Giải SGK Toán 10 Bài 3 (Cánh diều): Khái niệm vectơ

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Khái niệm vectơ

Video giải Toán 10 Bài 3: Khái niệm vectơ – Cánh diều

Giải Toán 10 trang 79 Tập 1

Câu hỏi khởi động trang 79 Toán lớp 10: Mũi tên xuất phát từ A đến B trong Hình 34 mô tả chuyển động (có hướng) của một máy bay trên đường băng.

Đoạn thẳng AB có hướng được gọi là gì?

Lời giải:

Đoạn thẳng AB có hướng được gọi là vecto $\overrightarrow{AB}$.

I. Khái niệm vectơ

Hoạt động 1 trang 79 Toán lớp 10: Trong công viên, để chỉ dẫn hướng đi và khoảng cách từ cổng đến khu vui chơi của trẻ em, người ta vẽ đoạn thẳng có mũi tên như Hình 35. Hình ảnh về mũi tên chỉ dẫn cho biết những thông tin gì?

Lời giải:

Hình ảnh về mũi tên chỉ dẫn cho biết:

+) Hướng đi từ Cổng đến Khu vui chơi: Đi sang phải

+) Khoảng cách từ Cổng đến Khu vui chơi: 200 m.

Giải Toán 10 trang 80 Tập 1

Luyện tập vận dụng 1 trang 80 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Viết tất cả các vectơ mà điểm đầu và điểm cuối là A, B hoặc C.

Phương pháp giải:

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Xác định các đoạn thẳng (có hướng) mà điểm đầu và điểm cuối là A, B hoặc C.

Lời giải:

Các vectơ đó là: $\overrightarrow{AA},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BB},\overrightarrow{CC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CC}.$

Chú ý:

+) vectơ $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$(khác nhau về hướng)

+) $\overrightarrow{AA}$ cũng là một vectơ.

II. Vectơ cùng phương, Vectơ cùng hướng

Hoạt động 2 trang 80 Toán lớp 10: Quan sát Hình 39 và cho biết vị trí tương đối giữa giá của vectơ $\overrightarrow{CD}$ với giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{PQ}$.

Phương pháp giải:

+) Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ ấy.

Lời giải:

Giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là đường thẳng AB

Giá của vectơ $\overrightarrow{CD}$ là đường thẳng CD.

Giá của vectơ $\overrightarrow{PQ}$ là đường thẳng PQ.

Dễ thấy: AB // CD và CD trùng PQ.

Hoạt động 3 trang 80 Toán lớp 10: Quan sát hai biển báo ở Hình 40a, 40b, cho biết hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ có cùng hướng hay không.

Phương pháp giải:

Bước 1: Nhận xét về giá của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, chỉ ra chúng cùng phương.

Bước 2: Nhận xét về hướng của hai vectơ và kết luận.

Lời giải:

Giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là đường thẳng AB

Giá của vectơ $\overrightarrow{CD}$ là đường thẳng CD.

Dễ thấy: đường thẳng AB trùng với đường thẳng CD.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ có cùng phương.

Lại có: vectơ $\overrightarrow{AB}$ chỉ hướng đi về bên phải còn vectơ $\overrightarrow{CD}$ chỉ hướng đi về bên trái.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ có ngược hướng.

II. Hai vectơ bằng nhau

Giải Toán 10 trang 81 Tập 1

Hoạt động 4 trang 81 Toán lớp 10: Quan sát hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ở hình 42.

a) Nhận xét về phương của hai vectơ đó.

b) Nhận xét về hướng của hai vectơ đó.

c) So sánh độ dài của hai vectơ đó.

Phương pháp giải:

a) Nhận xét về giá của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, chỉ ra chúng cùng phương.

b) Nhận xét về hướng của hai vectơ đó (hướng sang phải/trái)

c) Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là độ dài đoạn thẳng AB.

Lời giải:

a) Ta có:

Giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là đường thẳng AB

Giá của vectơ $\overrightarrow{CD}$ là đường thẳng CD.

Dễ thấy: AB // CD do đó hai vectơ này cùng phương.

b) Quan sát hình 42, ta thấy cả hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng hướng sang phải

Như vậy hai vectơ này cùng hướng.

c) Ta có: $|\overrightarrow{AB}|=AB$; $|\overrightarrow{CD}|=CD$ và AB = CD (cùng dài 5 ô vuông)

Vậy độ dài của hai vectơ là bằng nhau.

Luyện tập vận dụng 2 trang 81 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Vẽ điểm D thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.$ Tứ giác ABCD là hình gì?

Phương pháp giải:

Hai vectơ $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}$bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}AD//BC\\ AD=BC\end{array}$

Do đó tứ giác ABCD có một cặp cạnh đối song và bằng nhau

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành.

Bài tập

Giải Toán 10 trang 82 Tập 1

Bài 1 trang 82 Toán lớp 10: Cho A, B, C là ba điểm thẳng hàng, B nằm giữa A và C. Viết các cặp vectơ cùng hướng, ngược hướng trong những vectơ sau:  $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}.$

Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ hình, xác định các vectơ trên.

Bước 2: Nhận xét về hướng của mỗi vectơ và kết luận.

Lời giải:

Do các vectơ đều nằm trên đường thẳng AB nên các vectơ này đều cùng phương với nhau.

 

Dễ thấy:

Các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC}$ cùng hướng (từ trái sang phải.)

Các vectơ $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}$ cùng hướng (từ phải sang trái.)

Do đó, các cặp vectơ cùng hướng là:

$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$; $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CA}$;  $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CB}$;$\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CB}$.

Các cặp vectơ ngược hướng là:

$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CA}$; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CB}$;

$\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BA}$; $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CA}$; $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CB}$;

$\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BA}$; $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{CA}$; $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{CB}$;

Bài 2 trang 82 Toán lớp 10: Cho đoạn thẳng MN có trung điểm là I.

a) Viết các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu, điểm cuối là một trong ba điểm M, N, I.

b) vectơ nào bằng $\overrightarrow{MI}$?  Bằng $\overrightarrow{NI}$?

Phương pháp giải:

a) Liệt kê các vectơ tạo thành từ 3 điểm M, N, I (điểm đầu và điểm cuối không trùng nhau)

b) Trong các vectơ ở câu a, vectơ nào: Cùng hướng, cùng độ dài với vectơ $\overrightarrow{MI}$ (tương ứng là $\overrightarrow{NI}$).

Lời giải:

 

a) Các vectơ đó là: $\overrightarrow{MI},\overrightarrow{IM},\overrightarrow{IN},\overrightarrow{NI},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM}$.

b) Dễ thấy:

+) vectơ $\overrightarrow{IN}$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{MI}$. Hơn nữa: $|\overrightarrow{IN}|=IN=MI=|\overrightarrow{MI}|$

$\Rightarrow \overrightarrow{IN}=\overrightarrow{MI}$

+) vectơ $\overrightarrow{IM}$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{NI}$. Hơn nữa: $|\overrightarrow{IM}|=IM=NI=|\overrightarrow{NI}|$

$\Rightarrow \overrightarrow{IM}=\overrightarrow{NI}$

Vậy $\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{MI}$ và $\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{NI}$.

Bài 3 trang 82 Toán lớp 10: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Tìm vectơ:

a) Cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$

b) Ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$. Liệt kê các vectơ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$.

Bước 2: Chỉ ra vectơ cùng hướng, ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$

Lời giải:

 

Giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là đường thẳng AB.

Các vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{DC}$

a) vectơ $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$.

b) vectơ $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Bài 4 trang 82 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 3cm. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

Phương pháp giải:

+) Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là độ dài đoạn thẳng AB.

Bước 1: Xác định độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

Bước 2: Tính các cạnh đó dựa vào cạnh hình vuông.

Lời giải:

 

Ta có: $|\overrightarrow{AB}|=AB$ và $|\overrightarrow{AC}|=AC.$

Mà $AB=3,AC=3\sqrt{2}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{AB}|=3;|\overrightarrow{AC}|=3\sqrt{2}$

Bài 5 trang 82 Toán lớp 10: Quan sát ròng rọc hoạt động khi dùng lực để kéo một đầu của ròng rọc. Chuyển động của các đoạn dây được mô tả bằng các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$(Hình 47).

a) Hãy chỉ ra các cặp vectơ cùng phương.

b) Trong các cặp vectơ đó, cho biết chúng cùng hướng hay ngược hướng.

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Xác định giá của các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$. Từ đó suy ra các vectơ cùng phương.

Bước 2: Kết luận các cặp vectơ cùng phương.

b) Nhận xét về hướng của 3 vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$. Từ đó suy ra các cặp vectơ đó cùng hướng hay ngược hướng.

Lời giải:

 

Gọi a, b, c là các đường thẳng lần lượt chứa các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$.

Khi đó: a, b, c lần lượt là giá của các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$

a) Dễ thấy: a // b // c

$\Rightarrow$ Ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ cùng phương với nhau.

Vậy các cặp vectơ cùng phương là: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$.

b) Quan sát ba vectơ, ta thấy: vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng hướng xuống còn vectơ $\overrightarrow{b}$ hướng lên trên.

Vậy vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng hướng, vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ ngược hướng, vectơ $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ ngược hướng.

Bài giảng Toán 10 Bài 3: Khái niệm vectơ – Cánh diều

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ