Giải SGK Toán 10 Bài 1 (Cánh diều): Tọa độ của vectơ

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 1: Tọa độ của vectơ

Giải Toán 10 trang 60 Tập 2

Câu hỏi khởi động trang 60 Toán lớp 10 Tập 2: Hình 1 minh họa hoạt động của một màn hình ra đa ở trạm kiểm soát không lưu của sân bay, đang theo dõi một máy bay hạ cánh. Máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa bởi một đốm sáng, kí hiệu là M. Dựa trên sự thay đổi của tọa độ vectơ $\vec{O M}$ , trạm kiểm soát có thể xác định được đường bay của máy bay.

Hình 1 minh họa hoạt động của một màn hình ra đa ở trạm kiểm soát không lưu của sân bay

Tọa độ của vectơ $\vec{O M}$ là gì?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ biết tọa độ của vectơ $\vec{O M}$ chính là tọa độ của điểm M.

I. Tọa độ của một điểm

Hoạt động 1 trang 60 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 2), hãy:

a) Tìm hoành độ và tung độ của điểm A.

b) Nêu cách xác định tọa độ của điểm M tùy ý.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 2) hãy Tìm hoành độ và tung độ của điểm A

Lời giải:

a) Từ điểm A, kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và ta thấy đường thẳng này cắt trục hoành tại điểm ứng với số 2. Tương tự, từ A kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và ta thấy đường thẳng này cắt trục tung tại điểm ứng với số 2.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 2) hãy Tìm hoành độ và tung độ của điểm A

Vậy hoành độ của điểm A là 2 và tung độ của điểm A là 2.

b) Để xác định tọa độ của một điểm M tùy ý trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (Hình 2) hãy Tìm hoành độ và tung độ của điểm A

– Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.

– Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.

Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a; b).

II. Tọa độ của một vectơ

Giải Toán 10 trang 61 Tập 2

Hoạt động 2 trang 61 Toán lớp 10 Tập 2: Cho điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

a) Vẽ vectơ $\vec{O M}$ .

b) Nêu cách xác định tọa độ của điểm M.

Lời giải:

a) Ta vẽ vectơ $\vec{O M}$ như sau:

Cho điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy

b) Để xác định tọa độ của một điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau:

– Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.

– Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.

Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a; b).

Hoạt động 3 trang 61 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ (Hình 7). Hãy xác định điểm A sao cho $\vec{O A} = \vec{u}$ .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ u

Lời giải:

Để xác định điểm A, ta làm như sau:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ u

– Qua O kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ $\vec{u}$ .

– Lấy điểm A trên đường thẳng d sao cho hai vectơ $\vec{O A}, \vec{u}$ cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OA bằng độ dài vectơ $\vec{u}$ .

Vậy ta xác định được điểm A thỏa mãn yêu cầu.

Giải Toán 10 trang 62 Tập 2

Luyện tập 1 trang 62 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{c}, \vec{d}$ trong Hình 11.

Tìm tọa độ của các vectơ c, d trong Hình 11

Lời giải:

Tìm tọa độ của các vectơ c, d trong Hình 11

– Giá của vectơ $\vec{c}$ song song với trục Ox, trên trục Ox, lấy điểm A sao cho hai vectơ $\vec{O A}, \vec{c}$ cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OA bằng độ dài vectơ $\vec{c}$ và bằng 3 (đơn vị ô vuông).

Ta có: $\vec{c} = \vec{O A}$ và A(– 3; 0); tọa độ vectơ $\vec{O A}$ chính là tọa độ điểm A nên $\vec{c} = (- 3; 0)$ .

– Giá của vectơ $\vec{d}$ song song với trục Oy, trên trục Oy, lấy điểm B sao cho hai vectơ $\vec{O B}, \vec{d}$ cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OB bằng độ dài vectơ $\vec{d}$ và bằng 2 (đơn vị ô vuông).

Ta có: $\vec{d} = \vec{O B}$ và B(0; 2); tọa độ vectơ $\vec{O B}$ chính là tọa độ điểm B nên $\vec{d} = (0; 2)$ .

Giải Toán 10 trang 63 Tập 2

Hoạt động 4 trang 63 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ $\vec{u} = (a; b)$ . Ta chọn điểm A sao cho $\vec{O A} = \vec{u}$ .

Xét vectơ đơn vị $\vec{i}$ trên trục hoành Ox và vectơ đơn vị $\vec{j}$ trên trục tung Oy (Hình 12).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ u(a,b)

a) Tìm hoành độ và tung độ của điểm A.

b) Biểu diễn vectơ $\vec{O H}$ qua vectơ $\vec{i}$ .

c) Biểu diễn vectơ $\vec{O K}$ qua vectơ $\vec{j}$ .

d) Chứng tỏ rằng $\vec{u} = a \vec{i} + b \vec{j}$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{O A} = \vec{u}$ , mà (a; b) là tọa độ của vectơ $\vec{u}$ nên điểm A có hoành độ là a và tung độ là b.

b) Điểm H biểu diễn số a trên trục Ox nên $\vec{O H} = a \vec{i}$ .

c) Điểm K biểu diễn số b trên trục Oy nên $\vec{O K} = b \vec{j}$ .

d) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\vec{O A} = \vec{O K} + \vec{O H}$ .

Mà $\vec{O H} = a \vec{i}$ , $\vec{O K} = b \vec{j}$ nên $\vec{O A} = a \vec{i} + b \vec{j}$ .

Theo bài ra ta có: $\vec{O A} = \vec{u}$ .

Vậy $\vec{u} = a \vec{i} + b \vec{j}$ .

Luyện tập 2 trang 63 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm B(– 1; 0) và vectơ $\vec{v}$ = (0; – 7).

a) Biểu diễn $\vec{v}$ vectơ qua hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ .

b) Biểu diễn $\vec{O B}$ vectơ qua hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ .

Lời giải:

a) Vì $\vec{v}$ = (0; – 7) nên $\vec{v} = 0. \vec{i} + (- 7) . \vec{j} = - 7 \vec{j}$ .

b) Vì điểm B có tọa độ là (– 1; 0) nên $\vec{O B} = (- 1; 0)$ . Do đó:

$\vec{O B} = (- 1) . \vec{i} + 0. \vec{j} = - \vec{i}$ .

III. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ

Giải Toán 10 trang 64 Tập 2

Hoạt động 5 trang 64 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A, B (Hình 13).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A, B (Hình 13)

a) Tìm hoành độ x_A và tung độ y_Acủa điểm A; hoành độ x_B và tung độ y_B của điểm B.

b) Tìm điểm M sao cho $\vec{O M} = \vec{A B}$ . Từ đó, tìm hoành độ a và tung độ b của vectơ $\vec{A B}$ .

c) So sánh: x_B – x_A và a; y_B – y_A và b.

Lời giải:

a) Từ A và B ta kẻ các đường thẳng vuông góc với trục tung và trục hoành.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A, B (Hình 13)

Ta xác định được tọa độ của các điểm A và B.

Hoành độ của điểm A là x_A = 2, tung độ của điểm A là y_A = 2.

Hoành độ của điểm B là x_B = 4, tung độ của điểm B là y_B = 3.

b) Để xác định điểm M, ta làm như sau:

– Từ đểm O, kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ $\vec{A B}$ (chính là đường thẳng AB).

– Lấy điểm M trên đường thẳng d sao cho hai vectơ $\vec{A B}, \vec{O M}$ cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OM bằng độ dài vectơ $\vec{A B}$ (chính là độ dài đoạn thẳng AB).

Ta xác định được điểm M thỏa mãn $\vec{O M} = \vec{A B}$ như hình vẽ:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A, B (Hình 13)

Từ điểm M, kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành, đường thẳng này cắt trục hoành tại điểm ứng với số 2, nên hoành độ của điểm M là x_M = 2.

Từ điểm M, kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung, đường thẳng này cắt trục tung tại điểm ứng với số 1, nên tung độ của điểm M là y_M = 1.

Tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ $\vec{O M}$ nên $\vec{O M} = (2; 1)$ .

Lại có $\vec{O M} = \vec{A B}$ , do đó tọa độ của vectơ $\vec{A B}$ là (2; 1).

Vậy hoành độ của vectơ $\vec{A B}$ là a = 2 và tung độ của vectơ $\vec{A B}$ là b = 1.

c) Ta có: x_B– x_A = 4 – 2 = 2 và a = 2 nên x_B – x_A = a.

Và y_B – y_A = 3 – 2 = 1 và b = 1 nên y_B – y_A = b.

Luyện tập 3 trang 64 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm: A(1; 3), B(5; – 1), C(2; – 2), D(– 2; 2).

Chứng minh $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

Lời giải:

Ta có: $\vec{A B} = (5 - 1; (- 1) - 3)$ . Do đó $\vec{A B} = (4; - 4)$ .

Lại có: $\vec{D C} = (2 - (- 2); (- 2) - 2)$ . Do đó $\vec{D C} = (4; - 4)$

Vậy $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

Bài tập

Giải Toán 10 trang 65 Tập 2

Bài 1 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ của các vectơ trong Hình 16 và biểu diễn mỗi vectơ đó qua hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ .

Tìm tọa độ của các vectơ trong Hình 16 và biểu diễn mỗi vectơ đó

Lời giải:

Tìm tọa độ của các vectơ trong Hình 16 và biểu diễn mỗi vectơ đó

Từ O, vẽ các đường thẳng song song với giá của các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ .

Trên các đường thẳng đó, lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao cho $\vec{O A} = \vec{a}$ , $\vec{O B} = \vec{b}$ , $\vec{O C} = \vec{c}$ , $\vec{O D} = \vec{d}$ (như hình vẽ trên).

Từ các điểm A, B, C, D, kẻ các đường thẳng vuông góc với các trục tọa độ Ox, Oy để xác định tọa độ các điểm này. Ta xác định được tọa độ của các điểm là: A(– 5; – 3), B(3; – 4), C(– 1; 3) và D(2; 5).

+) Ta có $\vec{O A} = \vec{a}$ và tọa độ A là A(– 5; – 3), tọa độ của vectơ $\vec{O A}$ chính là tọa độ của điểm A, do đó tọa độ của vectơ $\vec{a}$ là (– 5; – 3) và $\vec{a} = (- 5) . \vec{i} + (- 3) . \vec{j} = - 5 \vec{i} - 3 \vec{j}$ .

+) Ta có $\vec{O A} = \vec{a}$ và tọa độ của B(3; – 4), tọa độ của vectơ $\vec{O B}$ chính là tọa độ của điểm B, do đó tọa độ của vectơ $\vec{b}$ là (3; – 4) và $\vec{b} = 3. \vec{i} + (- 4) . \vec{j} = 3 \vec{i} - 4 \vec{j}$ .

+) Ta có $\vec{O C} = \vec{c}$ và tọa độ của C(– 1; 3), tọa độ của vectơ $\vec{O C}$ chính là tọa độ của điểm C, do đó tọa độ của vectơ $\vec{c}$ là (– 1; 3) và $\vec{c} = (- 1) . \vec{i} + 3. \vec{j} = - \vec{i} + 3 \vec{j}$ .

+) Ta có $\vec{O D} = \vec{d}$ và tọa độ của D(2; 5), tọa độ của vectơ $\vec{O D}$ chính là tọa độ của điểm D, do đó tọa độ của vectơ $\vec{d}$ là (2; 5) và $\vec{d} = 2. \vec{i} + 5. \vec{j} = 2 \vec{i} + 5 \vec{j}$ .

Bài 2 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tọa độ của các vectơ sau:

a) $\vec{a} = 3 \vec{i}$ ;

b) $\vec{b} = - \vec{j}$ ;

c) $\vec{c} = \vec{i} - 4 \vec{j}$ ;

d) $\vec{d} = 0, 5 \vec{i} + \sqrt{6} \vec{j}$ .

Lời giải:

Tìm tọa độ của các vectơ sau

Bài 3 trang 65 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm các số thực a và b sao cho mỗi cặp vectơ sau bằng nhau:

a) $\vec{u} = (2 a - 1; - 3)$ và $\vec{v} = (3; 4 b + 1)$ ;

b) $\vec{x} = (a + b; - 2 a + 3 b)$ và $\vec{y} = (2 a - 3; 4 b)$ .

Lời giải:

Hai vectơ bằng nhau khi hoành độ của vectơ này bằng hoành độ của vectơ kia và tung độ của vectơ này bằng tung độ của vectơ kia.

Tìm các số thực a và b sao cho mỗi cặp vectơ sau bằng nhau

Từ (1) và (2) ta được: a – 3 = – 2a ⇔ a + 2a = 3 ⇔ 3a = 3 ⇔ a = 1.

Thay vào (1) ta được: b = 1 – 3 = – 2.

Vậy a = 1 và b = – 2.

Giải Toán 10 trang 66 Tập 2

Bài 4 trang 66 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(2; 3), B(– 1; 1), C(3; – 1).

a) Tìm toạ độ điểm M sao cho $\vec{A M} = \vec{B C}$ .

b) Tìm toạ độ trung điểm N của đoạn thẳng AC. Chứng minh rằng $\vec{B N} = \vec{N M}$ .

Lời giải:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(2; 3)

Bài 5 trang 66 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(– 1; 3).

a) Tìm toạ độ điểm A đối xứng với điểm M qua gốc O.

b) Tìm toạ độ điểm B đối xứng với điểm M qua trục Ox.

c) Tìm toạ độ điểm C đối xứng với điểm M qua trục Oy

Lời giải:

a) Điểm A đối xứng với điểm M qua gốc O nên O là trung điểm của AM.

Do đó $\vec{A O} = \vec{O M}$ .

Gọi tọa độ điểm A(a; b).

Ta có: $\vec{A O} = (0 - a; 0 - b) = (- a; - b)$ ; $\vec{O M} = (- 1; 3)$ (tọa độ vectơ $\vec{O M}$ chính là tọa độ điểm M).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(– 1; 3)

Vậy tọa độ điểm A là A(1; – 3).

b) Vì điểm B đối xứng với điểm M qua trục Ox nên hoành độ của điểm B giữ nguyên và tung độ của điểm B đối nhau với trung độ của điểm M.

Vậy ta có tọa độ của B là B(– 1; – 3).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(– 1; 3)

c) Điểm C đối xứng với điểm M qua trục Oy nên tung độ của điểm C giữ nguyên và hoành độ của điểm C đối nhau với hoành độ của điểm M.

Vậy tọa độ của điểm C là C(1; 3).

Bài 6 trang 66 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(– 3; 1), B(– 1; 3), I(4; 2). Tìm toạ độ của hai điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành nhận I làm tâm đối xứng.

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm C(x_C; y_C), tọa độ điểm D(x_D; y_D).

Khi đó ta có: $\vec{A I} = (4 - (- 3); 2 - 1) = (7; 1)$ , $\vec{I C} = (x_{C} - 4; y_{C} - 2)$ .

Vì I là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD nên I là trung điểm của AC, do đó

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(– 3; 1)

Vậy tọa độ điểm C là C(11; 3).

Ta có: $\vec{A B} = ((- 1) - (- 3); 3 - 1) = (2; 2)$ , $\vec{D C} = (11 - x_{D}; 3 - y_{D})$ .

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{A B} = \vec{D C}$ $\Leftrightarrow \vec{D C} = (2; 2)$

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(– 3; 1)

Vậy tọa độ điểm D là D(9; 1).

Bài 7 trang 66 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC. Các điểm M(1; – 2), N(4; – 1) và P(6; 2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C.

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 6

Bài 1: Tọa độ của vectơ

Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy