Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế
Video bài giảng Giải tam giác và ứng dụng thực tế – Chân trời sáng tạo
Giải toán lớp 10 trang 74 Tập 1 Chân trời sáng tạo
HĐ Khởi động trang 74 Toán lớp 10: Với số liệu đo được từ một bên bờ sông như hình vẽ bên, bạn hãy giúp nhân viên đo đạc tính khoảng cách giữa hai cái cây bên kia bờ sông.
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí cosin:
Lời giải:
Kí hiệu 3 điểm A, B, C như hình dưới.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
Mà
Vậy khoảng cách giữa hai cây bên bờ sông là 54m.
1. Giải tam giác
Giải toán lớp 10 trang 75 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Thực hành trang 75 Toán lớp 10: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a)
b)
Phương pháp giải:
a) Áp dụng định lí sin:
b) Áp dụng hệ quả của định lí cosin:
Lời giải:
a) Ta cần tính góc và hai cạnh
Ta có:
Áp dụng định lí sin, ta có:
b) Ta cần tính số đo ba góc
Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:
2. Áp dụng giải tam giác vào thực tế
Giải toán lớp 10 trang 76 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Vận dụng 1 trang 76 Toán lớp 10: Hai máy bay cùng cất cánh từ một sân bay nhưng bay theo hai hướng khác nhau. Một chiếc di chuyển với tốc độ 450 km/h theo hướng tây và chiếc còn lại di chuyển theo hướng lệch so với hướng bắc về phía tây với tốc độ 630 km/h (Hình 5). Sau 90 phút, hai máy bay cách nhau bao nhiêu kilomet? Giả sử chúng đang ở cùng độ cao.
Phương pháp giải:
Bước 1. Tính góc
Bước 2: Áp dụng định lí cosin:
Lời giải:
Ta có:
Sau 90 phút = 1,5 giờ:
Máy bay thứ nhất đi được quãng đường (OA) là:
Máy bay thứ hai đi được quãng đường (OB) là:
Áp dụng định lí cosin trong tam giác OAB, ta có:
Vậy sau 90 phút, hai máy bay cách nhau khoảng 1009,2 km.
Giải toán lớp 10 trang 77 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Vận dụng 2 trang 77 Toán lớp 10: Trên bản đồ địa lí, người ta thường gọi tứ giác với bốn đỉnh lần lượt là các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên. Dựa theo các khoảng cách đã cho trên Hình 6, tính khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá.
Phương pháp giải:
Bước 1: Áp dụng hệ quả của định lí cosin để tính các góc
Bước 2: Áp dụng định lí cosin
Lời giải:
Bước 1: Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác HCL, ta có:
Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác HLR, ta có:
Bước 2: Áp dụng định lí cosin
Vậy khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá là 75, 72 km.
Bài tập
Bài 1 trang 77 Toán lớp 10: Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a)
b)
c)
d)
Lời giải:
a)
Ta cần tính cạnh BC và hai góc
Áp dụng định lí cosin, ta có:
Áp dụng định lí sin, ta có:
b)
Ta cần tính góc A và hai cạnh AB, AC.
Ta có:
Áp dụng định lí sin, ta có:
c)
Ta cần tính góc A và hai cạnh AB, BC.
Ta có:
Áp dụng định lí sin, ta có:
d)
Ta cần tính số đo ba góc
Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:
Bài 2 trang 77 Toán lớp 10: Để lắp đường dây điện cao thế từ vị trí A đến vị trí B, do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km, sau đó nối đường dây từ vị trí C đến vị trí B dài 8 km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 70°. Tính chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B.
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính cạnh AB: Áp dụng định lí cosin:
Bước 2: Tính chiều dài tăng thêm, bằng
Lời giải:
Áp dụng định lí cosin, ta có:
Vậy chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp là:
Bài 3 trang 77 Toán lớp 10: Một người đứng cách thân một cái quạt gió 16 m và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng 56,5° (Hình 8). Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất. Cho biết khoảng cách từ mắt của người đó đến mặt đất là 1,5 m.
Phương pháp giải:
Kí hiệu các điểm A, B, C như hình dưới.
Cách 1:
Tính góc B rồi áp dụng định lí sin để tính BC:
Cách 2:
Lời giải:
Kí hiệu các điểm A, B, C như hình dưới.
Cách 1:
Ta có:
Áp dụng định lí sin, ta có:
Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất là
Cách 2:
Vậy khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất là
Giải toán lớp 10 trang 78 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Bài 4 trang 78 Toán lớp 10: Tính chiều cao AB của một ngọn núi. Biết tại hai điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất (B, C, D thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là 32° và 40° (Hình 9).
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính AB theo tan góc đối bằng 2 cách (đưa vào hai tam giác ABC và ADB)
Bước 2: Giải phương trình ẩn x, từ đó suy ra AB.
Lời giải:
Tam giác ABC vuông tại B nên ta có:
Tam giác ADB vuông tại B nên ta có:
Vậy chiều cao của ngọn núi là 2,45 km.
Bài 5 trang 78 Toán lớp 10: Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm P và Q nằm ở sườn đồi nghiêng 32° so với phương ngang, cách nhau 60 m (Hình 10). Người quan sát tại P xác định góc nâng của khinh khí cầu là 62°. Cùng lúc đó, người quan sát tại Q xác định góc nâng của khinh khí cầu đó là 70°. Tính khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu.
Phương pháp giải:
Kí hiệu điểm A là vị trí khinh khí cầu.
Bước 1: Tính góc P, Q, A trong tam giác APQ.
Bước 2: Áp dụng định lí sin, tính QA
Lời giải:
Gọi A là vị trí của khinh khí cầu, Pt là đường sườn đồi như hình.
Ta có:
Tại P, góc nâng của khinh khí cầu là
Tại Q, góc nâng của khinh khí cầu là
và
Áp dụng định lí sin trong tam giác APQ, ta có:
Vậy khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu là 215,56 m.
Bài 6 trang 78 Toán lớp 10: Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao 352 m so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai mốc này là 43°, góc giữa phương thẳng đứng và đường ngắm tới một điểm mốc trên mặt đất là 62° và điểm mốc khác là 54° (Hình 11). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.
Phương pháp giải:
Bước 1: Kí hiệu các điểm A, B, C, H như hình trên.
Bước 2: Tính AB, AC bằng cách gắn vào tam giác ABH và ACH.
Bước 3: Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC:
Lời giải:
Gọi các điểm A, B, C, H như hình trên.
Xét tam giác ABH ta có:
Mà
Tương tự, ta có:
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:
Vậy khoảng cách giữa hai cột mốc này là 141,8 m.
Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 2: Định lí cosin và định lí sin
Bài tập cuối chương 4
Bài 1: Khái niệm vecto
Bài 2: Tổng và hiệu của hai vecto