Giải SGK Toán 10 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Giải toán lớp 10 trang 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Khởi động trang 11 Toán lớp 10: Với giá trị nào của x thì tam thức bậc hai $f\left(x\right)=2x^2-5x+3$ mang dấu dương?

Phương pháp giải:

 Bước 1: Xét dấu của biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

Bước 2: Tìm nghiệm của tam thức (nếu có), xét dấu của hệ số $a$

Bước 3: Lập bảng xét dấu và kết luận.

Lời giải:

Tam thức $f\left(x\right)=2x^2-5x+3$ có $\mathrm{\Delta }=1>0$, hai nghiệm phân biệt là $x_1=1,x_2=\frac{3}{2}$ và $a=2>0$

Ta có bảng xét dấu như sau:

 

Vậy tam thức đã cho mang dấu dương khi x nằm trong khoảng $\left(-\mathrm{\infty };1\right)\cup \left(\frac{3}{2};+\mathrm{\infty }\right)$

Khám phá trang 11 Toán lớp 10: Lợi nhuận (I) thu được trong một ngày làm việc kinh doanh một loại gạo của cửa hàng phụ thuộc vào giá bán (x) của một kg loại gạo đó theo công thức $I=-3x^2+200x-2325$ với I và x được tính bằng nghìn đồng. Giá trị x như thế nào thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó?

 

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định của hàng có lãi thì lợi nhuận lớn hơn 0, suy ra $I>0$

Bước 2: Xác định dấu của $\mathrm{\Delta },a$ và tìm nghiệm (nếu có)

Bước 3: Lập bảng xét dấu

Lời giải:

Để cửa hàng có lãi thì lợi nhuận lớn hơn 0, suy ra $I>0\iff -3x^2+200x-2325>0$

Tam thức $I=-3x^2+200x-2325$ có $\mathrm{\Delta }=12100>0$, có hai nghiệm phân biệt $x_1=15;x_2=\frac{155}{3}$ và có $a=-3<0$

Ta có bảng xét dấu như sau:

 

Vậy ta thấy cửa hàng có lợi nhuận khi $x\in \left(15;\frac{155}{3}\right)$ (kg)

Thực hành 1 trang 11 Toán lớp 10: Các bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn? Nếu là bất phương trình bậc hai một ẩn,  có là nghiệm của bất phương trình đó hay không?

a) $x^2+x-6\le 0$

b) $x+2>0$

c) $-6x^2-7x+5>0$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định bậc của bất phương trình và số ẩn, nếu bậc là 2 và có một ẩn thì là bất phương trình bậc hai một ẩn

Bước 2: Thay $x=2$ vào bất phương trình, nếu thỏa mãn bất phương trình thì là nghiệm

Lời giải:

a) $x^2+x-6\le 0$ là một bất phương trình bậc hai một ẩn

Vì $2^2+2-6=0$ nên $x=2$ là nghiệm của bất phương trình trên

b) $x+2>0$ không là bất phương trình bậc hai một ẩn

c) $-6x^2-7x+5>0$ là một bất phương trình bậc hai một ẩn

Vì $-{6.2}^2-7.2+5=-33<0$ nên $x=2$ không là nghiệm của bất phương trình trên

Giải toán lớp 10 trang 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 12 Toán lớp 10: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $15x^2+7x-2\le 0$

b) $-2x^2+x-3<0$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm nghiệm của tam thức (nếu có)

Bước 2: Xác định dấu của a

Bước 3: Xét dấu của tam thức

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=15x^2+7x-2$ có hai nghiệm phân biệt là $x_1=-\frac{2}{3};x_2=\frac{1}{5}$

và có $a=15>0$ nên $f\left(x\right)\le 0$ khi x thuộc đoạn $\left[-\frac{2}{3};\frac{1}{5}\right]$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $15x^2+7x-2\le 0$ là $\left[-\frac{2}{3};\frac{1}{5}\right]$

b) Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-2x^2+x-3$ có $\mathrm{\Delta }=-23<0$ và $a=-2<0$

nên $f\left(x\right)$ âm với mọi $x\in \mathbb{R}$

Vậy bất phương trình $-2x^2+x-3<0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$

Vận dụng trang 12 Toán lớp 10: Hãy giải bất phương trình lập được trong hoạt động khám phá và tìm giá bán gạo sao cho cửa hàng có lãi.

Phương pháp giải:

Bước 1: Lập bất phương trình

Bước 2: Tìm nghiệm của tam thức bậc hai (nếu có)

Bước 3: Xác định dấu của tam thức bậc hai một ẩn

Lời giải:

Để cửa hàng có lãi thì lợi nhuận lớn hơn 0

Nên ta có bất phương trình như sau: $-3x^2+200x-2325>0$

Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-3x^2+200x-2325$ có hai nghiệm phân biệt là $x_1=15;x_2=\frac{155}{3}$ và có $a=-3<0$

Nên $f\left(x\right)$ dương khi x nằm trong khoảng $\left(15;\frac{155}{3}\right)$

Vậy bất phương trình $-3x^2+200x-2325>0$ có tập nghiệm là $\left(15;\frac{155}{3}\right)$

Bài tập (trang 12, 13)

Bài 1 trang 12 Toán lớp 10: Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai tương ứng, hãy xác định tập nghiệm của các bất phương trình bậc hai sau đây:

Phương pháp giải:

+) Phần đồ thị nằm trên trục hoành có các x tương ứng là nghiệm của BPT $f\left(x\right)>0$

+) Phần đồ thị nằm dưới trục hoành có các x tương ứng là nghiệm của BPT $f\left(x\right)<0$

+) Tại x có đồ thị cắt trục hoành là nghiệm của BPT $f\left(x\right)=0$

Lời giải:

a) Dựa vào đồ thị ta thấy $x^2+2,5x-1,5\le 0$ khi x thuộc đoạn $\left[-3;\frac{1}{2}\right]$

Vậy nghiệm của bất phương trình $x^2+2,5x-1,5\le 0$ là $\left[-3;\frac{1}{2}\right]$

b) Dựa vào đồ thị ta thấy $-x^2-8x-16<0$ với mọi x khác $-4$

Vậy nghiệm của bất phương trình $-x^2-8x-16<0$ là $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-4\right\}$

c) Dựa vào đồ thị ta thấy $-2x^2+11x-12>0$ khi x thuộc khoảng $\left(\frac{3}{2};4\right)$

Vậy nghiệm của bất phương trình $-2x^2+11x-12>0$ là $\left(\frac{3}{2};4\right)$

d) Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị của tam thức $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+1$ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành với mọi x

Vậy bất phương trình $\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+1\le 0$ vô nghiệm.

Giải toán lớp 10 trang 13 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 13 Toán lớp 10: Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) $2x^2-15x+28\ge 0$

b) $-2x^2+19x+255>0$

c) $12x^2<12x-8$

d) $x^2+x-1\ge 5x^2-3x$

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm nghiệm của tam thức (nếu có)

Bước 2: Xác định dấu của a

Bước 3: Xét dấu của tam thức

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=2x^2-15x+28$ có hai nghiệm phân biệt là $x_1=\frac{7}{2};x_2=4$

và có $a=2>0$ nên $f\left(x\right)\ge 0$ khi x thuộc hai nửa khoảng $\left(-\mathrm{\infty };\frac{7}{2}\right];\left[4;+\mathrm{\infty }\right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2x^2-15x+28\ge 0$ là $\left(-\mathrm{\infty };\frac{7}{2}\right]\cup \left[4;+\mathrm{\infty }\right)$

b) Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=-2x^2+19x+255$ có hai nghiệm phân biệt là $x_1=-\frac{15}{2};x_2=17$

và có $a=-2<0$ nên $f\left(x\right)>0$ khi x thuộc khoảng $\left(-\frac{15}{2};17\right)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $-2x^2+19x+255>0$ là $\left(-\frac{15}{2};17\right)$

c) $12x^2<12x-8\iff 12x^2-12x+8<0$

Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=12x^2-12x+8$ có $\mathrm{\Delta }=-240<0$ và $a=12>0$

nên $f\left(x\right)=12x^2-12x+8$ dương với mọi x

Vậy bất phương trình $12x^2<12x-8$ vô nghiệm

d) $x^2+x-1\ge 5x^2-3x\iff 4x^2-4x+1\ge 0$

Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=4x^2-4x+1$ có $\mathrm{\Delta }=0$ và $a=4>0$

nên $f\left(x\right)\ge 0$ với mọi x

Vậy bất phương trình $x^2+x-1\ge 5x^2-3x$ có vô số nghiệm

Bài 3 trang 13 Toán lớp 10: Kim muốn trồng một vườn hoa trên mảnh đất hình chữ nhật và làm hàng rào bao quanh. Kim chỉ có đủ vật liệu để làm 30 m hàng rào nhưng muốn diện tích vườn hoa ít nhất là 50 $m^2$. Hỏi chiều rộng của vườn hoa nằm trong khoảng nào?

Phương pháp giải:

Bước 1: Biểu diễn chiểu dài qua chiều rộng (chu vi = 2.(dài + rộng))

Bước 2: Lập công thức tính diện tích (dài*rộng)

Bước 3: Lập bất phương trình và giải

Lời giải:

Gọi x là chiều rộng của vườn hoa ($x>0$, tính bằng đơn vị mét)

Theo giả thiết ta có chiều dài là $15-x$

Diện tích của vườn hoa có phương trình như sau $f\left(x\right)=x\left(15-x\right)=-x^2+15x$

Ta có bất phương trình thỏa mãn bài toán như sau:$-x^2+15x\ge 50\iff -x^2+15x-50\ge 0$

Xét tam thức $g\left(x\right)=-x^2+15x-50$ có hai nghiệm phân biệt là $x_1=5;x_2=10$ và $a=-1<0$ nên $g\left(x\right)>0$ khi x thuộc đoạn  $\left[5;10\right]$

Vậy khi chiều rộng nằm trong đoạn $\left[5;10\right]$ mét thì diện tích vườn hoa ít nhất là 50 $m^2$

Bài 4 trang 13 Toán lớp 10: Một quả bóng được ném thẳng đứng lên từ độ cao 1,6 m so với mặt đất với vận tốc là 10 m/s độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi hàm số $h\left(t\right)=-4,9t^2+10t+1,6$. Hỏi:

a) Bóng có thể cao trên 7 m không?

b) Bóng ở độ cao trên 5 m trong khoảng thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Phương pháp giải:

Bước 1: Lập bất phương trình

Bước 2: Tìm nghiệm (nếu có) của tam thức bậc hai

Bước 3: Xét dấu của tam thức bậc hai

Lời giải:

a) Theo giả thiết ta có bất phương trình sau: $-4,9t^2+10t+1,6>7\iff -4,9t^2+10t-5,4>0$

Xét tam thức $f\left(t\right)=-4,9t^2+10t-5,4$ có $\mathrm{\Delta }=-\frac{146}{25}<0$ và $a=-4,9<0$

nên $f\left(x\right)$ âm với mọi t, suy ra bât phương trình $-4,9t^2+10t+1,6>7$ vô nghiệm

vậy bóng không thể cao trên 7 m

b) Theo giả thiết ta có bất phương trình sau: $-4,9t^2+10t+1,6>5\iff -4,9t^2+10t-3,4>0$

Xét tam thức $f\left(t\right)=-4,9t^2+10t-3,4$ có hai nghiệm phân biệt là $t_1\simeq 0,43;t_2\simeq 1,61$ và $a=-4,9<0$

nên $f\left(t\right)$ dương khi t nằm trong khoảng $\left(0,43;1,61\right)$

Vậy khi t nằm trong khoảng $\left(0,43;1,61\right)$giây thì bóng ở độ cao trên 5 m

Bài 5 trang 13 Toán lớp 10: Mặt cắt ngang của mặt đường thường có hình dạng parabol để nước mưa dễ dàng thoát sang hai bên. Mặt cắt ngang của một con đường được mô tả bằng hàm số $y=-0,006x^2$ với gốc tọa độ đặt tại tim đường và đơn vị đo là mét như hình 4. Với chiều rộng của đường như thế nào thì thì tim đường cao hơn đường không quá 15 cm?

Phương pháp giải:

Bước 1: Lập bất phương trình 

Bước 2: Tìm nghiệm (nếu có) của tam thức bậc hai

Bước 3: Xét dấu của tam thức bậc hai

Lời giải:

15 cm = 0,15 m

Tại vì gốc tọa độ đặt tại tim đường nên độ cao của lề đường so với tim đường là âm

Để tim đường cao hơn đường không quá 15 cm thì ta có bât phương trình sau:

$-0,006x^2\ge -0,15\iff 0,006x^2-0,15\ge 0$

Xét tam thức bậc hai $f\left(x\right)=0,006x^2-0,15$ có hai nghiệm phân biệt là $x_1=-5;x_2=5$ và $a=0,006>0$ nên $f\left(x\right)$ dương khi x thuộc hai nửa khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-5\right];\left[5;+\mathrm{\infty }\right)$

Vậy khi chiều rộng của đường lớn hơn 10 m thì tim đường cao hơn đường không quá 15 cm

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập cuối chương 7

Bài 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân