Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

1. Giải một số bài toán Vật lí, Hóa học và Sinh học

HĐ1 trang 15 Chuyên đề Toán 10: Bài toán sản xuất gà giống. Trong trang trại sản xuất gà giống, việc lựa chọn tỉ lệ giữa gà trống và gà mái rất quan trọng. Nếu quá nhiều gà trống thì không hiệu quả kinh tế, nếu ít gà trống quá thì ảnh hưởng đến hiệu quả sản xuất gà giống. Các nghiên cứu chỉ ra rằng tỉ lệ giữa gà trống và gà mái để sản xuất gà giống hiệu quả nhất là 1:10,5. Một đàn gà trường thành có tồng số 3 000 con, trong đó tỉ lệ giữa gà trống và gà mái là 5:3. Cần chuyền bao nhiêu gà trống cho mục đích nuôi lấy thịt để hiệu quả cao nhất?

Gọi số gà trống trong đàn gà là x, số gà mái trong đàn gà là y, số gà trống cần chuyển sang mục đích nuôi lấy thịt là z.

a) Điều kiện của x, y và z là gì?

b) Từ giả thiết của bài toán, hãy tìm ba phương trình bậc nhất ràng buộc x, y và z, từ đó có một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn.

c) Giải hệ phương trình bậc nhất thu được. Từ đó đưa ra câu trả lời cho bài toán.

Lời giải:

a) Số con gà là số tự nhiên nên điều kiện là $x, y, z \in N$ .

Cả đàn gà có 3000 con nên $x, y, z \leq 3000$ .

b) Tỉ lệ giữa gà trống và gà mái để sản suất gà giống là 1:10,5 nên ta có: $\frac{x - z}{y} = \frac{1}{10, 5}$

Tổng số 3000 con, nên ta có: $x + y = 3000$

Tỉ lệ giữa gà trống và gà mái là $\frac{x}{y} = \frac{5}{3}$

Từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn ${\begin{cases} x + y = 3000 \\ 10, 5 x - y - 10, 5 z = 0 \\ 3 x - 5 y = 0 \end{cases}$

c) Sử dụng máy tính cầm tay, ta được

$x = 1875; y = 1125; z \approx 1768$

Vậy cần chuyển khoảng 1768 con gà trống cho mục đích nuôi lấy thịt để đạt hiệu quả cao nhất.

Luyện tập 1 trang 18 Chuyên đề Toán 10: Cân bằng phương trình phản ứng hoá học đốt cháy octane trong oxygen

C₈H₁₈ + O₂ → CO₂ + H₂O.

Lời giải:

Giả sử x, y, z, t là bốn số nguyên dương thoả mãn cân bằng phản ứng:

xC₈H₁₈ + yO₂ → zCO₂ + tH₂O.

Vì số nguyên tử C, H, O ở hai vế bằng nhau nên ta có hệ:

$\{\begin{cases} 8 x = z \\ 18 x = 2 t \\ 2 y = 2 z + t \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 8 \frac{x}{t} = \frac{z}{t} \\ 9 \frac{x}{t} = 1 \\ 2 \frac{y}{t} = 2 \frac{z}{t} + 1 \end{cases} .$

Đặt X = $\frac{x}{t}$ , Y = $\frac{y}{t}$ , Z = $\frac{z}{t}$ ta được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:

$\{\begin{cases} 8 X = Z \\ 9 X = 1 \\ 2 Y = 2 Z + 1 \end{cases}$ hay $\{\begin{cases} 8 X - Z = 0 \\ 9 X - 1 = 0 \\ 2 Y - 2 Z - 1 = 0 \end{cases}$

Giải hệ này ta được X = $\frac{1}{9}$ , Y = $\frac{25}{18}$ , Z = $\frac{8}{9}$ . Từ đây suy ra x = $\frac{1}{9}$ t, y = $\frac{25}{18}$ t, z = $\frac{8}{9}$ t.

Chọn t = 18 ta được x = 2, y = 25, z = 16. Từ đó ta được phương trình cân bằng:

2C₈H₁₈ + 25O₂ → 16CO₂ + 18H₂O.

2. Giải bài toán cân bằng cung – cấu

HĐ2 trang 18 Chuyên đề Toán 10: Kí hiệu x, y, z lần lượt là giá của 1 kg thịt lợn, 1 kg thịt bò và 1 kg thịt gà, ở đây x, y, z > 0 và đơn vị là nghìn đồng. Kí hiệu :

Q_S1 là lượng thịt lợn mà người bán chấp thuận bán với giá x.

Q_S2 là lượng thịt bò mà người bán chấp thuận bán với giá y.

Q_S3 là lượng thịt gà mà người bán chấp thuận bán với giá z.

Q_D1 là lượng thịt lợn mà người mua chấp thuận mua với giá x.

Q_D2 là lượng thịt bò mà người mua chấp thuận mua với giá y.

Q_D3 là lượng thịt gà mà người mua chấp thuận mua với giá z.

a) Mức giá thịt lợn x, thịt bò y và thịt gà z phải thoả mãn điều kiện gì để người bán và người mua cùng hài lòng, tức là mức giá hợp lí nhất?

b) Viết hệ phương trình ràng buộc giữa x, y, z để người bán và người mua cùng hài lòng.

Trong kinh tế học người ta gọi :

– Các hàm Q_S1, Q_S2 và Q_S3 phụ thuộc vào ba biến giá x, y, z là hàm cung (supply function);

– Các hàm Q_D1, Q_D2 và Q_D3 phụ thuộc vào ba biến giá x, y, z là hàm cầu (demand function);

– Hệ phương trình $\{\begin{cases} Q_{S_{1}} = Q_{D_{1}} \\ Q_{S_{2}} = Q_{D_{2}} \\ Q_{S_{3}} = Q_{D_{3}} \end{cases}$ gọi là hệ phương trình cân bằng cung – cầu.

Lời giải:

a) Mức giá thịt lợn x, thịt bò y và thịt gà z phải thoả mãn các điều kiện:

– Lượng thịt lợn mà người bán chấp thuận bán với giá x bằng lượng thịt lợn mà người mua chấp thuận mua với giá x.

– Lượng thịt bò mà người bán chấp thuận bán với giá y bằng lượng thịt bò mà người mua chấp thuận mua với giá y.

– ượng thịt gà mà người bán chấp thuận bán với giá z bằng lượng thịt gà mà người mua chấp thuận mua với giá z.

b) Hệ phương trình ràng buộc giữa x, y, z để người bán và người mua cùng hài lòng:

$\{\begin{cases} Q_{S_{1}} = Q_{D_{1}} \\ Q_{S_{2}} = Q_{D_{2}} \\ Q_{S_{3}} = Q_{D_{3}} \end{cases}$

Luyện tập 2 trang 20 Chuyên đề Toán 10: Xét thị trường hải sản gồm ba mặt hàng là cua, tôm và cá. Kí hiệu x, y, z lần lượt là giá 1 kg cua, 1 kg tôm và 1 kg cá (đơn vị nghìn đồng). Ki hiệu Q_S1, Q_S2 và Qs₃ là lượng cua, tôm và cá mà người bán bằng lòng bán với giá x, y và z. Kí hiệu Q_D1, Q_D2 và Q_D3 tương ứng là lượng cua, tôm và cá mà người mua bằng lòng mua với giá x, y và z. Cụ thể các hàm này được cho bởi

$\{\begin{cases} Q_{S_{1}} = - 300 + x; Q_{D_{1}} = 1300 - 3 x + 4 y - z; \\ Q_{S_{2}} = - 450 + 3 y; Q_{D_{2}} = 1150 + 2 x - 5 y - z; \\ Q_{S_{3}} = - 400 + 2 z; Q_{D_{3}} = 900 - 2 x - 3 y + 4 z \end{cases}$

Tìm mức giá cua, tôm và cá mà người bán và người mua cùng hài lòng.

Lời giải:

Hệ phương trình cân bằng cung – cầu là:

$\{\begin{cases} - 300 + x = 1300 - 3 x + 4 y - z \\ - 450 + 3 y = 1150 + 2 x - 5 y - z \\ - 400 + 2 z = 900 - 2 x - 3 y + 4 z \end{cases}$ .

Thu gọn ta được hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 4 x - 4 y + z = 1600 \\ 2 x - 8 y - z = - 1600 \\ 2 x + 3 y - 2 z = 1300 \end{cases}$ .

Giải hệ này ta được x = 600, y = 300, z = 400.

Vậy mức giá cua, tôm và cá mà người bán và người mua cùng hài lòng lần lượt là 600 nghìn đồng 1 kg, 300 nghìn đồng 1 kg và 400 nghìn đồng 1 kg.

Bài tập (trang 20, 21)

Bài 1.7 trang 20 Chuyên đề Toán 10: Cho hàm cung và hàm cầu của ba mặt hàng như sau:

$\{\begin{cases} Q_{S_{1}} = - 4 + x; Q_{D_{1}} = 70 - x - 2 y - 6 z; \\ Q_{S_{2}} = - 3 + y; Q_{D_{2}} = 76 - 3 x - y - 4 z; \\ Q_{S_{3}} = - 6 + 3 z; Q_{D_{3}} = 70 - 2 x - 3 y - 2 z . \end{cases}$

Hãy xác định giá cân bằng cung – cầu của ba mặt hàng.

Lời giải:

Hệ phương trình cân bằng cung – cầu là:

$\{\begin{cases} - 4 + x = 70 - x - 2 y - 6 z \\ - 3 + y = 76 - 3 x - y - 4 z \\ - 6 + 3 z = 70 - 2 x - 3 y - 2 z \end{cases}$

Thu gọn ta được hệ phương trình:

$\{\begin{cases} x + y + 3 z = 37 \\ 3 x + 2 y + 4 z = 79 \\ 2 x + 3 y + 5 z = 76 \end{cases}$

Giải hệ này ta được x = 15, y = 7, z = 5.

Bài 1.8 trang 20 Chuyên đề Toán 10: Em Hà so sánh tuổi của mình với chị Mai và anh Nam. Tuổi của anh Nam gấp ba lần tuổi của em Hà. Cách đây bảy năm tuổi của chị Mai bằng nửa số tuổi của anh Nam. Ba năm nữa tuổi của anh Nam bằng tổng số tuổi của chị Mai và em Hà. Hỏi tuổi của mỗi người là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi tuổi hiện nay của em Hà, chị Mai, anh Nam lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài ta có:

– Tuổi của anh Nam gấp ba lần tuổi của em Hà, suy ra z = 3x hay 3x – z = 0 (1).

– Cách đây bảy năm tuổi của chị Mai bằng nửa số tuổi của anh Nam, suy ra (y – 7) = $\frac{1}{2}$ (z – 7) hay 2y – z = 7 (2).

– Ba năm nữa tuổi của anh Nam bằng tổng số tuổi của chị Mai và em Hà, suy ra (z + 3) = (x + 3) + (y + 3) hay x + y – z = –3 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 3 x - z = 0 \\ 2 y - z = 7 \\ x + y - z = - 3 \end{cases}$

Giải hệ này ta được x = 13, y = 23, z = 39.

Vậy tuổi hiện nay của em Hà, chị Mai, anh Nam lần lượt là 13, 23, 39.

Bài 1.9 trang 20 Chuyên đề Toán 10: Bác Việt có 330740 nghìn đồng, bác chia số tiền này thành ba phần và đem đầu tư vào ba hình thức : Phần thứ nhất bác đầu tư vào chứng khoán với lãi thu được 4% một năm; phần thứ hai bác mua vàng thu lãi 5% một năm và phần thứ ba bác gửi tiết kiệm với lăii suất 6% một năm. Sau một năm, kể cả gốc và lãi bác thu được ba món tiền bằng nhau. Hỏi tổng số tiền cả gốc và lãi bác thu được sau một năm là bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi số tiền bác Việt đầu tư vào chứng khoán, mua vàng, gửi tiết kiệm lần lượt là x, y, z (nghìn đồng).

Theo đề bài ta có:

– Tổng số tiền là 330740 nghìn đồng, suy ra x + y + z = 330740 (1).

– Số tiền kể cả gốc lẫn lãi bác Việt thu được từ ba khoản là x + 4%x, y + 5%y, z + 6%z. Vì bác thu được ba món tiền bằng nhau nên x + 4%x = y + 5%y = z + 6%z

⇒ 104%x = 105%y = 106%z

⇒ 104x – 105y = 0 (2) và 105y – 106z = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} x + y + z = 330740 \\ 104 x - 105 y = 0 \\ 105 y - 106 z = 0 \end{cases} .$

Giải hệ này ta được x = 111300, y = 110240, z = 109200.

Vậy số tiền bác Việt đầu tư vào chứng khoán, mua vàng, gửi tiết kiệm lần lượt là 111300 nghìn đồng, 110240 nghìn đồng, 109200 nghìn đồng.

Bài 1.10 trang 20 Chuyên đề Toán 10: Một tuyến cáp treo có ba loại vé sau đây: vé đi lên giá 250 nghìn đồng; vé đi xuống giá 200 nghìn đồng và vé hai chiều giá 400 nghìn đồng. Một ngày nhà ga cáp treo thu được tổng số tiền là 251 triệu đồng. Tìm số vé bán ra mỗi loại, biết rằng nhân viên quản lí cáp treo đếm được 680 lượt người đi lên và 520 lượt người đi xuống.

Lời giải:

Gọi số vé bán ra loại đi lên, đi xuống và hai chiều lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài ta có:

– Nhà ga cáp treo thu được tổng số tiền là 251 triệu đồng, suy ra 250000x + 200000y + 400000z = 251000000 hay 250x + 200y + 400z = 251000 (1).

– Có 680 lượt người đi lên, suy ra x + z = 680 (2).

– Có 520 lượt người đi xuống, suy ra y + z = 520 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 250 x + 200 y + 400 z = 251000 \\ x + z = 680 \\ y + z = 520 \end{cases} .$

Giải hệ này ta được x = 220, y = 40, z = 460.

Vậy số vé bán ra loại đi lên, đi xuống và hai chiều lần lượt là 220, 60, 460.

Bài 1.11 trang 20 Chuyên đề Toán 10: Ba lớp 10A, 10B, 10C của một trường trung học phồ thông gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Tính trung bình, mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây xoan và 4 cây bạch đàn; mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây xoan và 5 cây bạch đàn; mối em lớp 10 C trồng được 6 cây xoan. Cả ba lớp trồng được tổng cộng 476 cây xoan và 375 cây bạch đàn. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu em?

Lời giải:

Gọi số học sinh ba lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài ta có:

– Ba lớp có 128 học sinh, suy ra x + y + z = 128 (1).

– Cả ba lớp trồng được tổng cộng 476 cây xoan, suy ra 3x + 2y + 6z = 476 (2).

Cả ba lớp trồng được tổng cộng 375 cây bạch đàn, suy ra 4x + 5y = 375 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} x + y + z = 128 \\ 3 x + 2 y + 6 z = 476 \\ 4 x + 5 y = 375 \end{cases}$ .

Giải hệ này ta được x = 40, y = 43, z = 45.

Vậy số học sinh ba lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là 40, 43, 45 học sinh.

Bài 1.12 trang 20 Chuyên đề Toán 10: Cân bằng phương trình phản ứng hoá học đốt cháy methane trong oxygen

CH₄ + O₂ → CO₂ + H₂O.

Lời giải:

Giả sử x, y, z, t là bốn số nguyên dương thoả mãn cân bằng phản ứng:

xCH₄ + yO₂ → zCO₂ + tH₂O.

Vì số nguyên tử C, H, O ở hai vế bằng nhau nên ta có hệ:

$\{\begin{cases} x = z \\ 4 x = 2 t \\ 2 y = 2 z + t \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{x}{t} = \frac{z}{t} \\ 2 \frac{x}{t} = 1 \\ 2 \frac{y}{t} = 2 \frac{z}{t} + 1 \end{cases}$ .

Đặt X = $\frac{x}{t}$ , Y = $\frac{y}{t}$ , Z = $\frac{z}{t}$ ta được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:

$\{\begin{cases} X = Z \\ 2 X = 1 \\ 2 Y = 2 Z + 1 \end{cases}$ hay $\{\begin{cases} X - Z = 0 \\ 2 X - 1 = 0 \\ 2 Y - 2 Z - 1 = 0 \end{cases}$ .

Giải hệ này ta được X = $\frac{1}{2}$ , Y = 1, Z = $\frac{1}{2}$ . Từ đây suy ra x = $\frac{1}{2}$ t, y = t, z = $\frac{1}{2}$ t.

Chọn t = 2 ta được x = 1, y = 2, z = 1. Từ đó ta được phương trình cân bằng:

CH₄ + 2O₂ → CO₂ + 2H₂O.

Bài 1.13 trang 20 Chuyên đề Toán 10: Cho đoạn mạch như Hình 1.2. Gọi I là cường độ dòng điện của mạch chính, I₁, I₂ và I₃ là cường độ dòng điện mạch rẽ. Cho biết R₁ = 6 Ω, R₂ = 8 Ω, I = 3 A và I₃ = 2 A. Tính điện trở R₃ và hiệu điện thế U giữa hai đầu đoạn mạch.

Bài 1.13 trang 20 Chuyên đề Toán 10

Lời giải:

Từ sơ đồ mạch điện, ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} I_{1} + I_{3} = I \\ \begin{array}{l} R_{1} I_{1} + R_{2} I_{2} = U \\ R_{3} I_{3} = U \end{array} \end{cases}$ hay $\{\begin{cases} I_{1} + 2 = 3 \\ \begin{array}{l} 6 I_{1} + 8 I_{2} = U \\ 2 R_{3} = U \end{array} \end{cases}$ (*).

Lại có I₁ = I₂ nên (*) tương đương với

$\{\begin{cases} I_{1} + 2 = 3 \\ \begin{array}{l} 14 I_{1} = U \\ 2 R_{3} = U \end{array} \end{cases}$ hay $\{\begin{cases} I_{1} = 1 \\ \begin{array}{l} 14 I_{1} - U = 0 \\ 2 R_{3} - U = 0 \end{array} \end{cases}$ .

Giải hệ này ta được I₁ = 1A , R₂ = 7 $Ω$ và U = 14 V.

Bài 1.14 trang 21 Chuyên đề Toán 10: Mỗi giai đoạn phát triển của thực vật cần phân bón với tỉ lệ N, P, K nhất định. Bác An làm vườn muốn bón phân cho một cây cảnh có tỉ lệ N : P : K cân bằng nhau. Bác An có ba bao phân bón :

Bao 1 có tỉ lệ N : P : K là 12 : 7 : 12.

Bao 2 có tỉ lệ N : P : K là 6 : 30 : 25.

Bao 3 có tỉ lệ N : P : K là 30 : 16 : 11.

Hỏi phải trộn ba loại phân bón trên với tỉ lệ bao nhiêu để có hỗn hợp phân bón với tỉ lệ N : P : K là 15 : 15 : 15?

Chú ý rằng trên mỗi bao phân người ta thường viết một tỉ lệ N : P : K nhất định. Chẳng hạn trên bao phân 1 ghi tỉ lệ N : P : K là 12 : 7 : 12 nghĩa là hàm lượng đạm N (nitơ) chiếm 12%, lân P (tức là P₂O₅ ) chiếm 7% và kali K (tức là K₂O ) chiếm 12%, còn các loại khác chiếm 100% – (12% + 7% + 12%) = 69%.

Lời giải:

Giả sử bác An cần trộn 1 kg phân bón với khối lượng ba loại phân bón này lần lượt là x, y, z.

Khi đó, tổng khối lượng phân đạm N trong 1 kg này là: 12%x + 6%y + 30%z;

tổng khối lượng phân lân P trong 1 kg này là: 7%x + 30%y + 16%z;

tổng khối lượng phân kali K trong 1 kg này là: 12%x + 25%y + 11%z.

Vì hỗn hợp phân bón mới có tỉ lệ N : P : K là 15 : 15 : 15 nên ta có:

12%x + 6%y + 30%z = 15% . 1 (kg);

7%x + 30%y + 16%z = 15% . 1 (kg);

12%x + 25%y + 11%z = 15% . 1 (kg)

hay $\{\begin{cases} 12 x + 6 y + 30 z = 15 \\ 7 x + 30 y + 16 z = 15 \\ 12 x + 25 y + 11 z = 15 \end{cases}$ .

Giải hệ phương trình này ta được x = 0,5; y = 0,25; z = 0,25.

Vậy tỉ lệ ba loại phân trong đề bài là 0,5 : 0,25 : 0,25 hay 2 : 1 : 1.

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy