Giải SGK Toán 10 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Nhị thức Newton

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Nhị thức Newton

Giải toán lớp 10 trang 33 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Khởi động trang 33 Toán lớp 10:

Lời giải:

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có công thức khai triển của biểu thức ${\left(a+b\right)}^n$ với $n>3$ là

$\begin{array}{l}{\left(a+b\right)}^n=a^n+C_n^1{a}^{n-1}b+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+...+C_n^{n-2}{a}^2{b}^{n-2}+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n\\ =\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k\end{array}$

Khám phá trang 33 Toán lớp 10: a) Xét công thức khai triển ${\left(a+b\right)}^2=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên

ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên

iii) Tính giá trị của $C_3^0,C_3^1,C_3^2,C_3^3$ (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của  ${\left(a+b\right)}^4$

${\left(a+b\right)}^4=\left(a+b\right){\left(a+b\right)}^3=?=?a^4+?a^{3}b+?a^2{b}^2+?a{b}^3+?b^4$

Tính giá trị của $C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4$ để viết lại công thức khai triển trên

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của ${\left(a+b\right)}^5$. Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Lời giải:

a)

i) Các số hạng của khai triển trên là: $a^3,3a^{2}b,3a{b}^2,b^3$

ii) Các hệ số của khai triển trên là: $1;3;3;1$

iii) Tính các giá trị $C_3^0,C_3^1,C_3^2,C_3^3$ ta được

$C_3^0=1,C_3^1=3,C_3^2=3,C_3^3=1$

Các giá trị của $C_3^0,C_3^1,C_3^2,C_3^3$ bằng với các hệ số của khai triển đã cho

b)

$\begin{array}{l}{\left(a+b\right)}^4=\left(a+b\right){\left(a+b\right)}^3=\left(a+b\right)\left(a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\right)\\ =a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\end{array}$

Tính giá trị của $C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4$ ta được

$C_4^0=1,C_4^1=4,C_4^2=6,C_4^3=4,C_4^4=1$

Vậy ta được khai triển là:

${\left(a+b\right)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$

c)

Dự đoán công thức ${\left(a+b\right)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$

Tính lại ta có

$\begin{array}{l}{\left(a+b\right)}^5={\left(a+b\right)}^2{\left(a+b\right)}^3=\left(a^2+2ab+b^2\right)\left(a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\right)\\ =a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$

Vậy công thức dự đoán là chính xác.

Giải toán lớp 10 trang 35 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 35 Toán lớp 10: Khai triển các biểu thức sau

a) ${\left(x-2\right)}^4$

b) ${\left(x+2y\right)}^5$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Lời giải:

a) ${\left(x-2\right)}^4$

$\begin{array}{l}=x^4+4x^3.\left(-2\right)+6x^2.{\left(-2\right)}^2+4x{\left(-2\right)}^3+{\left(-2\right)}^4\\ =x^4-8x^3+24x^2-32x+16\end{array}$

b) ${\left(x+2y\right)}^5$

$\begin{array}{l}=x^5+5.x^4.\left(2y\right)+10.x^3.{\left(2y\right)}^2+10.x^2.{\left(2y\right)}^3+5.x.{\left(2y\right)}^4+1.{\left(2y\right)}^5\\ =x^5+10x^{4}y+40x^3{y}^3+80x^2{y}^3+80x{y}^4+32y^5\end{array}$

Thực hành 2 trang 35 Toán lớp 10: Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng

a) $C_4^0+2C_4^1+2^2{C}_4^2+2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=81$

b) $C_4^0-2C_4^1+2^2{C}_4^2-2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4=1$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}{C}_4^0+2C_4^1+2^2{C}_4^2+2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4\\ =1^4.C_4^0+1^3.2C_4^1+1^2{.2}^2{C}_4^2+{1.2}^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4\\ ={\left(1+2\right)}^4=3^4\end{array}$

$=81$ (đpcm)

b)

$\begin{array}{l}{C}_4^0-2C_4^1+2^2{C}_4^2-2^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4\\ =1^4.C_4^0-1^3.2C_4^1+1^2{.2}^2{C}_4^2-{1.2}^3{C}_4^3+2^4{C}_4^4\\ ={\left(1-2\right)}^4={\left(-1\right)}^4\end{array}$

$=1$ (đpcm)

Vận dụng trang 35 Toán lớp 10: Trên quầy còn 4 vé xổ số khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong các số vé đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Lời giải:

Mỗi lựa chọn mua vé của khách hàng đó là một tổ hợp chập k của 4 $\left(0\le k\le 4\right)$. Do đó, tổng số lựa chọn mua vé của khách hàng là

 $\begin{array}{l}{C}_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4\\ =C_4^0{.1}^4+C_4^1{.1}^3.1+C_4^2{.1}^2{.1}^2+C_4^3.1{.1}^3+C_4^4{.1}^4\\ ={\left(1+1\right)}^4=2^4\\ =16\end{array}$

Vậy có tất cả 16 lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó.

Bài tập (trang 35)

Bài 1 trang 35 Toán lớp 10: Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a) ${\left(3x+y\right)}^4$

b) ${\left(x-\sqrt{2}\right)}^5$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Lời giải:

a) ${\left(3x+y\right)}^4={\left(3x\right)}^4+4.{\left(3x\right)}^{3}y+6.{\left(3x\right)}^2{y}^2+4.\left(3x\right)y^3+y^4$

$=81x^4+108x^{3}y+54x^2{y}^2+12x{y}^3+y^4$

b)

 $\begin{array}{l}{\left(x-\sqrt{2}\right)}^5={\left(x+(-\sqrt{2})\right)}^5\\ =x^5+5.x^4.\left(-\sqrt{2}\right)+10.x^3.{\left(-\sqrt{2}\right)}^2+10.x^2.{\left(-\sqrt{2}\right)}^3+5.x.{\left(-\sqrt{2}\right)}^4+1.{\left(-\sqrt{2}\right)}^5\\ =x^5-5\sqrt{2}.x^4+20x^3-20\sqrt{2}.x^2+20x-4\sqrt{2}\end{array}$

Bài 2 trang 35 Toán lớp 10: Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

a) ${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4$

b) ${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4+{\left(2-\sqrt{2}\right)}^4$

c) ${\left(1-\sqrt{3}\right)}^5$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Lời giải:

a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có

 $\begin{array}{l}{\left(2+\sqrt{2}\right)}^4=2^4+{4.2}^3.\left(\sqrt{2}\right)+{6.2}^2.{\left(\sqrt{2}\right)}^2+\mathrm{4.2.}{\left(\sqrt{2}\right)}^3+{\left(\sqrt{2}\right)}^4\\ =\left[2^4+{6.2}^2.{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^4\right]+\left[{4.2}^3.\left(\sqrt{2}\right)+\mathrm{4.2.}{\left(\sqrt{2}\right)}^3\right]\\ =68+48\sqrt{2}\end{array}$

b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có

${\left(2+\sqrt{2}\right)}^4=2^4+{4.2}^3.\left(\sqrt{2}\right)+{6.2}^2.{\left(\sqrt{2}\right)}^2+\mathrm{4.2.}{\left(\sqrt{2}\right)}^3+{\left(\sqrt{2}\right)}^4$   ${\left(2-\sqrt{2}\right)}^4={\left(2+(-\sqrt{2})\right)}^4=2^4+{4.2}^3.\left(-\sqrt{2}\right)+{6.2}^2.{\left(-\sqrt{2}\right)}^2+\mathrm{4.2.}{\left(-\sqrt{2}\right)}^3+{\left(-\sqrt{2}\right)}^4$

Từ đó,

$\begin{array}{l}{\left(2+\sqrt{2}\right)}^4+{\left(2-\sqrt{2}\right)}^4=2\left[2^4+{6.2}^2.{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^4\right]\\ =2\left(16+48+4\right)=136\end{array}$

c) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có

$\begin{array}{l}{\left(1-\sqrt{3}\right)}^5={\left(1+(-\sqrt{3})\right)}^5\\ =1+5.\left(-\sqrt{3}\right)+10.{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+10.{\left(-\sqrt{3}\right)}^3+5.{\left(-\sqrt{3}\right)}^4+1.{\left(-\sqrt{3}\right)}^5\\ =\left[1+10.{\left(-\sqrt{3}\right)}^2+5.{\left(-\sqrt{3}\right)}^4\right]+\left[5.\left(-\sqrt{3}\right)+10.{\left(-\sqrt{3}\right)}^3+1.{\left(-\sqrt{3}\right)}^5\right]\\ =76-44\sqrt{3}\end{array}$

Bài 3 trang 35 Toán lớp 10: Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển ${\left(3x-2\right)}^5$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhị thức Newton

$(ax+b{)}^5=a^5{x}^5+5a^4{x}^4.b+10a^3{x}^3.b^2+10a^2{x}^2.b^3+5ax.b^4+b^5$

Hệ số của $x^3$ trong khai triển là $10a^3{b}^2$.

Lời giải:

Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có

Hệ số $x^3$ là hệ số của số hạng $C_5^3{\left(3x\right)}^3{\left(-2\right)}^2=1080x^3$

Vậy hệ số của $x^3$ là 1080

Bài 4 trang 35 Toán lớp 10: Cho $A=\left\{a_1;a_2;a_3;a_4;a_5\right\}$ là một tổ hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng tổ hợp con có số lẻ $\left(1,3,5\right)$ phần tử của A bằng tập hợp con có số chẵn $\left(0,2,4\right)$ phần tử của A

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính các tổ hợp con

Bước 2: Sử dụng công thức nhị thức Newton

Lời giải:

Số tổ hợp con có x phần tử là số tổ hợp chập x của 5.

=> Số tổ hợp con có lẻ phần tử là: $C_5^1+C_5^3+C_5^5=5+10+1=16$

     Số tổ con có chẵn phần tử là: $C_5^0+C_5^2+C_5^4=1+10+5=16$

$\Rightarrow C_5^0+C_5^2+C_5^4=C_5^1+C_5^3+C_5^5$ (đpcm)

Bài 5 trang 35 Toán lớp 10: Chứng minh rằng $C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5=0$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhị thức Newton

Hoặc $C_n^k=C_n^{n-k}$

Lời giải:

$\begin{array}{l}{C}_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5\\ =C_5^0{.1}^5-C_5^1{.1}^4.1+C_5^2{.1}^3{.1}^2-C_5^3{.1}^2{.1}^3+C_5^4.1{.1}^4-C_5^5{.1}^5\\ ={\left(1-1\right)}^5=0^5\\ =0\end{array}$

Vậy ta có điều phải chứng minh

Cách 2:

Ta có: $C_5^0=C_5^{5-0}=C_5^5$

Tương tự: $C_5^1=C_5^{5-1}=C_5^4;C_5^2=C_5^{5-2}=C_5^3;$

$\Rightarrow C_5^0-C_5^1+C_5^2-C_5^3+C_5^4-C_5^5=\left(C_5^0-C_5^5\right)+\left(C_5^4-C_5^1\right)+\left(C_5^2-C_5^3\right)=0$ (đpcm)

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài tập cuối chương 8

Bài 1: Toạ độ của vecto

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ