Giải SGK Toán 10 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 7

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 7

A. Trắc nghiệm

Bài 7.26 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?

A. 2x – y + 1 = 0;

B. $\{\begin{cases} x = 2 t \\ y = t \end{cases}$ ;

C. x2 + y2 = 1;

D. y = 2x + 3.

Lời giải:

Ta thấy 2x – y + 1 = 0; y = 2x + 3 là phương trình tổng quát của đường thẳng. Do đó A, D sai.

Ta thấy x2 + y2 = 1 là phương trình đường tròn. Do đó C sai.

Phương trình $\{\begin{cases} x = 2 t \\ y = t \end{cases}$ là phương trình tham số của đường thẳng. Do đó B đúng.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 7.27 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng?

A. –x – 2y + 3 = 0;

B. $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 - t \end{cases}$ ;

C. y2 = 2x;

D. $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ .

Lời giải:

Ta có:

$\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 - t \end{cases}$ là phương trình tham số của đường thẳng. Do đó B sai.

y2 = 2x là phương trình chính tắc của parabol. Do đó C sai.

$\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ là phương trình chính tắc của elip. Do đó D sai.

–x – 2y + 3 = 0 là phương trình tổng quát của đường thẳng. Do đó A đúng.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 7.28 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ?

A. x² – y² = 1;

B. (x – 2)² – (y – 2)² = 1;

C. x² + y² = 2;

D. y² = 8x.

Lời giải:

x² – y² = 1 có hệ hệ số của y² là – 1 ≠ 1 nên phương trình x² – y² = 1 không là phương trình đường tròn. Do đó A sai.

(x – 2)² – (y – 2)²= 1 không thoả mãn dạng của phương trình đường tròn (x – a)² + (y – b)² = R². Do đó B sai.

y² = 8x là phương trình chính tắc của parabol. Do đó D sai.

x² + y² = 2 là phương trình đường tròn có tâm I(0;0) và R = $\sqrt{2}$ . Do đó C đúng.

Vậy chọn đáp án C.

Bài 7.29 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?

A. $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ;

B. $\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ ;

C. $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1$ ;

D. $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{1} = 1$

Lời giải:

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ có a = b = 3 không thoả mãn điều kiện a > b > 0 nên $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ không là phương trình chính tắc của đường elip. Do đó A sai

$\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ có a = 1; b = $\sqrt{6}$ mà a < b không thoả mãn điều kiện a > b > 0 nên $\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ không là phương trình chính tắc của đường elip. Do đó B sai

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1$ là phương trình hypebol. Do đó C sai

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ là phương trình elip vì a = $\sqrt{2}$ ; b = 1 nên a > b > 0. Do đó D đúng.

Vậy chọn đáp án D.

Bài 7.30 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?

A. $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{2} = - 1$

B. $\frac{x^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{6} = 1$

C. $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{1} = 1$

D. $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{1} = - 1$

Lời giải:

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{2} = - 1$ không có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ nên không là phương trình chính tắc của đường hypebol. Do đó A sai

$\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{1} = 1$ là phương trình elip. Do đó C sai

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{1} = - 1$ không có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ nên không là phương trình chính tắc của đường hypebol. Do đó D sai

Đáp án : B. $\frac{x^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{6} = 1$

Vì a = 1; b = $\sqrt{6}$ ⇒ c = $\sqrt{1 + 6} = \sqrt{7}$

Ta có : 1 < $\sqrt{7}$ hay a < c nên theo định nghĩa hypebol ta có: $\frac{x^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ là phương trình chính tắc của đường hypebol.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 7.31 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?

A. x² = 4y

B. x² = -6y

C. y² = 4x

D. y² = -4x

Lời giải:

Phương trình chính tắc của parabol có dạng y² = 2px (p > 0).

Ta thấy chỉ có đáp án C có phương trình dạng trên và thỏa mãn p = 2 > 0 ( thoả mãn điều kiện về phương trình chính tắc của parabol).

Vậy đáp án cần chọn là C.

B. Bài tập

Bài 7.32 trang 58 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho A(1; −1), B(3; 5); C(−2; 4). Tính diện tích tam giác ABC

Lời giải:

Ta có: $\vec{C B}$ = (5; 1) ⇒ BC = $\sqrt{5^{2} + 1^{2}}$ = $\sqrt{26}$

Ta lại có $\vec{C B}$ = (5; 1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC nên vectơ pháp tuyến của BC là $\vec{n}$ (−1; 5).

Đường thẳng BC đi qua điểm B(3; 5) và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ (−1; 5), có phương trình là:

−1(x – 3) + 5(y − 5) = 0 ⇒ −x + 5y – 22 = 0

d(A; BC) = $\frac{|- 1 + 5. (- 1) - 22|}{\sqrt{{(- 1)}^{2} + 5^{2}}}$ = $\frac{14 \sqrt{26}}{13}$ .

Khi đó diện tích tam giác ABC là: S = $\frac{1}{2}$ . d(A; BC). BC = $\frac{1}{2}$ . $\frac{14 \sqrt{26}}{13}$ . $\sqrt{26}$ =14 (đvdt).

Vậy diện tích tam giác ABC là 14 đvdt.

Bài 7.33 trang 58 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai điểm A(−1; 0) và B(3; 1)

a) Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB

c) Viết phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn tâm A có dạng : (x + 1)2 + y2 = R2 (với R là bán kính của đường tròn tâm A).

Vì đường tròn đi qua điểm B(3; 1) nên (3 + 1)2 + 12 = R2 ⇒ R2 = 17

Vậy phương trình đường tròn là: (x + 1)2 + y2 = 17

b) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\vec{A B}$ = (4; 1) nên vectơ pháp tuyến là $\vec{n}$ (−1; 4).

Vậy phương trình đường thẳng AB là: −1(x + 1) + 4(y – 0) = 0 hay –x + 4y −1 = 0.

c) Vì đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB nên

R = d(O; AB) = $\frac{|- 0 + 4.0 - 1|}{\sqrt{{(- 1)}^{2} + 4^{2}}}$ = $\frac{1}{\sqrt{17}}$

Vậy phương trình đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB là:

(x – 0)2 + (y – 0)2 = $\frac{1}{17}$ hay x2 + y2 = $\frac{1}{17}$ .

Bài 7.34 trang 58 Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0

a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của (C).

b) Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.

Lời giải:

a) Với phương trình x² + y²– 4x + 6y – 12 = 0 hay x² + y² – 2.2x – 2.( –3) y + (– 12) = 0.

⇒ a = 2; b = –3; c = –12

Khi đó, tâm I(2; –3) và bán kinh R = $\sqrt{a^{2} + b^{2} - c} = \sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2} + 12} = 5$

b) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn (C) ta được:

52 + 12 – 4.5 + 6.1 – 12 = 0

⇔ 25 + 1 – 20 + 6 – 12 = 0

⇔ 0 = 0 (luôn đúng)

⇒ M(5; 1) ∈ (C).

Ta có: $\vec{I M}$ = (3; 4)

Vì d là phương trình tiếp tuyến của (C) tại M nên IM ⊥ d, do đó đường thẳng d nhận $\vec{I M}$ = (3; 4) làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M(5; 1) có vectơ pháp tuyến $\vec{I M}$ = (3; 4) là:

3(x – 5) + 4(y – 1) = 0 ⇔ 3x + 4y – 19 = 0.

Bài 7.35 trang 59 Toán 10 Tập 2: Cho elip (E) : $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0)

a) Tìm các giao điểm A1, A2 của (E) với trục hoành và các giao điểm B1, B2 của (E) với trục tung. Tính A1A2; B1B2

b) Xét một điểm bất kì M(x0; y0) thuộc (E).

Chứng minh rằng: b2 ≤ $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ ≤ a2 và b ≤ OM ≤ a

Chú ý: A1A2; B1B2 tương ứng được là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b

Lời giải:

a) Giao điểm của (E) với trục hoành có y = 0 nên $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1$ ⇒ x2 = a2 ⇒ x = ± a

Do đó, giao điểm của (E) với trục hoành lần lượt là: A1(−a; 0), A2(a; 0).

⇒ $\vec{A_{1} A_{2}} (2 a; 0)$ ⇒ A1A2 = $\sqrt{{(2 a)}^{2} + 0^{2}}$ = 2a.

Giao điểm của (E) với trục tung có x = 0 nên $\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ⇒ y2 = b2 ⇒ y = ± b

Do đó, giao điểm của (E) với trục tung lần lượt là: B1(0; −b), B2(0; b).

⇒ $\vec{B_{1} B_{2}} (0; 2 b)$ ⇒ B1B2 = $\sqrt{0^{2} + {(2 b)}^{2}}$ = 2b.

Vậy A1(−a; 0), A2(a; 0), B1(0; −b), B2(0; b), A1A2 = 2a, B1B2 = 2b.

b) Vì M(x0; y0) thuộc (E) nên $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1$

Vì a > b > 0 nên $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} \leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}}$ (Dấu “=” xảy ra khi x0 = 0)

⇔ $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} \leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}$ hay $1 \leq \frac{x_{0}^{2}}{b^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = \frac{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}}{b^{2}}$

⇒ b2 ≤ $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ (1)

Tương tự ta có: $\frac{y_{0}^{2}}{a^{2}} \leq \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}$ (Dấu “=” xảy ra khi y0 = 0)

⇔ $\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} \geq \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{a^{2}}$ hay $1 \geq \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{a^{2}}$ ⇒ $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ ≤ a2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: b2 ≤ $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ ≤ a2 (đpcm)

Mặt khác ta có: $\vec{O M}$ = (x0; y0) ⟹ OM = $\sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}}$

Mà b2 ≤ $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ ≤ a2 ⇒ b ≤ $\sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}}$ ≤ a hay b ≤ OM ≤ a (đpcm).

Bài 7.36 trang 59 Toán 10 Tập 2: Cho hypebol có phương trình : $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

a) Tìm các giao điểm A1, A2 của hypebol với trục hoành (hoành độ của A1 nhỏ hơn của A2).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ –a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.

c) Tìm các điểm M1, M2 tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hyperbol để M1M2 nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Giao điểm của (H) với trục hoành có y = 0 nên $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1$ ⇒ x2 = a2 ⇒ x = ± a;

Hơn nữa hoành độ A1 nhỏ hơn hoành độ A2 nên ta có: A1(−a; 0), A2(a; 0).

Vậy tọa độ giao điểm của hypebol với trục hoành lần lượt là A1(−a; 0), A2(a; 0).

b) Ta có: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

⇔ $\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{y^{2}}{b^{2}}$

Mà $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ ≥ 0 nên $\frac{x^{2}}{a^{2}} \geq 1$ hay x2 ≥ a2

⇔ |x| ≥ |a|

⇔ x ≥ a hoặc x ≤ – a .

Vậy điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ 0 nên x ≤ –a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ 0 nên x ≥ a.

b) Gọi toạ độ điểm M1(x1;y1), M2(x2;y2), tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol. Khi đó x1 ≤ – a và x2 ≥ a.

Ta có

$\vec{M_{1} M_{2}} (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1})$ ⇒ M1M2 = $\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ ;

A1A2 = $\sqrt{{(a - (- a))}^{2} + {(0 - 0)}^{2}}$ = 2a.

Vì x1 < 0 và x2 > 0 nên x2 – x1 = $|x_{2}|$ + $|x_{1}|$ (1)

Mặt khác ta có: x1 ≤ –a và x2 ≥ a ⇒ $|x_{2}|$ ≥ a và $|x_{1}|$ ≥ a

⇒ $|x_{2}|$ + $|x_{1}|$ ≥ a + a = 2a (2)

Từ (1) và (2) ta có: x2 – x1 ≥ 2a ⇒ (x2 – x1)2 ≥ (2a)2

Ta lại có: (y2 – y1)2 ≥ 0

⇒ (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 ≥ (2a)2 + 0 = (2a)2

⇒ $\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ ≥ 2a hay M1M2 ≥ A1A2

Vậy M1M2 nhỏ nhất khi M1M2 = A1A2

Dấu “=” xảy ra khi diểm M1 ≡ A1(-a; 0) và M2 ≡ A2(a; 0).

Bài 7.37 trang 59 Toán 10 Tập 2: Một cột trụ hình hyperbol (H.7.36), có chiều cao 6m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng 0,8m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5m (Tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

Giải Toán 10 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1)

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là chỗ nhỏ nhất ở chính giữa, như hình vẽ sau:

Giải Toán 10 (Kết nối tri thức): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1)

Gọi A1, A2 lần lượt là giao điểm của hypebol với trục hoành mà O là trung điểm của A1A2 nên A1(−0,4 ; 0), A2(0,4 ; 0) hay a = 0,4.

Gọi phương trình hypebol của hình trụ có dạng : $\frac{x^{2}}{{0,4}^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Gọi M là một điểm trên đỉnh cột nằm ở nhánh bên phải của trục tung hypebol. Ta có toạ độ điểm M(0,5; 3).

Vì điểm M(0,5; 3) thuộc (H) nên $\frac{{0,5}^{2}}{{0,4}^{2}} - \frac{3^{2}}{b^{2}} = 1$

⇔ $\frac{25}{16} - \frac{3^{2}}{b^{2}} = 1$

⇔ $\frac{3^{2}}{b^{2}} = \frac{25}{16} - 1 = \frac{9}{16}$

⇒ b2 = 16

Do đó phương trình hypebol của hình trụ đó là: $\frac{x^{2}}{{0,4}^{2}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Tại vị trí 5m thì điểm đó cách trục hoành một khoảng bằng 2m nên ta có y = 2.

Thay y = 2 vào phương trình hypebol ta được:

$\frac{x^{2}}{{0,4}^{2}} - \frac{2^{2}}{16} = 1$

⇔ $\frac{x^{2}}{{0,4}^{2}} = \frac{20}{16}$

⇒ x2 = 0,2 ⇒x = $\sqrt{0,2}$ ≈±0,45

Vậy độ rộng tại vị trí có độ cao 5m xấp xỉ là: 0,45.2 = 0,9 m.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 22: Ba đường Conic

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 25: Nhị thức Newton

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy