Giải SGK Toán 10 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Các phép toán trên tập hợp

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Các phép toán trên tập hợp

Video bài giảng Các phép toán trên tập hợp – Chân trời sáng tạo

Giải toán lớp 10 trang 21 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khởi động trang 21 Toán lớp 10: Có 2 đường tròn chia một hình chữ nhật thành các miền như hình bên. Hãy đặt mỗi thẻ số sau đây vào miền thích hợp trên hình chữ nhật và giải thích cách làm

65	75		78		82		90
94		100		120		231

Phương pháp giải:

Phân biệt các miền trong hình chữ nhật

Lời giải:

Bội của 3: 75, 78, 90, 120, 231

Bội của 5: 65, 75, 90, 100, 120

Vừa là bội của 3, vừa là bội của 5: 75, 90, 120.

Không là bội của 3 và không là bội của 5: 82, 94

1. Hợp và giao của các tập hợp

HĐ Khám phá 1 trang 21 Toán lớp 10: Bảng sau đây cho biết kết quả vòng phỏng vấn tuyển dụng vào một công ty (dấu “+” là đạt, dấu “-” là không đạt):

a) Xác định tập hợp A gồm các ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn, tập hợp B gồm các ứng viên đạt yêu cầu về ngoại ngữ.

b) Xác định tập hợp C gồm các ứng viên đạt yêu cầu cả về chuyên môn và ngoại ngữ.

c) Xác định tập hợp D gồm các ứng viên đạt ít nhất một trong hai yêu cầu về chuyên môn và ngoại ngữ.

Lời giải:

a) Tập hợp A gồm các ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn là:

$A=\{a_1;a_2;a_5;a_6;a_7;a_8;a_{10}\}$

Tập hợp B gồm các ứng viên đạt yêu cầu về ngoại ngữ là:

$B=\{a_1;a_3;a_5;a_6;a_8;a_{10}\}$

b) Tập hợp C gồm các ứng viên đạt yêu cầu cả về chuyên môn và ngoại ngữ là:

$C=\{a_1;a_5;a_6;a_8;a_{10}\}$

c) Tập hợp D gồm các ứng viên đạt ít nhất một trong hai yêu cầu về chuyên môn và ngoại ngữ là:

$D=\{a_1;a_2;a_3;a_5;a_6;a_7;a_8;a_{10}\}$

Giải toán lớp 10 trang 23 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 23 Toán lớp 10: Xác định các tập hợp $A\cup B$ và $A\cap B$, biết:

a) $A=\{a;b;c;d;e\}$, $B=\{a;e;i;u\}$

b) $A=\{x\in \mathbb{R}|x^2+2x-3=0\}$,$B=\{x\in \mathbb{R}||x|=1\}$

Phương pháp giải:

$A\cup B=\{x|x\in A$ hoặc $x\in B\}$

$A\cap B=\{x|x\in A$ và $x\in B\}$

Lời giải:

a) $A\cup B=\{a;b;c;d;e;i;u\}$, $A\cap B=\{a;e\}$

b) Phương trình $x^2+2x-3=0$ có hai nghiệm là 1 và -3, nên $A=\{1;-3\}$

Phương trình $B=\{x\in \mathbb{R}||x|=1\}$ có hai nghiệm là 1 và -1, nên $B=\{1;-1\}$

Từ đó, $A\cup B=\{1;-1;-3\}$, $A\cap B=\{1\}.$

Thực hành 2 trang 23 Toán lớp 10: Cho $A=\{(x;y)|x,y\in \mathbb{R},3x-y=9\}$, $B=\{(x;y)|x,y\in \mathbb{R},x-y=1\}$. Hãy xác định $A\cap B$.

Phương pháp giải:

$A\cap B=\{(x;y)|(x;y)\in A$ và $(x;y)\in B\}$

Lời giải:

a) $A\cap B=\{(x;y)|x,y\in \mathbb{R},3x-y=9,x-y=1\}$

Tức là $A\cap B$là tập hợp các cặp số (x;y) thỏa mãn hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}3x-y=9\\ x-y=1\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \{\begin{array}{l}y=3x-9\\ y=x-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x-1=3x-9\\ y=x-1\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{l}2x=8\\ y=x-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=4\\ y=3\end{array}\end{array}$

Vậy $A\cap B=\{(4;3)\}.$

Vận dụng trang 23 Toán lớp 10: Tại vòng chung kết của một trò chơi trên truyền hình, có 100 khán giả tại trường quay có quyền bình chọn cho hai thí sinh A và B. Biết rằng có 85 khán giả bình chọn cho thí sinh A, 72 khán giả bình chọn cho thí sinh B và 60 khán giả bình chọn cho cả hai thí sinh. Có bao nhiêu khán giả đã tham gia bình chọn? Có bao nhiêu khán giả không tham gia bình chọn?

Phương pháp giải:

Kí hiệu A, B lần lượt là tập hợp các khán giả bình chọn cho thí sinh A và thí sinh B.

Sử dụng biểu đồ Ven, minh họa tập hợp các khán giả đã tham gia bình chọn ($A\cup B$) và các khán giả không tham gia bình chọn.

Lời giải:

Gọi A, B lần lượt là tập hợp các khán giả bình chọn cho thí sinh A và thí sinh B.

Theo giả thiết, $n(A)=85,n(B)=72,n(A\cap B)=60$

 

Nhận thấy rằng, nếu tính tổng $n(A)+n(B)$ thì ta được số khán giả đã tham gia bình chọn, nhưng số khán giả bình chọn cho cả hai thí sinh được tính hai lần. Do đó, số khán giả đã tham gia bình chọn là:

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=85+72-60=97$

Như vậy trong hội trường 100 khán giả, có 97 khán giải đã tham gia bình chọn, còn lại số khán giả không tham gia bình chọn là: $100-97=3$ (khán giả).

2. Hiệu của hai tập hợp, phần bù của tập con

HĐ Khám phá 2 trang 23 Toán lớp 10: Trở lại bảng thông tin về kết quả phỏng vấn tuyển dụng ở Hoạt động khám phá 1.

a) Xác định tập hợp E gồm những ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn nhưng không đạt yêu cầu về ngoại ngữ.

b) Xác định tập hợp F gồm những ứng viên không đạt yêu cầu về chuyên môn.

Phương pháp giải:

Viết tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử.

Lời giải:

a) Tập hợp E gồm những ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn nhưng không đạt yêu cầu về ngoại ngữ là: $E=\{a_2;a_7\}$

b) Xác định tập hợp F gồm những ứng viên không đạt yêu cầu về chuyên môn là: $F=\{a_3;a_4;a_9\}$

Giải toán lớp 10 trang 24 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 24 Toán lớp 10: Cho tập hợp $E=\{x\in \mathbb{N}|x<8\},A=\{0;1;2;3;4\},B=\{3;4;5\}$. Xác định các tập hợp sau đây:

a) A\B, B\A và $(A\mathrm{\setminus }B)\cap (B\mathrm{\setminus }A)$

b) $C_E(A\cap B)$ và $(C_{E}A)\cap (C_{E}B)$

c) $C_E(A\cup B)$ và $(C_{E}A)\cup (C_{E}B)$

Phương pháp giải:

Lời giải:

$E=\{x\in \mathbb{N}|x<8\}=\{0;1;2;3;4;5;6;7\}$

a) Ta có: $A\mathrm{\setminus }B=\left\{0;1;2\right\}$, $B\mathrm{\setminus }A=\left\{5\right\},$$(A\mathrm{\setminus }B)\cap (B\mathrm{\setminus }A)=\mathrm{\varnothing }$

b) Ta có: $A\cap B=\{3;4\},C_E(A\cap B)=\{0;1;2;5;6;7\}$

$C_{E}A=\{5;6;7\},C_{E}B=\{0;1;2;6;7\}\Rightarrow (C_{E}A)\cap (C_{E}B)=\{6;7\}$

c) Ta có: $A\cup B=\{0;1;2;3;4;5\},C_E(A\cup B)=\{6;7\}$

$C_{E}A=\{5;6;7\},C_{E}B=\{0;1;2;6;7\}\Rightarrow (C_{E}A)\cup (C_{E}B)=\{0;1;2;5;6;7\}$

Giải toán lớp 10 trang 25 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 4 trang 25 Toán lớp 10: Xác định các tập hợp sau đây:

a) $(1;3)\cup [-2;2]$

b) $(-\mathrm{\infty };1)\cap [0;\pi ]$

c) $[\frac{1}{2};3)\mathrm{\setminus }(1;+\mathrm{\infty })$

d) $C_{\mathbb{R}}[-1;+\mathrm{\infty })$

Phương pháp giải:

Biểu diễn các tập hợp trên trục số

Lời giải:

a) Để xác định tập hợp $A=(1;3)\cup [-2;2]$, ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy $A=[-2;3)$

b) Để xác định tập hợp $B=(-\mathrm{\infty };1)\cap [0;\pi ]$, ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy $B=[0;1)$

 c) Để xác định tập hợp $C=[\frac{1}{2};3)\mathrm{\setminus }(1;+\mathrm{\infty })$, ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy $C=[\frac{1}{2};1]$

d) Để xác định tập hợp $D=C_{\mathbb{R}}[-1;+\mathrm{\infty })$, ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy $D=(-\mathrm{\infty };-1)$

Bài tập

Bài 1 trang 25 Toán lớp 10: Xác định các tập hợp $A\cup B$ và $A\cap B$ với

a) A = {đỏ; cam; vàng; lục; lam}, B = {lục; làm; chàm; tím}.

b) A là tập hợp các tam giác đều, B là tập hợp các tam giác cân.

Phương pháp giải:

$A\cup B=\{x|x\in A$ hoặc $x\in B\}$

$A\cap B=\{x|x\in A$ và $x\in B\}$.

Lời giải:

a) A = {đỏ; cam; vàng; lục; lam}, B = {lục; lam; chàm; tím}.

$A\cup B=${đỏ; cam; vàng; lục; lam; chàm; tím}

$A\cap B=${lục; lam}

b) Vì mỗi tam giác đều cũng là một tam giác cân nên $A\subset B.$

$A\cup B=B,A\cap B=A.$

Chú ý

Nếu $A\subset B$ thì $A\cup B=B,A\cap B=A.$

Bài 2 trang 25 Toán lớp 10: Xác định các tập hợp $A\cap B$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $A=\{x\in \mathbb{R}|x^2-2=0\},$$B=\{x\in \mathbb{R}|2x-1<0\}$

b) $A=\{(x;y)|x,y\in \mathbb{R},y=2x-1\},$$B=\{(x;y)|x,y\in \mathbb{R},y=-x+5\}$

c) A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật.

Phương pháp giải:

a) $A\cap B=\{x|x\in A$ và $x\in B\}$

b) $A\cap B=\{(x;y)|x,y\in \mathbb{R},y=2x-1,y=-x+5\}$

Lời giải:

a) Phương trình $x^2-2=0$ có hai nghiệm là $\sqrt{2}$ và $-\sqrt{2}$, nên $A=\{\sqrt{2};-\sqrt{2}\}$

Tập hợp $B=\{x\in \mathbb{R}|2x-1<0\}$ là tập hợp các số thực $x<\frac{1}{2}$

Từ đó $A\cap B=\{-\sqrt{2}\}.$

b) $A\cap B=\{(x;y)|x,y\in \mathbb{R},y=2x-1,y=-x+5\}$

Tức là $A\cap B$là tập hợp các cặp số (x; y) thỏa mãn hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ y=-x+5\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{l}2x-1=-x+5\\ y=2x-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3x=6\\ y=2x-1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\end{array}$

Vậy $A\cap B=\{(2;3)\}.$

c) A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật.

$A\cap B$ là tập hợp các hình vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

Một tứ giác bất kì thuộc $A\cap B$ thì nó là hình chữ nhật và có 2 cạnh kề bằng nhau (hình vuông)

Do đó $A\cap B$ là tập hợp các hình vuông.

Bài 3 trang 25 Toán lớp 10: Cho $E=\{x\in \mathbb{N}|x<10\},A=\{x\in E|x$là bội của 3$\},$$B=\{x\in E|x$ là ước của 6$\}.$ Xác định các tập hợp $A\mathrm{\setminus }B,B\mathrm{\setminus }A,C_{E}A,C_{E}B,C_E(A\cup B),C_E(A\cap B).$

Phương pháp giải:

Lời giải:

$E=\{x\in \mathbb{N}|x<10\}=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$

$A=\{x\in E|x$là bội của 3$\}$$=\{0;3;6;9\}$

$B=\{x\in E|x$ là ước của 6$\}$$=\{0;6\}\Rightarrow B\subset A$

Ta có: $A\mathrm{\setminus }B=\left\{3;9\right\}$, $B\mathrm{\setminus }A=\mathrm{\varnothing }$

$C_{E}A=\{1;2;4;5;7;8\},C_{E}B=\{0;1;2;5;6;7\}$

$A\cap B=B\Rightarrow C_E(A\cap B)=C_{E}B=\{0;1;2;5;6;7\}$

$A\cup B=A\Rightarrow C_E(A\cup B)=C_{E}A=\{1;2;4;5;7;8\}$

Bài 4 trang 25 Toán lớp 10: Cho A và B là hai tập hợp bất kì. Trong mỗi cặp tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Hãy giải thích bằng cách sử dụng biểu đồ Ven.

a) A và $A\cup B$

b) A và $A\cap B$

Lời giải:

 a) $A\subset A\cup B$ vì

b) $A\cap B\subset A$ vì

Bài 5 trang 25 Toán lớp 10: Trong số 35 học sinh của lớp 10H, có 20 học sinh thích môn Toán, 16 học sinh thích môn Tiếng Anh và 12 học sinh thích cả hai môn này. Hỏi lớp 10H:

a) Có bao nhiêu học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh?

b) Có bao nhiêu học sinh không thích cả hai môn này?

Phương pháp giải:

Kí hiệu A, B lần lượt là tập hợp các học sinh thích môn Toán và Tiếng Anh.

Sử dụng biểu đồ Ven, minh họa tập hợp các thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh ($A\cup B$) và các học sinh không thích cả hai môn này.

Lời giải:

Gọi A, B lần lượt là tập hợp các học sinh thích môn Toán và Tiếng Anh, X là tập hợp học sinh lớp 10H.

Theo giả thiết, $n(A)=20,n(B)=16,n(A\cap B)=12,n(X)=35$

 

a) Nhận thấy rằng, nếu tính tổng $n(A)+n(B)$ thì ta được số học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh, nhưng số học sinh thích cả hai môn Toán và Tiếng Anh được tính hai lần. Do đó, số học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh là:

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=20+16-12=24$

b) Trong số 35 học sinh lớp 10H, có 24 học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh, còn lại số học sinh không thích cả hai môn này là: $35-24=11$ (học sinh).

Bài 6 trang 25 Toán lớp 10: Xác định các tập hợp sau đây:

a) $(-\mathrm{\infty };0)\cup [-\pi ;\pi ]$

b) $[-3,5;2]\cap (-2;3,5)$

c) $(-\mathrm{\infty };\sqrt{2}]\cap [1;+\mathrm{\infty })$

d) $(-\mathrm{\infty };\sqrt{2}]\mathrm{\setminus }[1;+\mathrm{\infty })$

Phương pháp giải:

Biểu diễn các tập hợp trên trục số

Lời giải:

a) Để xác định tập hợp $A=(-\mathrm{\infty };0)\cup [-\pi ;\pi ]$, ta vẽ sơ đồ sau đây:

 

Từ sơ đồ, ta thấy $A=(-\mathrm{\infty };\pi ]$

b) Để xác định tập hợp $B=[-3,5;2]\cap (-2;3,5)$, ta vẽ sơ đồ sau đây:

 

Từ sơ đồ, ta thấy $B=(-2;2]$

 c) Để xác định tập hợp $C=(-\mathrm{\infty };\sqrt{2}]\cap [1;+\mathrm{\infty })$, ta vẽ sơ đồ sau đây:

 

Từ sơ đồ, ta thấy $C=[1;\sqrt{2}]$

d) Để xác định tập hợp $D=(-\mathrm{\infty };\sqrt{2}]\mathrm{\setminus }[1;+\mathrm{\infty })$, ta vẽ sơ đồ sau đây:

  

Từ sơ đồ, ta thấy $D=(-\mathrm{\infty };1)$

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Tập hợp

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn