Sách bài tập Toán 10 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài 1 trang 79 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và a = b. Chứng minh rằng: c2 = 2a2 (1 – cosC ).

Lời giải

Áp dụng định lí côsin ta có:

c2 = a2 + b2 – 2abcosC

mà a = b nên

c2 = a2 + a2 – 2a2cosC

c2 = 2a2 – 2a2cosC

c2 = 2a2 (1 – cosC ).

Bài 2 trang 79 SBT Toán 10 Tập 1: Tính các góc chưa biết của tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) $\hat{\text{A}}$ = 42°, $\hat{\text{B}}$ = 63°;

b) BC = 10, AC = 20, $\hat{\text{C}}$ = 80°;

c) AB = 15, AC = 25, BC = 30.

Lời giải

a) Tam giác ABC có: $\hat{\text{A}}$ + $\hat{\text{B}}$ + $\hat{\text{C}}$ = 180°.

⇒ $\hat{\text{C}}$ = 180° – $\hat{\text{A}}$ – $\hat{\text{B}}$ = 180° – 42° – 63° = 75°.

Vậy $\hat{\text{C}}$ = 75°.

b) Áp dụng định lí côsin ta có:

AB2 = BC2 + AC2 – 2BC.AC.cos$\hat{\text{C}}$

AB2 = 102 + 202 – 2.10.20.cos80°

AB = $\sqrt{{10}^2+{20}^2–\mathrm{2.10.20.}\text{cos}80°}$

AB ≈ 20,75.

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{\text{AB}}{\text{sinC}}\text{=}\frac{\text{AC}}{\text{sinB}}\text{=}\frac{\text{BC}}{\text{sinA}}$ ≈ $\frac{20,75}{\sin 80°}$.

⇒ sinB = AC : $\frac{20,75}{\sin 80°}$ = 20 : $\frac{20,75}{\sin 80°}$ ≈ 0,949 ⇒ $\hat{\text{B}}$ ≈ 71°37’.

⇒ sinA = BC : $\frac{20,75}{\sin 80°}$ = 10 : $\frac{20,75}{\sin 80°}$ ≈ 0,475 ⇒ $\hat{\text{C}}$ ≈ 28°21’.

Vậy $\hat{\text{B}}$ ≈ 71°37’ và $\hat{\text{C}}$ ≈ 28°21’.

c) Theo định lí côsin ta có: AB2 = BC2 + AC2 – 2BC.AC.cos$\hat{\text{C}}$

⇒ cos$\hat{\text{C}}$ = $\frac{{\text{BC}}^2+{\text{AC}}^2-{\text{AB}}^2}{2.\text{BC}.\text{AC}}$ = $\frac{{30}^2+{25}^2-{15}^2}{\mathrm{2.30.25}}$ = $\frac{13}{15}$ ⇒ $\hat{\text{C}}$ ≈ 29°55’.

Tương tự như trên, ta có:

cos$\hat{\text{A}}$ = $\frac{{\text{AB}}^2+{\text{AC}}^2-{\text{BC}}^2}{2.\text{AB}.\text{AC}}$ = $\frac{{15}^2+{25}^2-{30}^2}{\mathrm{2.15.25}}$ = $\frac{-1}{15}$ ⇒ $\hat{\text{A}}$ ≈ 93°49’.

cos$\hat{\text{B}}$ = $\frac{{\text{AB}}^2+{\text{BC}}^2-{\text{AC}}^2}{2.\text{AB}.\text{BC}}$ = $\frac{{15}^2+{30}^2-{25}^2}{\mathrm{2.15.30}}$ = $\frac{5}{9}$ ⇒ $\hat{\text{B}}$ ≈ 56°15’.

Bài 3 trang 79 SBT Toán 10 Tập 1: Để xác định chiều cao của một tòa nhà cao tầng, một người đứng tại điểm M, sử dụng giác kế nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng $\widehat{\text{RQA}}$ = 79°, người đó lùi ra xa một khoảng cách LM = 50m thì nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng $\widehat{\text{RPA}}$ = 65°. Hãy tính chiều cao của tòa nhà, biết rằng khoảng cách từ mặt đất đến ống ngắm của giác kế đó là PL = QM = 1,4 m ( Hình 6).

Lời giải

Đặt d = PQ = 50m; h = AR là chiều cao từ giác kế đến đỉnh tòa nhà.

Ta có: $\widehat{\text{RQA}}$ = 79° và $\widehat{\text{RPA}}$ = 65°

tan$\widehat{\text{RQA}}$ = $\frac{\text{AR}}{\text{QR}}$ = $\frac{\text{h}}{\text{QR}}$ ⇒ QR = $\frac{\text{h}}{\text{tan}\widehat{\text{RQA}}\text{}}$ = $\frac{\text{h}}{\text{tan79°}}$.

tan$\widehat{\text{RPA}}$ = $\frac{\text{AR}}{\text{PR}}$ = $\frac{\text{h}}{\text{PR}}$ ⇒ PR = $\frac{\text{h}}{\text{tan}\widehat{\text{RPA}}\text{}}$ = $\frac{\text{h}}{\text{tan65°}}$.

Ta có:

PQ = PR – QR = $\frac{\text{h}}{\text{tan65°}}$ – $\frac{\text{h}}{\text{tan79°}}$ = h $\left(\frac{1}{\tan 65°}-\frac{1}{\tan 79°}\right)$ = 50 (m)

⇒ h ≈ 183,9 (m)

Vậy chiều cao của tòa nhà là AR + RO ≈ 183,9 + 1,4 = 185,3 (m).

Bài 4 trang 79 SBT Toán 10 Tập 1: Một vệ tinh quay quanh Trái Đất, đang bay phía trên hai trạm quan sát ở hai thành phố Hồ Chí Minh và Cần Thơ. Khi vệ tinh nằm giữa hai trạm này, góc nâng của nó được quan sát đồng thời là 55° tại Thành phố Hồ Chí Minh và 80° tại Cần Thơ. Hỏi khi đó vệ tinh cách trạm quan sát Cần Thơ bao xa? Biết rằng, khoảng cách giữa hai trạm quan sát là 127km.

Lời giải

Tam giác ABC có: $\hat{\text{A}}$ + $\hat{\text{B}}$ + $\hat{\text{C}}$ = 180°.

⇒ $\hat{\text{C}}$ = 180° – $\hat{\text{A}}$ – $\hat{\text{B}}$ = 180° – 80° – 55° = 45°.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{\text{AB}}{\text{sinC}}=\frac{\text{AC}}{\text{sinB}}$ ⇒ AC = $\frac{\text{AB}}{\text{sinC}}$.sinB = $\frac{127}{\sin 45°}$.sin55° ≈ 147 (km).

Vậy khoảng cách giữa trạm Cần Thơ và vệ tinh khoảng 147 km.

Bài 5 trang 79 SBT Toán 10 Tập 1: Tính khoảng cách AB giữa nóc hai tòa cao ốc. Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là 360 km, 340 km và góc nhìn từ vệ tinh đến A và B là là 13,2° ( Hình 8).

Lời giải

Gọi điểm O đại diện cho vệ tinh.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OAB:

AB2 = OA2 + OB2 – 2.OA.OB.cos$\hat{\text{O}}$

AB2 = 3602 + 3402 – 2.360.340.cos13,2°

AB = $\sqrt{{360}^2+{340}^2–\mathrm{2.360.340.}\text{cos}13,2°}$

AB ≈ 82,87 km.

Vậy khoảng cách giữa hai nóc nhà tòa cao ốc khoảng 82,87 km.

Bài 6 trang 79 SBT Toán 10 Tập 1: Một chiếc tàu khởi hành từ bến cảng, đi về hướng Bắc 15 km, sau đó bẻ lái 20° về hướng tây bắc và đi thêm 12 km nữa ( Hình 9). Tính khoảng cách từ tàu đến bến cảng.

 

Lời giải

Ta có hình vẽ sau:

AB là đoạn đường mà tàu đi được ban đầu nên AB = 15 km. AC là đoạn tàu đi được sau khi bẻ sang hướng tây bắc 20° nên AC = 12 km và $\widehat{\text{CAm}}$= 20°. BC là khoảng cách từ tàu đến bến cảng.

$\widehat{\text{CAm}}$ và $\widehat{\text{CAB}}$ là hai góc kề bù ⇒ $\widehat{\text{CAB}}$ = 180° – 20° = 160°.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC2 = AC2 + BC2 – 2.AC.BC.cos$\widehat{\text{CAB}}$

BC2 = 152 + 122 – 2.12.15.cos20°

BC = $\sqrt{{15}^2+{12}^2–\mathrm{2.12.15.}\text{cos}20°}$

BC ≈ 26,59 km.

Vậy khoảng cách từ tàu đến bến cảng khoảng 26,59 km.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Khái niệm vectơ

Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ