là: R=$\sqrt{16}$=4.

Vậy độ dài lớn nhất của MN = 2R = 8. Chọn đáp án B.

Bài 53 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm k sao cho phương trình: x² + y² – 6x + 2ky + 2k + 12 = 0 là phương trình đường tròn.

Lời giải:

Ta biến đổi như sau:

x² + y² – 6x + 2ky + 2k + 12 = 0

⇔ (x – 3)² + (y + k)² = k² – 2k – 3

Để phương trình trên là phương trình đường tròn thì

k² – 2k – 3>0$\iff$

Vậy k < – 1 hoặc k > 3.

Bài 54 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(- 6; 2) bán kính 7.

b) (C) có tâm I(3; – 7) và đi qua điểm A(4; 1)

c) (C) có tâm I(1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng 3x + 4y + 19 = 0.

d) (C) có đường kính AB với A(- 2; 3) và B(0; 1)

 

e) (C) có tâm I thuộc đường thẳng ${∆}_1$: và (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ${∆}_2$: 3x+4y-1=0, ${∆}_3$: 3x-4y+2=0

Lời giải:

a) Phương trình (C) có tâm I(- 6; 2) bán kính 7 là: (x + 6)² + (y – 2)² = 7².

b) Bán kính của đường tròn (C) là: IA =|$\overrightarrow{IA}$| =$\sqrt{{\left(4-3\right)}^2+{\left(1+7\right)}^2}=\sqrt{65}$

Phương trình đường tròn là: (x-3)²+(y+7)² =65.

c) Bán kính của đường tròn chính bằng khoảng cách từ I đến đường thẳng d: 3x + 4y + 19 = 0.

Suy ra R=d(I,d)= =6

Phương trình đường tròn là: (x -1)² + (y – 2)² = 36.

d) Gọi I là tâm của đường tròn thì IA = R và I là trung điểm của AB

Suy ra I(-1; 2), IA =|$\overrightarrow{IA}$| =$\sqrt{{\left(-1+2\right)}^2+{\left(2-3\right)}^2}=\sqrt{2}$

Phương trình đường tròn là: (x +1)² + (y – 2)² = 2.

e) Tâm I thuộc đường thẳng ${∆}_1$: nên I(1 + t; 1 – t)

Đường tròn có 2 tiếp tuyến nên khoảng cách từ I đến 2 tiếp tuyến bằng nhau và bằng bán kính của đường tròn.

Ta có: d(I,${∆}_2$)=d(I,${∆}_3$)

$\iff$|t-6|=|7t+1|

Với t = $\frac{5}{8}$ thì I$\left(\frac{13}{8};\frac{3}{8}\right)$ và R = d(I; ∆₂) = . Khi đó phương trình đường tròn là: x−1382+y−382=43402.

Với t = $\frac{-7}{6}$ thì I$\left(-\frac{1}{6};\frac{13}{8}\right)$ và R = d(I; ∆₂) = . Khi đó phương trình đường tròn là: ${\left(x+\frac{1}{6}\right)}^2+{\left(y-\frac{13}{6}\right)}^2={\left(\frac{43}{30}\right)}^2$.

Bài 55 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Lập phương trình đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C): (x+2)²+(y-3)²=4 trong mỗi trường hợp sau:

a) ∆ tiếp xúc (C) tại điểm có tung độ bằng 3.

b) ∆ vuông góc với đường thẳng 5x – 12y + 1 = 0.

c) ∆ đi qua điểm D(0; 4).

Lời giải:

Đường tròn có tâm I(-2; 3) và bán kính R = 2.

a) Hoành độ của điểm có tung độ bằng 3 là:

(x+2)²+(3-3)²=4 $\iff$

Suy ra ta có 2 điểm M(0; 3) và điểm N(-4; 3).

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng IM là: $\overrightarrow{IM}$=(2;0).

Phương trình đường thẳng IM: 2(x – 0) = 0 hay x = 0.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng IN là: $\overrightarrow{IN}$=(-2;0).

Phương trình đường thẳng IN: – 2(x + 4) = 0 hay x + 4 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng là: x = 0 hoặc x + 4 = 0.

b) ∆ vuông góc với đường thẳng 5x – 12y + 1 = 0

nên ∆ có dạng: 12x + 5y + c = 0.

Khoảng cách từ I đến ∆ bằng R nên d(I,∆)=2

Với c = 35 thì phương trình tiếp tuyến là: 12x + 5y + 35 =0

Với c = – 17 thì phương trình tiếp tuyến là: 12x + 5y – 17 =0

c) Gọi H(a ;b) là tiếp điểm.

Do D(0; 4) thuộc nên DH vuông góc với IH và IH = R = 2.

Ta có: $\overrightarrow{DH}$=(a;b-4) và $\overrightarrow{IH}$=(a+2;b-3)

⇒ IH = |$\overrightarrow{IH}$|=$\sqrt{{\left(a+2\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2}$=2

⇔ a² + 4a + 4 + b² – 6b + 9 = 4

⇔ a² + 4a + b² – 6b + 9 = 0 (1)

Ta lại có: $\overrightarrow{DH}$.$\overrightarrow{IH}$=0$\iff$ a(a+2)+(b-4)(b-3)=0

⇔ a² + 2a + b² – 7b + 12 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Với a = 0, b = 3 thì H(0; 3)

Suy ra $\overrightarrow{IH}$=(2;0)

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2(x – 0) = 0 ⇔ x = 0.

Với a=$–\frac{4}{5}$; b=$\frac{23}{5}$

Suy ra $\overrightarrow{IH}$= $\left(\frac{6}{5};\frac{8}{5}\right)=\frac{2}{5}\left(3;4\right)$

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 3(x – 0) + 4(y – 4) = 0 ⇔ 3x + 4y – 16 = 0.

Vậy có hai đường thẳng ∆ thỏa mãn yêu cầu là x = 0 hoặc 3x + 4y – 16 = 0.

Bài 56 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x+2)²+(y-4)²=25 và điểm A(- 1; 3)

a) Xác định vị trí tương đối của điểm A đối với đường tròn (C).

b) Đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt đường tròn tại M và N. Viết phương trình đường thẳng d sao cho MN ngắn nhất.

Lời giải:

a) Đường tròn (C) có tâm I(-2; 4) và bán kính R = $\sqrt{25}$ = 5.

Ta có: IA=|$\overrightarrow{IA}$|=$\sqrt{{\left(-2+1\right)}^2+{\left(4-3\right)}^2}=\sqrt{2}$ < 5

Do đó A nằm trong đường tròn (C).

b) Dây cung MN ngắn nhất khi khoảng cách từ tâm I đến dây cung là lớn nhất

Do d đi qua A cố định nên khi d thay đổi thì khoảng cách lớn nhất từ I đến d chính bằng IA.

Hay IA vuông góc với d.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d: $\overrightarrow{IA}$=(1;-1)

Phương trình đường thẳng d: (x + 1) – (y – 3) = 0 ⇔ x – y + 4 = 0.

Giải SBT Toán 10 trang 90 Tập 2

Bài 57 trang 90 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường thẳng: ${\Delta }_1$: x+y+1=0, ${∆}_2$: 3x+4y+20=0; ${∆}_3$: 2x-y+50=0 và đường tròn (C); (x+3)²+(y-1)²=9 . Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng đã cho đối với đường tròn (C).

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(-3; 1) và bán kính R = 3.

Ta có: d(I,${\Delta }_1$)=<3, suy ra ${\Delta }_1$ cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

d(I,${∆}_2$)==$\frac{15}{5}$=3=R, suy ra ${∆}_2$ tiếp xúc với đường tròn.

d(I,${∆}_3$)=>3, suy ra ${∆}_3$ không có điểm chung với đường tròn.

Bài 58 trang 90 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1) và đường thẳng ∆: 3x + 4y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn (C), biết (C) có tâm M và đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm N, P thỏa mãn tam giác MNP đều.

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của M lên ∆

Suy ra MH là khoảng cách từ M đến ∆

MH = =2

Xét tam giác MNH vuông tại H có:

MN = $\frac{MH}{\sin {60}^o}=\frac{4}{\sqrt{3}}$

Mà R = MN = $\frac{4}{\sqrt{3}}$

Phương trình đường tròn là: (x-1)² +(y-1)² =$\frac{16}{3}$.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

SBT Toán 10 Bài 3: Phương trình đường thẳng

SBT Toán 10 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

SBT Toán 10 Bài 5: Phương trình đường tròn

SBT Toán 10 Bài 6: Ba đường conic

SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 7