Giải SGK Toán 10 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

1. Hoán vị

Giải toán lớp 10 trang 26 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Khởi động 1 trang 26 Toán lớp 10:

Lời giải:

Sử dụng quy tắc nhân:

Việc chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ có 5 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn cầu thủ đầu tiên, có 11 cách chọn

Công đoạn 2: Chọn cầu thủ thứ hai, có 10 cách chọn

Công đoạn 3: Chọn cầu thủ thứ ba, có 9 cách chọn

Công đoạn 4: Chọn cầu thủ thứ tư, có 8 cách chọn

Công đoạn 5: Chọn cầu thủ thứ năm, có 7 cách chọn

Vậy số cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ khác nhau là  $\mathrm{11.10.9.8.7}=55440$ (cách)

Cách này chỉ đúng khi các cầu thủ hoàn toàn khác nhau

Vậy nên bằng cách sử dụng quy tắc nhân không thể tìm ra câu trả lời

Áp dụng bài học

+) Mỗi cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ là một tổ hợp chập 5 của 11 phần tử. Do đó, số cách chọn 5 cầu thủ từ 11 cầu thủ là

                             $C_{11}^5=\frac{11!}{5!.6!}=462$ (cách)

+) Mỗi cách sắp xếp 5 cầu thủ là một hoán vị của 5 cầu thủ. Do đó, số cách sắp xếp 5 cầu thủ là:

                             $P_5=5!$ (cách)

Khám phá 1 trang 26 Toán lớp 10: Sau giờ thực hành trải nghiệm, ba đội A, B, C bốc thăm để xác định thứ tự trình bày, thuyết minh về sản phẩm của mỗi đội

a) Hãy liệt kê tất cả các kết quả bốc thăm có thể xảy ra

b) Có tất cả bao nhiêu kết quả như vậy? Ngoài cách đếm lần lượt từng kết quả có cách tìm nào nhanh hơn không?

Lời giải:

a) Các trường hợp thuyết trình theo thứ tự 1, 2, 3 có thể xảy ra là:

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

b)

+) Từ câu a) ta thấy có tất cả 6 kết quả

+) Ngoài cách đếm ta có thể sử dụng quy tắc nhân để tìm kết quả

Kết quả bốc thăm thuyết trình gồm 3 công đoạn

Công đoạn 1: Bốc thăm xác định đội trình bày đầu tiên, có thể xảy ra 3 kết quả (A, B hoặc C)

Công đoạn 2: Bốc thăm xác định đội trình bày thứ 2, có thể xảy ra 2 kết quả (trừ 1 đội đã thuyết trình đầu tiên

Công đoạn 3: Đội trình bày cuối cùng chỉ có thể duy nhất là đội còn lại

Áp dụng quy tắc nhân, ta tìm được số kết quả có thể xảy ra là:

                             $\mathrm{3.2.1}=6$ (cách)

Giải toán lớp 10 trang 28 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 28 Toán lớp 10: Một nhóm bạn gồm 6 thành viên cùng đi xem phim, đã mua 6 vé có ghế ngồi cùng dãy và kế tiếp nhau (như hình 3). Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho các thành viên của nhóm?

Phương pháp giải:

Sử dụng hoán vị của các chỗ ngồi $P_n=n!$

Lời giải:

Mỗi cách sắp xếp 6 bạn vào 6 chiếc ghế trống là hoán vị của 6 chiếc ghế. Do đó, số cách sắp xếp chỗ ngồi cho các thành viên trong nhóm là

                             $P_6=6!=720$ (cách)

Vận dụng 1 trang 28 Toán lớp 10: Một giải bóng đá có 14 đội bóng tham gia. Có bao nhiêu khả năng về thứ hạng các đội bóng khi mùa giải kết thúc?

Phương pháp giải:

Sử dụng hoán vị của các chỗ ngồi $P_n=n!$

Lời giải:

Mỗi khả năng về thứ hạng của các đội bóng trong mùa giải là hoán vị của các đội bóng tham gia. Do đó, số khả năng về thứ hạng của các đội bóng trong mùa giải là

                             $P_{14}=14!$ (cách)

2. Chỉnh hợp

Khám phá 2 trang 28 Toán lớp 10: Tại một trạm quan sát có sẵn 5 lá cờ màu đỏ, trắng, xanh, vàng và cam (kí hiệu Đ, T, X, V, C). Khi cần báo một tín hiệu, người ta chọn ba lá cờ và cắm vào 3 vị trí sẵn thành một hàng (Xem hình 4)

a) Hãy chỉ ra ít nhất 4 cách chọn và cắm cờ để báo 4 tín hiệu khác nhau

b) Bằng cách này, có thể báo nhiều nhất bao nhiêu tín hiệu khác nhau?

Phương pháp giải:

a) Chọn bất kì 3 lá cờ trong đó và sắp xếp chúng ở các vị trí khác nhau

b) Sử dụng quy tắc nhân

Lời giải:

a)  Chọn 3 cờ đỏ, trắng và xanh ta có 3 cách cắm để có 4 tín hiệu khác nhau là: ĐTX, ĐXT, TĐX, TXĐ

b) Việc cắm cờ để báo tín hiệu trên bao gồm 3 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn cờ để cắm vào vị trí thứ nhất, có 5 cách chọn trong 5 màu khác nhau

Công đoạn 2: Chọn cờ để cắm vào vị trí thứ 2, có 4 cách chọn trong 4 màu còn lại

Công đoạn 3: Chọn cờ để cắm vào vị trí cuối cùng, có 3 cách chọn trong 3 màu còn lại

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách cắm cờ để báo tín hiệu nhiều nhất là:

                             $\mathrm{5.4.3}=60$ (cách)

Giải toán lớp 10 trang 29 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 29 Toán lớp 10: Từ 7 chữ số số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 lập được các số có 3 chữ số đôi một khác nhau

a) Có thể lập được bao nhiêu số như vậy?

b) Trong các số đó có bao nhiêu số lẻ?

Phương pháp giải:

a) Sử dụng chỉnh hợp: chọn 3 chữ số từ 7 chữ số đã cho và sắp xếp chúng

b)      Bước 1: Chọn chữ số cuối cùng là 1 số lẻ

          Bước 2: Sử dụng chỉnh hợp chọn 2 chữ số từ 7 chữ số đã cho và sắp xếp chúng cho 2 vị trí chữ số hàng trăm và hàng chục

          Bước 3: Sử dụng quy tắc nhân

Lời giải:

a) Mỗi số có 3 chữ số đôi một khác nhau lập được từ 7 chữ số đã cho là một chỉnh hợp chập 3 của 7 chữ số. Do đó, số các số lập được là

                             $A_7^3=\mathrm{7.6.5}=210$ (số)

b) Việc lập ra được một số lẻ phải qua 2 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ, có 4 cách chọn (1; 3; 5 hoặc 7)

Công đoạn 2: Chọn 2 chữ số bất kì trong 6 chữ số còn lại và sắp xếp chúng cho vị trí chữ số hàng trăm và hàng chục, mỗi số như vậy là một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử, nên số các số được lập ra là:                 $A_6^2=6.5=30$ (cách)

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số các số có 3 chữ số lập được từ 7 chữ số đã cho là số lẻ là:            $4.30=120$ (số)

3. Tổ hợp

Khám phá 3 trang 29 Toán lớp 10: Lan vừa mua 4 cuốn sách kí hiệu là A, B, C và D. Bạn ấy dự định chọn ra 3 cuốn để đưa về quê đọc trong dịp nghỉ hè

a) Hãy liệt kê tất cả các cách Lan có thể chọn 3 cuốn từ 4 cuốn sách. Có tất cả bao nhiêu cách?

b) Lan dự định đọc lần lượt từng cuốn. Lan có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự 3 cuốn đã chọn?

c) Lan có bao nhiêu cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách và sắp xếp theo thứ tự để đọc lần lượt từng cuốn một?

Lời giải:

a) Các cách Lan có thể chọn 3 cuốn từ 4 cuốn sách Lan có là:

ABC, ABD, ACD, BCD

Có tất cả 4 cách chọn 3 cuốn sách trong số 4 cuốn sách Lan có để mang về quê

b) Mỗi cách sắp xếp thứ tự 3 cuốn sách đã chọn là một hoán vị của 3 cuốn sách, từ đó số cách sắp xếp 3 cuốn sách là số hoán vị của 3 cuốn sách:

          $3!=\mathrm{3.2.1}=6$ (cách)

c) Mỗi cách chọn 3 cuốn sách từ 4 cuốn sách và sắp xếp theo thứ tự để đọc lần lượt từng cuốn một là một chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử, từ đó số cách chọn và sắp xếp 3 cuốn sách và sắp xếp chúng là:         $A_4^3=\mathrm{4.3.2}=24$ (cách)

Giải toán lớp 10 trang 31 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 31 Toán lớp 10: Tính:

a) $C_7^2$

b)  $C_9^0+C_9^9$

c) $C_{15}^3-C_{14}^3$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức  $C_n^k=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}$

Lời giải:

a) $C_7^2=\frac{7!}{2!.5!}=\frac{7.6}{2}=21$

b) $C_9^0+C_9^9=\frac{9!}{0!.9!}+\frac{9!}{9!.0!}=2$

c) $C_{15}^3-C_{14}^3=\frac{15!}{3!.12!}-\frac{14!}{3!.11!}=\frac{\mathrm{15.14.13}}{\mathrm{3.2.1}}-\frac{\mathrm{14.13.12}}{\mathrm{3.2.1}}=91$

Thực hành 4 trang 31 Toán lớp 10: Nội dung thi đấu đôi nam nữ của giải bóng bàn cấp trường có 7 đội tham gia. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt

a) Nội dung này có tất cả bao nhiêu trận đấu?

b) Sau giải đấu, ba đội có thành tích tốt nhất sẽ được chọn đi thi đấu cấp lên trường. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra về ba đội được chọn đi thi đấu cấp lên trường?

Phương pháp giải:

a) Số trận đấu là tổ hợp chập 2 của 7

b) Số khả năng là tổ hợp chập 3 của 7

Lời giải:

a) Các đội thi đấu vòng tròn một lượt và mỗi lượt đấu sẽ có 2 đội đấu với nhau, nên số trận đấu sẽ là số cách chọn ra 2 đội từ 7 đội, mỗi cách chọn 2 đội từ 7 đội là một tổ hợp chập 2 của 7, từ đó có tất cả số trận đấu là:

$C_7^2=\frac{7!}{2!.5!}=21$ (trận)

b) Mỗi khả năng ba đội được chọn đi thi đấu cấp liên trường là một tổ hợp chập 3 của 7 đội, từ đó số khả năng có thể xảy ra của 3 đội đi thi cấp liên trường là

                   $C_7^3=\frac{7!}{3!.4!}=35$

Vận dụng 2 trang 31 Toán lớp 10: Cho 6 điểm cùng nằm trên một đường tròn như hình 8

a) Có bao nhiêu đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho?

b) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho?

Phương pháp giải:

a) Tính tổ hợp chập 2 của 6

b) Tính tổ hợp chập 3 của 6

Lời giải:

a) Một đoạn thẳng được tạo bởi 2 điểm bất kì

Nên để có một đoạn thẳng có điểm mút thuộc các điểm đã cho thì ta chọn 2 điểm bất kì từ 6 điểm đã cho, mỗi cách chọn 2 điểm từ 6 điểm đã cho là một tổ hợp chập 2 của 6, từ đó số đoạn thẳng có điểm đầu mút thuộc các điểm đã cho được tạo ra là:

                   $C_6^2=\frac{6!}{2!.4!}=15$ (đoạn thẳng)

b) Mỗi tam giác được tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng, nên để có một tam giác mà các đỉnh của nó là các điểm đã cho thì ta chọn 3 điểm bất kì từ 6 điểm đã cho, mỗi cách chọn 3 điểm từ 6 điểm là một tổ hợp chập 3 của 6, từ đó số tam giác có đỉnh thuộc các điểm đã cho là:

                             $C_6^3=\frac{6!}{3!.3!}=20$ (tam giác)

Giải toán lớp 10 trang 32 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 5 trang 32 Toán lớp 10: Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị các biểu thức sau:

a) $A_{15}^{10}$

b) $C_{10}^6+C_{10}^7+C_{11}^8$

c) $C_5^1{C}_{20}^2+C_5^2{C}_{20}^1$

Lời giải:

a) Để tính $A_{15}^{10}$ ta ấn liên tiếp các phím

Thì nhận được kết quả là $1,{08972864.10}^{10}$

b) Để tính $C_{10}^6+C_{10}^7+C_{11}^8$ thì ta ấn liên tiếp các phím

 

 Thì ta nhận được kết quả là 495

c) Để tính $C_5^1{C}_{20}^2+C_5^2{C}_{20}^1$ thì ta ấn liên tiếp các phím

 

Thì ta được kết quả là 115

Bài tập (trang 32)

Bài 1 trang 32 Toán lớp 10: Cần xếp một nhóm 5 học sinh ngồi vào một dãy 5 chiếc ghế

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp?

b) Nếu bạn Nga (một thành viên trong nhóm) nhất định muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì có bao nhiêu cách sắp xếp?

Phương pháp giải:

a) Tính hoán vị của 5 bạn học sinh

b) Tính hoán vị của 4 bạn học sinh

Lời giải:

a) Mỗi cách sắp xếp 5 bạn học sinh vào 5 chiếc ghế là một hoán vị của 5 bạn học sinh. Do đó, số cách sắp xếp 5 bạn học sinh ngồi vào 5 cái ghế là hoán vị là:

                   $P_5=5!$ (cách)

b) Khi bạn Nga nhất định ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì số cách sắp xếp là số cách sắp xếp 4 bạn còn lại vào 4 chiếc ghế, mỗi cách như vậy là một hoán vị của 4 bạn học sinh. Do đó, số cách sắp xếp là:

                             $P_4=4!=24$ (cách)

Bài 2 trang 32 Toán lớp 10: Từ các chữ số sau đây, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?

a) 1; 2; 3; 4; 5; 6

b) 0; 1; 2; 3; 4; 5

Phương pháp giải:

a) Tính chỉnh hợp chập 4 của 6

b)       Bước 1: Chọn một chữ số làm chữ số hàng nghìn (khác 0)

          Bước 2: Chọn 3 chữ số còn lại và sắp xếp chúng

          Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải:

a) Mỗi số có 4 chữ số khác nhau lập được từ 6 chữ số đã cho là cách chọn 4 chữ số và sắp xếp chúng, mỗi cách chọn như vậy là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Do đó, số các số có 4 chữ số khác nhau lập được từ 6 chữ số đã cho là:

                   $A_6^4=\mathrm{6.5.4.3}=360$ (số)

b) Việc lập một số có 4 chữ số từ 6 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 bao gồm 2 công đoạn

          Công đoạn 1: Chọn 1 chữ số khác 0 làm chữ số hàng nghìn, có 5 cách chọn (1; 2; 3; 4 hoặc 5)

          Công đoạn 2: Chọn 3 chữ số từ 5 chữ số còn lại (trừ chữ số đã chọn làm chữ số hàng nghìn) và sắp xếp chúng, mỗi cách như vậy là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Do đó, số cách chọn 3 chữ số từ 5 chữ số còn lại và sắp xếp chúng là:

                             $A_5^3=\mathrm{5.4.3}=60$ (cách)

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số các số có 4 chữ số khác nhau lập được từ 6 chữ số đã cho là :

                             $5.60=300$ (số)

Bài 3 trang 32 Toán lớp 10: Tổ 1 có 4 bạn nam và 5 bạn nữ. Có bao nhiêu cách cử 3 bạn của tổ làm trực nhật trong mỗi trường hợp như sau?

a) 3 bạn được chọn bất kỳ

b) 3 bạn gồm 2 nam và 1 nữ

Phương pháp giải:

a) Tính tổ hợp chập 3 của 9

b)       Bước 1: Chọn 2 bạn nam từ 4 bạn nam đã cho

          Bước 2: Chọn 1 bạn nữ từ 5 bạn đã cho

          Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải:

a) Mỗi cách chọn 3 bạn từ 9 bạn trong tổ một đi trực nhật là một tổ hợp chập 3 của 9. Do đó, số cách cử 3 bạn bất kì đi trực nhật là:

                             $C_9^3=\frac{9!}{3!.6!}=84$ (cách)

b) Mỗi cách chọn 3 bạn gồm 2 nam và 1 nữ đi trực nhật gồm 2 công đoạn:

          Công đoạn 1: Chọn 2 bạn nam

Mỗi cách chọn 2 bạn nam từ 4 bạn nam đã cho là một tổ hợp chập 2 của 4. Do đó, số cách chọn 2 bạn nam từ 4 bạn nam đã cho là:        $C_4^2=\frac{4!}{2!.2!}=6$ (cách)

          Công đoạn 2: Chọn 1 bạn nữa trong 5 bạn đã cho, có 5 cách

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số các cử 3 bạn đi trực nhật trong đó 2 nam và 1 nữ là:

                             $6.5=30$ (cách)

Bài 4 trang 32 Toán lớp 10: Từ một danh sách gồm 8 người, người ta bầu ra một ủy ban gồm một chủ tịch, một phó chủ tịch, một thư ký và một ủy viên. Có bao nhiêu khả năng có thể về kết quả bầu ủy ban này?

Phương pháp giải:

Tính chỉnh hợp chập 4 của 8

Lời giải:

Mỗi kết quả bầu ủy ban như trên là mỗi kết quả chọn 4 người trong 8 người và sắp xếp 4 người đó vào 4 vị trí chủ tịch, phó chủ tịch, thư ký và ủy viên, nên mỗi kết quả có thể xảy ra là một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử. Do đó, số khả năng có thể xảy ra về kết quả bầu ủy ban là:

                             $A_8^4=\mathrm{8.7.6.5}=1680$ (khả năng)

Bài 5 trang 32 Toán lớp 10: Một nhóm gồm 7 bạn đến trung tâm chăm sóc người cao tuổi làm từ thiện.  Theo chỉ dẫn của trung tâm, 3 bạn hỗ trợ đi lại, 2 bạn hỗ trợ tắm rửa và 2 bạn hỗ trợ ăn uống. Có bao nhiêu cách phân công các bạn trong nhóm làm các công việc trên?

Phương pháp giải:

Bước 1: Chọn 3 bạn để hỗ trợ đi lại

Bước 2: Chọn 2 bạn để hỗ trợ tắm rửa

Bước 3: Chọn 2 bạn hỗ trợ ăn uống

Bước 4: Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải:

Việc phân công các bạn tình nguyện làm các việc trên gồm 3 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn 3 bạn để hỗ trợ đi lại, mỗi cách chọn 3 bạn từ nhóm 7 bạn để làm công việc này là một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử. Do đó, số cách chọn 3 bạn làm công việc hỗ trợ đi lại là: $C_7^3=\frac{7!}{3!.4!}=35$ (cách)

Công đoạn 2: Chọn 2 bạn để hỗ trợ tắm rửa, mỗi cách chọn 2 bạn từ nhóm 4 bạn còn lại để làm công việc này là một tổ hợp chập 2 của 4 phần tử. Do đó, số cách chọn 2 bạn làm công việc hỗ trợ tắm rửa là:    $C_4^2=\frac{4!}{2!.2!}=6$ (cách)

Công đoạn 3: Chọn 2 bạn để hỗ trợ ăn uống từ 2 bạn cuối cùng, có 1 cách duy nhất

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách phân công các bạn trong nhóm làm công việc trên là           $\mathrm{35.6.1}=210$ (cách)

Bài 6 trang 32 Toán lớp 10: Có 4 đường thẳng song song cắt 5 đường thẳng song song khác tạo thành những hình bình hành (như hình 10). Có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?

Phương pháp giải:

Bước 1: Chọn 2 đường thẳng song song trong 4 đường nằm ngang

Bước 2: Chọn 2 đường thẳng song song từ 5 đường xiên

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải:

Ta thấy rằng, cứ 2 đường thẳng song song cắt 2 đường thẳng song song khác thì tạo thành một hình bình hành

Do đó, hình bình hành tạo thành được xác định qua 2 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn 2 đường thẳng  trong 4 đường nằm ngang, có:       

$C_4^2=\frac{4!}{2!.2!}=6$

Công đoạn 2: Chọn 2 đường thẳng trong 5 đường xiên, có: $C_4^2=\frac{5!}{2!.3!}=10$

Vậy số hình bình hành được tạo thành là: $6.10=60$ (hình bình hành)

Bài 7 trang 32 Toán lớp 10: Mùa giải 2019, giải bóng đá vô địch quốc gia (V.League) có 14 đội bóng tham gia. Các đội bóng đấu vòng tròn 2 lượt đi và về. Hỏi cả giải đấu có bao nhiêu trận đấu? 

Phương pháp giải:

Tính chỉnh hợp chập 2 của 14

Lời giải:

Mỗi trận đấu gồm 2 đội từ 14 đội và trên sân nhà hay sân đối thủ, nên mỗi trận đấu là một cách chọn 2 đội và sắp xếp chúng. Do đó, mỗi trận đấu là một chỉnh hợp chập 2 của 14 phần tử. Vậy số trận đấu có thể xảy ra là:

                             $A_{14}^2=14.13=182$ (trận)

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Bài 3: Nhị thức Newton

Bài tập cuối chương 8

Bài 1: Toạ độ của vecto