Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Hypebol | Cánh diều

Giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Hypebol

I. Tính đối xứng của hypebol

Hoạt động 1 trang 49 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó a > 0, b > 0 (Hình 13).

a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm F₁, F₂ của hypebol (H).

b) Hypebol (H) cắt trục Ox tại các điểm A₁, A₂. Tìm độ dài các đoạn thẳng OA₁ và OA₂.

Lời giải:

a) Toạ độ hai tiêu điểm F₁, F₂ của hypebol (H) là: F₁(–c; 0) và F₂(c; 0) với $c=\sqrt{a^2+b^2}.$

b)

+) Vì A₁ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₁ có dạng $\left(x_{A_1};0\right).$

Mà A₁ thuộc (H) nên 

$\frac{x_{{}_{A_1}}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_{{}_{A_1}}^2=a^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_{A_1}=a\\ x_{A_1}=-a\end{array}\right..$

Ta thấy A₁ nằm bên trái điểm O trên trục Ox nên $x_{A_1}<0\Rightarrow$ $x_{A_1}=-a\Rightarrow$  A₁(–a; 0). Khi đó OA₁ = $\sqrt{{\left(-a-0\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}$$=\sqrt{{\left(-a\right)}^2}=a$(vì a > 0).

Vậy  OA₁ = a.

+) Vì A₂ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₂ có dạng $\left(x_{A_2};0\right).$

Mà A₂ thuộc (H) nên

$\frac{x_{{}_{A_2}}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_{{}_{A_2}}^2=a^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_{A_2}=a\\ x_{A_2}=-a\end{array}\right..$

Ta thấy A₂ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $x_{A_2}>0\Rightarrow$ $x_{A_2}=a\Rightarrow$  A₂(a; 0). Khi đó OA₂ = $\sqrt{{\left(a-0\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\sqrt{a^2}=a$(vì a > 0).

Vậy  OA₂ = a.

Hoạt động 2 trang 49 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol (H) có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó a > 0, b > 0 (Hình 14).

Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol (H). Gọi M₁, M₂, M₃ lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc O. Các điểm M₁, M₂, M₃ có nằm trên hypebol (H) hay không? Tại sao?

Lời giải:

Theo đề bài, M(x; y) nằm trên (H) nên ta có:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$

+) M₁ là điểm đối xứng của M qua trục Ox, suy ra M₁ có toạ độ là (x; –y).

Ta có $\frac{x^2}{a^2}-\frac{{\left(-y\right)}^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$ Do đó M₁ cũng thuộc (H).

+) M₂ là điểm đối xứng của M qua trục Oy, suy ra M₂ có toạ độ là (–x; y).

Ta có $\frac{{\left(-x\right)}^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$ Do đó M₂ cũng thuộc (H).

+) M₃ là điểm đối xứng của M qua gốc O, suy ra M₃ có toạ độ là (–x; –y).

Ta có $\frac{{\left(-x\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(-y\right)}^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$ Do đó M₃ cũng thuộc (H).

II. Hình chữ nhật cơ sở

Hoạt động 3 trang 50 Chuyên đề Toán 10: a) Quan sát điểm M (x; y) nằm trên hypebol (H) (Hình 15) và chứng tỏ rằng x ≤ –a hoặc x ≥ a.

b) Viết phương trình hai đường thẳng PR và QS.

Lời giải:

a) Nếu điểm M(x; y) thuộc (H) thì $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$

Vì $\frac{y^2}{b^2}\ge 0$ nên $\frac{x^2}{a^2}\ge 1\Rightarrow x^2\ge a^2\Rightarrow$ x ≤ –a hoặc x ≥ a.

b)

+) Có P(–a; b), R(a; –b) $\Rightarrow \overrightarrow{PR}=\left(a-\left(-a\right);-b-b\right)=\left(2a;-2b\right).$

Do đó ta chọn (b; a) là một vectơ pháp tuyến của PR.

Khi đó phương trình đường thẳng PR là: b(x + a) + a(y – b) = 0 hay bx + ay = 0 hay $y=-\frac{b}{a}x.$

+) Có Q(a; b), S(–a; –b) $\Rightarrow \overrightarrow{QS}=\left(-a-a;-b-b\right)=\left(-2a;-2b\right).$

Do đó ta chọn (–b; a) là một vectơ pháp tuyến của QS.

Khi đó phương trình đường thẳng QS là: –b(x – a) + a(y – b) = 0 hay –bx + ay = 0 hay $y=\frac{b}{a}x.$

Luyện tập 1 trang 51 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là A₂(5; 0) và một đường tiệm cận là y = –3x.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một đỉnh là A₂(5; 0) $\Rightarrow$ a = 5.

+) Hypebol có một đường tiệm cận là y = –3x $\Rightarrow$$\frac{b}{a}=3\Rightarrow$b = 3a = 15.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{{15}^2}=1$ hay $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{225}=1.$

III. Tâm sai của hypebol

Hoạt động 4 trang 51 Chuyên đề Toán 10: Nêu định nghĩa tâm sai của elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với a > b > 0.

Lời giải:

Tâm sai e của elip có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với a > b > 0 là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip, tức là

$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}.$

Luyện tập 2 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết độ dài trục ảo bằng 6 và tâm sai bằng $\frac{5}{4}.$

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có độ dài trục ảo bằng 6 $\Rightarrow$ 2b = 6 $\Rightarrow$ b = 3 $\Rightarrow$ b² = 9.

+) Hypebol có tâm sai bằng $\frac{5}{4}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{a^2+3^2}}{a}=\frac{5}{4}\Rightarrow 16\left(a^2+3^2\right)=25a^2\Rightarrow a^2=16.$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$

IV. Bán kính qua tiêu của một điểm thuộc hypebol

Hoạt động 5 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng, xét đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho |MF₁ – MF₂| = 2a, ở đó F₁F₂ = 2c với c > a > 0. Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc là trung điểm của đoạn thẳng F₁F₂. Trục Oy là đường trung trực của F₁F₂ và F₂ nằm trên tia Ox (Hình 16). Khi đó F₁(c; 0), F₂(c; 0) là các tiêu điểm của (H).

Với mỗi điểm M(x; y) thuộc đường hypebol (H), chứng minh:

a) MF₁² = x² + 2cx + c² + y²;

b) MF₂² = x² – 2cx + c² + y²;

c) MF₁² – MF₂² = 4cx.

Lời giải:

a) MF₁² = [x – (– c)]² + (y – 0)² = (x + c)² + y² = x² + 2cx + c² + y².

b) MF₂² = (x – c)² + (y – 0)² = x² – 2cx + c² + y².

c) MF₁² – MF₂² = (x² + 2cx + c² + y²) – (x² – 2cx + c² + y²) = 4cx.

Hoạt động 6 trang 52 Chuyên đề Toán 10: Với mỗi điểm M thuộc hypebol (H), từ hai đẳng thức MF₁² – MF₂² = 4cx và |MF₁ – MF₂| = 2a, chứng minh:

Lời giải:

+) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trục Oy thì MF₁ > MF₂. Khi đó:

MF₁ – MF₂ = |MF₁ – MF₂| = 2a.

Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx $\Rightarrow$ (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx $\Rightarrow$ (MF₁ + MF₂)2a = 4cx

$\Rightarrow$ MF₁ + MF₂ = $\frac{4cx}{2a}$ = $\frac{2c}{a}$x. Khi đó:

+) Nếu điểm M thuộc nhánh bên phải trái Oy thì MF₁ < MF₂. Khi đó:

MF₁ – MF₂ = –|MF₁ – MF₂| = –2a.

Ta có: MF₁² – MF₂² = 4cx $\Rightarrow$ (MF₁ + MF₂)(MF₁ – MF₂) = 4cx $\Rightarrow$ (MF₁ + MF₂)(–2a) = 4cx

$\Rightarrow$ MF₁ + MF₂ = $\frac{4cx}{2a}$ = –x. Khi đó:

Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có

Luyện tập 3 trang 53 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1.$ Giả sử M là điểm thuộc hypebol có hoành độ là 15. Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M.

Lời giải:

Có a² = 144, b² = 25

$\Rightarrow a=12,b=5,c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{144+25}=13.$

Độ dài các bán kính qua tiêu của M là:

V. Đường chuẩn của hypebol

Hoạt động 7 trang 53 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với a > 0, b > 0. Xét đường thẳng ${\Delta }_1:x=-\frac{a}{e}$.

Với mỗi điểm M (x₀; y₀) ∈ (H) (Hình 17), tính:

a) Khoảng cách d (M, Δ₁) từ điểm M(x₀; y₀) đến đường thẳng Δ₁.

b) Tỉ số $\frac{{\mathrm{MF}}_1}{d(M,{\Delta }_1)}$.

Lời giải:

a) Ta viết lại phương trình đường thẳng Δ₁ ở dạng Δ₁: x + 0 . y + $\frac{a}{e}$ = 0.

Với mỗi điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol, ta có:

b) Từ a) ta suy ra $\frac{{\mathrm{MF}}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}=e$

Luyện tập 4 trang 54 Chuyên đề Toán 10: Tìm các tiêu điểm và đường chuẩn của hypebol có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{11}-\frac{y^2}{25}=1.$

Lời giải:

Ta có: a² = 11, b² = 25

Do đó hai tiêu điểm là F₁(–6; 0) và F₂(6; 0)

Vậy phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁(–6; 0) là ${\Delta }_1:x=-\frac{11}{6}.$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂(6; 0) là ${\Delta }_2:x=\frac{11}{6}.$

VI. Cách vẽ đường hypebol

Hoạt động 8 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Vẽ hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

Lời giải:

Để vẽ hypebol (H), ta có thể làm như sau:

Ta thấy a = 3, b = 4. (H) có các đỉnh là A₁(– 3; 0), A₂(3; 0).

Bước 1. Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = –3, x = 3, y = – 4, y = 4.

Bước 2. Vẽ hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở.

Tim một số điểm cụ thể thuộc hypebol, chẳng hạn ta thấy điểm $M\left(5;\frac{16}{3}\right)$ thuộc (H). Do đó các điểm $M_1\left(5;-\frac{16}{3}\right),M_2\left(-5;\frac{16}{3}\right),M_3\left(-5;-\frac{16}{3}\right)$ thuộc (H).

Bước 3. Vẽ đường hypebol bên ngoài hình chữ nhật cơ sở; nhánh bên trái tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm A₁(– 3; 0) và đi qua M₂, M₃; nhánh bên phải tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm A₂(3; 0) và đi qua M, M₁. Vẽ các điểm thuộc hypebol càng xa gốc toạ độ thi càng sát với đường tiệm cận. Hypebol nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng và hai trục toạ độ là hai trục đối xứng.

Luyện tập 5 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol (H) có một đỉnh là A₁(–4; 0) và tiêu cự là 10. Viết phương trình chính tắc và vẽ hypebol (H).

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một đỉnh là A₁(–4; 0) $\Rightarrow$ a = 4.

+) Hypebol có tiêu cự là 10 $\Rightarrow$ 2c = 10 $\Rightarrow$ c = 5 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 5² – 4² = 9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$

Bài tập (trang 56)

Bài 1 trang 56 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết:

a) Tiêu điểm là F₁(– 3; 0) và đỉnh là A₂ (2; 0).

b) Đỉnh là A₂(4; 0) và tiêu cự bằng 10.

c) Tiêu điểm F₂ (4; 0) và phương trình một đường tiệm cận là $y=-\frac{\sqrt{7}}{3}x$.

Lời giải:

a)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một tiêu điểm là F₁(–3; 0) $\Rightarrow$ c = 3.

+) Hypebol có một đỉnh là A₂(2; 0) $\Rightarrow$ a = 2 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 3² – 2² = 5.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là hay $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1.$

b)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một đỉnh là A₂(4; 0) $\Rightarrow$ a = 4.

+) Hypebol có tiêu cự là 10 ⇒ 2c = 10 $\Rightarrow$ c = 5 $\Rightarrow$ b² = c² – a² = 5² – 4² = 9.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1.$

c)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

+) Hypebol có một tiêu điểm là F₂(4; 0) $\Rightarrow$ c = 4.

+) Hypebol có một đường tiệm cận là $y=-\frac{\sqrt{7}}{3}x$ $\Rightarrow$$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{7}}{3}$

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1.$

Bài 2 trang 56 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$.

a) Xác định toạ độ các đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục thực của hypebol.

b) Xác định phương trình các đường tiệm cận của hypebol và vẽ hypebol trên.

Lời giải:

a) Ta có: a = 2, b = 1, c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}.$

Toạ độ các đỉnh của hypebol là: A₁(–2; 0), A₂(2; 0).

Các tiêu điểm của hypebol là: F₁ $\left(-\sqrt{5};0\right),$ F₂ $\left(\sqrt{5};0\right),$

Tiêu cự của hypebol là: 2c = $2\sqrt{5}.$

Độ dài trục thực của hypebol là: 2a = 4.

b) Phương trình các đường tiệm cận của hypebol là: $y=-\frac{b}{a}x=-\frac{1}{2}x$ và $y=\frac{b}{a}x=\frac{1}{2}x.$

Vẽ hypebol:

Bài 3 trang 56 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol có phương trình chính tắc là x² – y² = 1. Chứng minh rằng hai đường tiệm cận của hypebol vuông góc với nhau.

Lời giải:

Ta có: a = 1, b = 1. Suy ra:

Phương trình hai đường tiệm cận của hypebol là: $d_1:y=-\frac{b}{a}x=-x$ và $d_2:y=\frac{b}{a}x=x.$

d₁: y = – x hay x + y = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}\left(1;1\right).$

d₁: y = x hay x – y = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}\left(1;-1\right).$

Có $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=1.1+1.\left(-1\right)=0.$ Suy ra hai vectơ này vuông góc với nhau, do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ cũng vuông góc với nhau.

Bài 4 trang 56 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$. Lập phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H) và các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E).

Lời giải:

Hypebol (H) có a = 8, b = 6 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=10$ và một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M(8; 6).

Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

+) (E) có các tiêu điểm là các tiêu điểm của (H)

$\Rightarrow c=10\Rightarrow a^2-b^2=c^2=100\left(1\right).$

+) Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của (H) đều nằm trên (E)

Thế (1) vào (2) ta được:

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^2}{160}+\frac{y^2}{60}=1.$

Bài 5 trang 56 Chuyên đề Toán 10: Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy bay hoặc tàu thuỷ hoạt động trên biển. Trong hệ thống đó có hai đài vô tuyến đặt lần lượt tại địa điểm A và địa điểm B, khoảng cách AB = 650 km (Hình 18). Giả sử có một con tàu chuyển động trên biển với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm.

Khi đang ở vị trí P, máy thu tín hiệu trên con tàu chuyển đổi chênh lệch thời gian nhận các tín hiệu từ A và B thành hiệu khoảng cách |PA – PB|. Giả sử thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s. Vận tốc di chuyển của tín hiệu là 3 . 10⁸ m/s.

a) Lập phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu.

b) Chứng tỏ rằng tại mọi thời điểm trên quỹ đạo chuyển động thì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s.

Lời giải:

a) Vì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s nên tại thời điểm đó PB – PA = (3 . 10⁸) . 0,0012 = 360000 (m) = 360 (km).

Vì con tàu chuyển động với quỹ đạo là hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm nên |PA – PB| = 360 (km) với mọi vị trí của P.

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của AB và trục Ox trùng với AB, đơn vị trên hai trục là km thì hypebol này có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0).

Vì |PA – PB| = 360 nên 2a = 360, suy ra a =180.

Theo đề bài, AB = 650, suy ra 2c = 650, suy ra c = 325.

b² = c² – a² = 325² – 180² = 73225.

Vậy phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu là $\frac{x^2}{32400}-\frac{y^2}{73225}=1.$

b) Vì con tàu chỉ chuyển động ở nhánh bên phải trục Oy của hypebol nên ta PB < PA với mọi vị trí của P. Do đó tàu luôn nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A.

Gọi t₁ là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ A, t₂ là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ B thì $t_1=\frac{\mathrm{PA}}{v},t_2=\frac{\mathrm{PB}}{v}$ với v là vận tốc di chuyển của tín hiệu.

Khi đó, ta có:

Vậy thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s.