Giải SGK Toán 10 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Video bài giảng Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Chân trời sáng tạo

Giải toán lớp 10 trang 33 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khởi động trang 33 Toán lớp 10: Hai đường thẳng d: y = -x – 2 và d’: y = x + 1 chia mặt phẳng tọa độ thành bốn miền khác nhau (không tính hai đường thẳng d và d’) như hình bên. Để kí hiệu một trong bốn miền đó, người ta đã tạo nhãn: y < -x -2; y < x + 1. Hãy đặt nhãn này vào miền phù hợp.

Lời giải:

Vì $0>-0-2$ nên điểm O(0;0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình $y<-x-2$

Miền nghiệm của BPT $y<-x-2$ là miền được tô màu vàng và xanh.

Vì $0<0+1$ nên điểm O(0;0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình $y<x+1$

Miền nghiệm của BPT $y<x+1$ là miền được tô màu xanh và tím.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}y<-x-2\\ y<x+1\end{array}$ là miền màu xanh (không kể các bờ d, d’)

Nói cách khác nhãn đã cho là nhãn của miền màu xanh.

1. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

HĐ Khám phá 1 trang 33 Toán lớp 10: Một người nông dân dự định quy hoạch x sào đất trồng cà tím và y sào đất trồng cà chua.. Biết rằng người đó chỉ có tối đa 9 triệu đồng để mua hạt giống và giá tiền hạt giống cho mỗi sào đất trồng cà tím là 200 000 đồng, mỗi sào đất trồng cà chua là 100 000 đồng.

a) Viết các bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc đối với x, y.

b) Cặp số nào sau đây thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình nêu trên?

(20; 40),            (40; 20),          (-30; 10).

Lời giải:

a) Để quy hoạch x sào đất trồng cà tím, cần $200000.x$(đồng)

Để quy hoạch y sào đất trồng cà chua, cần $100000.y$(đồng)

Tổng số tiền để mua hạt giống là $200000.x+100000.y$ (đồng), tối đa là 9 triệu đồng nên ta có bất phương trình: $0,2x+0,1y\le 9$

Ngoài ra số sào đất là số không âm nên $x\ge 0$ và $y\ge 0$

b) + Cặp số (20; 40) thỏa mãn cả 3 bất phương trình trên vì $0,2.20+0,1.40=8<9$.

+ Cặp số (40; 20) không thỏa mãn các bất phương trình trên vì $0,2.40+0,1.20=10>9$.

+ Cặp số (-30; 10) không thỏa mãn các bất phương trình trên vì $-30<0$.

Giải toán lớp 10 trang 34 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 34 Toán lớp 10: Hãy chỉ ra hai nghiệm của mỗi hệ bất phương trình trong Ví dụ 1.

Lời giải:

a) $\{\begin{array}{l}3x+y-1\le 0\\ 2x-y+2\ge 0\end{array}$

Cặp số $(0;0)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình trên vì $\{\begin{array}{l}3.0+0-1=-1\le 0\\ 2.0-0+2=2\ge 0\end{array}$

Cặp số $(0;-1)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình trên vì $\{\begin{array}{l}3.0+(-1)-1=-2\le 0\\ 2.0-(-1)+2=3\ge 0\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}y-1<0\\ x+2\ge 0\end{array}$

Cặp số $(0;0)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình trên vì $\{\begin{array}{l}0-1=-1<0\\ 0+2=2\ge 0\end{array}$

Cặp số $(1;0)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình trên vì $\{\begin{array}{l}0-1=-1<0\\ 1+2=3\ge 0\end{array}$

d) $\{\begin{array}{l}x+y-3\le 0\\ -2x+y+3\ge 0\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

Cặp số $(0;0)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình trên vì $\{\begin{array}{l}0+0-3=-3\le 0\\ -2.0+0+3=3\ge 0\\ 0\ge 0\\ 0\ge 0\end{array}$

Cặp số $(0;1)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình trên vì $\{\begin{array}{l}0+1-3=-2\le 0\\ -2.0+1+3=4\ge 0\\ 0\ge 0\\ 1\ge 0\end{array}$

2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

HĐ Khám phá 2 trang 34 Toán lớp 10: Cho hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y-3\le 0\\ -2x+y+3\ge 0\end{array}$. Miền nào trong Hình 1 biểu diễn phần giao các miền nghiệm của hai bất phương trình trong hệ đã cho?

Phương pháp giải:

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên cùng một mặt phẳng Oxy

Lời giải:

Vẽ đường thẳng $d:x+y-3=0$ đi qua hai điểm $A(0;3)$ và $B\left(1;2\right)$

Xét gốc tọa độ $O(0;0).$ Ta thấy $O\notin \mathrm{\Delta }$ và $0+0-3=-3<0$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng kể cả bờ $d$, chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

Vẽ đường thẳng $d^{\prime }:-2x+y+3=0$ đi qua hai điểm $A(1;-1)$ và $B\left(2;1\right)$

Xét gốc tọa độ $O(0;0).$ Ta thấy $O\notin \mathrm{\Delta }$ và $-2.0+0+3=3>0$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không kể bờ $d^{\prime }$, chứa gốc tọa độ O

(miền không gạch chéo trên hình)

 

Vậy miền không gạch chéo trong hình trên là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải toán lớp 10 trang 35 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 35 Toán lớp 10: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y\le 8\\ 2x+3y\le 18\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

Phương pháp giải:

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên cùng một mặt phẳng Oxy

Lời giải:

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

 

Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên một miền đa giác

Giải toán lớp 10 trang 37 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Vận dụng trang 37 Toán lớp 10: Một người bán nước giải khát đang có 24 g bột cam, 9 l nước và 210 g đường để pha chế hai loại nước cam A và B. Để pha chế 1 l nước cam loại A cần 30 g đường, 1 l nước và 1 g bột cam; để pha chế 1 l nước cam loại B cần 10 g đường, 1 l nước và 4 g bột cam. Mỗi lít nước cam loại A bán được 60 nghìn đồng, mỗi lít nước cam loại B bán được 80 nghìn đồng. Người đó nên pha chế bao nhiêu lít nước cam mỗi loại để có doanh thu cao nhất?

Lời giải:

a) Gọi x là số lít nước cam loại A, y là là số lít nước cam loại B nên pha. Ta có hệ bất phương trình:

$\{\begin{array}{l}30x+10y\le 210\\ x+4y\le 24\\ x+y\le 9\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

Biểu diễn từng miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy, ta được như hình dưới.

 

Miền nghiệm là miền không gạch chéo (miền ngũ giác OABCD) với các đỉnh O (0;0), A (0;6), B (4;5), C(6;3), D(7;0)

Bài tập

Bài 1 trang 37 Toán lớp 10: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau:

a) $\{\begin{array}{l}x+y-3\ge 0\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

 

b) $\{\begin{array}{l}x-2y<0\\ x+3y>-2\\ y-x<3\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le 4\\ x+y-5\le 0\\ y\ge 0\end{array}$

Phương pháp giải:

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên cùng một mặt phẳng Oxy

Lời giải:

a) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

 

Miền không gạch chéo (miền tam giác OAB, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

b) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

 

Miền không gạch chéo (không bao gồm cạnh, các bờ) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

 c) Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

 

 Miền không gạch chéo (miền tứ giác ABCD, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải toán lớp 10 trang 38 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 38 Toán lớp 10: Một nhà máy sản xuất hai loại thuốc trừ sâu nông nghiệp là A và B. Cứ sản xuất mỗi thùng loại A thì nhà máy thải ra 0,25 kg khí cacbon dioxide (CO2) và 0,60 kg khí sulffur dioxide (SO2), sản xuất mỗi thùng loại B thì thải ra 0,50 kg CO2  và  0,20 kg SO2. Biết rằng, quy định hạn chế sản lượng (CO2) của nhà máy tối đa là 75 kg và SO2 tối đa là 90 kg mỗi ngày.

a) Tìm hệ bất phương trình mô tả số thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế trên. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó trên mặt phẳng tọa độ.

b) Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không ?

c) Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với quy định không ?

Lời giải:

a) Gọi x (thùng) là số thùng thuốc trừ sâu loại A được sản xuất ra trong một ngày, y (thùng) là số thùng thuốc trừ sâu loại B nhà máy sản xuất ra trong một ngày.

– Hiển nhiên, ta có : x ≥ 0, y ≥ 0 và x,y ∈ .

Khi đó, số khí CO2, SO2 thải ra khi sản xuất x thùng thuốc trừ sâu loại A lần lượt là: 0,25x (kg) và 0,6x (kg).

Số khí CO2, SO2  thải ra khi sản xuất y thùng thuốc trừ sâu loại B lần lượt là: 0,5y (kg) và 0,2y (kg).

Tổng lượng khí CO2 thải ra trong một ngày khi sản xuất x thùng thuốc loại A và y thùng thuốc loại B là: 0,25x + 0,5y (kg)

Tổng lượng khí SO2 thải ra trong một ngày khi sản xuất x thùng thuốc loại A và y thùng thuốc loại B là: 0,6x + 0,2y (kg)

– Do quy định hạn chế sản lượng CO2 của nhà máy tối đa là 75 kg và SO2 tối đa là 90 kg mỗi ngày nên ta có các bất phương trình sau :

0,25x + 0,5y ≤ 75;

0,6x + 0,2y ≤ 90.

Vậy, ta có hệ bất phương trình trình mô tả số thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện hạn chế trên là:

$\left\{\begin{array}{c}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 0,25x+0,5y\le 75\\ 0,6x+0,2y\le 90\end{array}\right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình sau:

Vậy, miền không tô màu (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

b) Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày tương ứng với x = 100 và y = 80.

Ta có, x = 100 và y = 80 thì:

$\left\{\begin{array}{c}100>0\\ 80>0\\ 0,25.100+0,5.80=65<75\\ 0,6.100+0,2.80=76<90\end{array}\right.$

Do đó, cặp (100; 80) là nghiệm của hệ bất phương trình.

Vậy, việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày là phù hợp với quy định.

c) Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày tương ứng với x = 60 và y = 160.

Ta có, x = 60 và y = 160 thì:

$\left\{\begin{array}{c}60>0\\ 160>0\\ 0,25.60+0,5.160=95>75\\ 0,6.60+0,2.160=68<90\end{array}\right.$

Do đó, cặp (60; 160) không là nghiệm của hệ bất phương trình.

Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày không phù hợp với quy định.

Bài 3 trang 38 Toán lớp 10: Bạn Lan thu xếp được không quá 10 giờ để làm hai loại đèn trung thu tặng cho các trẻ em khuyết tật. Loại đèn hình con cá cần 2 giờ để làm xong 1 cái, còn loại đèn ông sao chỉ cần 1 giờ để làm xong 1 cái. Gọi x, y lần lượt là số đèn hình con cá và đèn ông sao bạn Lan sẽ làm. Hãy lập hệ bất phương trình mô tả điều kiện của x, y và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Phương pháp giải:

Lập các điều kiện ràng buộc đối với x, y thành hệ bất phương trình.

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.

Lời giải: 

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:

–  Hiển nhiên $x\ge 0,y\ge 0$

–  Tổng số giờ làm không quá 10 giờ nên $2x+y\le 10$

Từ đó ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}2x+y\le 10\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}(x,y\in \mathbb{N})$

Biểu diễn từng miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy, ta được như hình dưới.

Miền không gạch chéo (miền tam giác OAB, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình.

Bài 4 trang 38 Toán lớp 10: Một học sinh dự định vẽ các tấm thiệp xuân làm bằng tay để bán trong một hội chợ Tết. Cần 2 giờ để vẽ một tấm thiệp loại nhỏ có giá 10 nghìn đồng và 3 giờ để vẽ một tấm thiệp loại lớn có giá 20 nghìn đồng. Học sinh này chỉ có 30 giờ để vẽ và ban tổ chức hội chợ yêu cầu phải vẽ ít nhất 12 tấm. Hãy cho biết bạn ấy cần vẽ bao nhiêu tấm thiệp mỗi loại để có được nhiều tiền nhất.

Phương pháp giải:

Bước 1: Lập các điều kiện ràng buộc đối với x, y thành hệ bất phương trình.

Bước 2: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.

Lời giải:

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:

– Hiển nhiên x≥0,y≥0

–  Tổng số giờ vẽ không quá 30 giờ nên 2x+3y≤30

–  Số tấm thiệp tối thiểu là 12 tấm nên $x+y\ge 12$

Từ đó ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}2x+3y\le 30\\ x+y\ge 12\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}(x,y\in \mathbb{N})$

Biểu diễn từng miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy, ta được như hình dưới.

Miền không gạch chéo (miền tam giác ABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình.

Với các đỉnh  $A(6;6),$$B(15;0),$$C(12;0).$

Gọi F là số tiền (đơn vị: nghìn đồng) thu được, ta có: $F=10x+20y$

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tam giác:

Tại $A(6;6):$$F=10.6+20.6=180$

Tại $B(15;0):$$F=10.15+20.0=150$

Tại $C(12;0):$$F=10.12+20.0=120$

F đạt giá trị lớn nhất bằng 180 tại $A(6;6).$

Vậy bạn học sinh đó cần vẽ 6 tấm thiệp loại nhỏ và 6 tấm thiệp loại to để có được nhiều tiền nhất.

Bài 5 trang 38 Toán lớp 10: Trong một tuần, bạn Mạnh có thể thu xếp được tối đa 12 giờ để tập thể dục giảm cân bằng hai môn: đạp xe và tập cử tạ tại phòng tập. Cho biết mỗi giờ đạp xe sẽ tiêu hao 350 calo và không tốn chi phí, mỗi giờ tập cử tạ sẽ tiêu hao 700 calo với chi phí 50 000 đồng/giờ. Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không được vượt quá 7 000 calo một tuần. Hãy giúp bạn Mạnh tính số giờ đạp xe và số giờ tập tạ một tuần trong hai trường hợp sau:

a) Mạnh muốn chi phí luyện tập là ít nhất.

b) Mạnh muốn số calo tiêu hao là nhiều nhất.

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi x, y lần lượt là số giờ đạp xe và tập tạ trong một tuần.

Bước 2: Lập các điều kiện ràng buộc đối với x, y thành hệ bất phương trình.

Bước 3: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.

Lời giải:

Gọi x, y lần lượt là số giờ đạp xe và tập tạ trong một tuần.

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:

– Hiển nhiên x≥0,y≥0

–  Số giờ tập thể dục tối đa là 12 giờ nên x+y ≤ 12

–  Tổng số calo tiêu hao một tuần không quá 7000 calo nên $350x+700y\le 7000$

Từ đó ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}x+y\le 12\\ 350x+700y\le 7000\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$

Biểu diễn từng miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy, ta được như hình dưới.

Miền không gạch chéo (miền tứ giác OABC, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình.

Với các đỉnh  $O(0;0),$$A(0;10),$$B(4;8),$$C(12;0).$

a) Gọi F là chi phí luyện tập (đơn vị: nghìn đồng), ta có: $F=50y$

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:

Tại $O(0;0),$$F=50.0=0$

Tại $A(0;10),$$F=50.10=500$

Tại $B(4;8),$$F=50.8=400$

Tại $C(12;0).$$F=50.0=0$

F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại $O(0;0),$$C(12;0).$

Vậy bạn Mạnh cần đạp xe 12 giờ hoặc không tập thể dục..

b) Gọi T là lượng calo tiêu hao (đơn vị: calo), ta có: $T=350x+700y$

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác:

Tại $O(0;0),$$T=350.0+700.0=0$

Tại $A(0;10),$$T=350.0+700.10=7000$

Tại $B(4;8),$$T=350.4+700.8=7000$

Tại $C(12;0),$$T=350.12+700.0=4200$

T đạt giá trị lớn nhất bằng 7000 tại $A(0;10),$$B(4;8).$

Vậy bạn Mạnh có thể chọn một trong hai phương án: Tập tạ 10 giờ hoặc đạp xe 4 tiếng và tập tạ 8 tiếng.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Hàm số và đồ thị

Bài 2: Hàm số bậc hai