Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
Chuyên đề phương trình và bất phương trình chứa căn
Chuyên đề 19: phươnng trình & bất phương trình chứa căn thức
I. Các kiến thức cơ bản
Người ta hay dùng các phương trình và bất phương trình chứa căn thức cơ bản sau đây:
\(*\sqrt {f(x)} = g(x)(1).\) Ta có \((1) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(x) \ge 0}\\{g(x) \ge 0}\\{f(x) = {g^2}(x)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g(x) \ge 0}\\{f(x) = {g^2}(x)}\end{array}} \right.} \right.\)
\(\begin{array}{l}*\sqrt {f(x)} < g(x)(2).{\rm{ Ta co }}(2) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(x) \ge 0}\\{g(x) \ge 0}\\{f(x) < {g^2}(x)}\end{array}} \right.\\*\sqrt {f(x)} > g(x)(3).{\rm{ Ta co (3) }} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(x) \ge 0}\\{g(x) < 0}\\{\{ g(x) \ge 0}\\{f(x) > {g^2}(x)}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\end{array}\)
II. Các dạng toán cơ bản
Loại 1. Phương trình và bất phương trình chứa căn thức cơ bản
Thí dụ 1:
Giải các phương trình sau:
\(1/\sqrt {6 – 4x + {x^2}} = x + 4\)
2/ \(\sqrt {x + 5} – \sqrt {x – 3} = 2\)
\(3/\sqrt {3x + 4} + \sqrt {x + 4} = 2\sqrt x \)
Bài giải:
1/ Xét phương trình: \(\sqrt {6 – 4x + {x^2}} = x + 4\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6 – 4x + {x^2} \ge 0}\\{x + 4 \ge 0}\\{6 – 4x + {x^2} = {{(x + 4)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge – 4}\\{6 – 4x + {x^2} = {x^2} + 8x + 16}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge – 4}\\{x = – \frac{5}{6}}\end{array} \Leftrightarrow x = – \frac{5}{6}} \right.\)
2/ Xét phương trình: \(\sqrt {x + 5} – \sqrt {x – 3} = 2\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 5} = 2 + \sqrt {x – 3} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 5 \ge 0}\\{x – 3 \ge 0}\\{x + 5 = 4 + x – 3 + 4\sqrt {x – 3} }\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 3}\\{1 = \sqrt {x – 3} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 3}\\{x – 3 = 1}\end{array} \Leftrightarrow x = 4} \right.} \right.\)
3. Xét phương trình \(3/\sqrt {3x + 4} + \sqrt {x + 4} = 2\sqrt x \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 4 \ge 0}\\{x + 4 \ge 0}\\{x \ge 0}\\{3x + 4 + x + 4 + 2\sqrt {(3x + 4)(x + 4)} = 4x}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0(1)}\\{4 + \sqrt {(3x + 4)(x + 4)} = 0(2)}\end{array}} \right.\)
Rõ ràng \(VT(2) > 0\forall x \ge 0\). Vậy hệ (1) (2) vô nghiệm. Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Thí dụ 2:
Giải các phương trình sau:
1/ \(3{x^2} + 15x + 2\sqrt {{x^2} + 5x + 1} = 2\)
2/ \(\sqrt {{x^2} + x + 4} + \sqrt {{x^2} + x + 1} = \sqrt {2{x^2} + 2x + 9} \)
3/\(\frac{4}{{x + \sqrt {{x^2} + x} }} – \frac{1}{{x – \sqrt {{x^2} + x} }} = \frac{3}{x}\)
4/\(\sqrt {x + 2\sqrt {x – 1} } + \sqrt {x – 2\sqrt {x – 1} } = 2\)
5/ \(\sqrt {x + 3 – 4\sqrt {x – 1} } + \sqrt {x + 8 – 6\sqrt {x – 1} } = 1\)
6/\(\sqrt[3]{{x + 1}} – \sqrt[3]{{x – 1}} = \sqrt[6]{{{x^2} – 1}}\)
Bài giải:
1/ Xét phương trình: \(3{x^2} + 15x + 2\sqrt {{x^2} + 5x + 1} = 2\) (1)
Đặt \(y = {x^2} + 5x\), khi đó (1) có dạng: \(3y + 2\sqrt {y + 1} = 2 \Leftrightarrow 2\sqrt {y + 1} = 2 – 3y\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y + 1 \ge 0}\\{2 – 3y \ge 0}\\{4(y + 1) = {{(2 – 3y)}^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \le \frac{2}{3}}\\{4y + 4 = 4 – 12y + 9{y^2}}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \le \frac{2}{3}}\\{9{y^2} – 16y = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \le \frac{2}{3}}\\{y = 0}\\{y = \frac{{16}}{9}}\end{array} \Leftrightarrow y = 0} \right.} \right.\)
Từ đó trớ về biển cũ, ta có: \({x^2} + 5x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = – 5}\end{array}} \right.\)
2/ Xét phương trình: \(\sqrt {{x^2} + x + 4} + \sqrt {{x^2} + x + 1} = \sqrt {2{x^2} + 2x + 9} \) (1)
Đặt \(y = {x^2} + x + 1\), khi đó (1) có dạng:
\(\begin{array}{l}\sqrt {y + 3} + \sqrt y = \sqrt {2y + 7} \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \ge 0}\\{y + 3 + y + 2\sqrt {y(y + 3)} = 2y + 7}\end{array}} \right.\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \ge 0}\\{\sqrt {y(y + 3)} = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \ge 0}\\{{y^2} + 3y – 4 \ge 0}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \ge 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1}\\{y = – 4}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow y = 1} \right.\)
Từ đó trở về biến cũ, ta có:
\({x^2} + x + 1 = 1 \Leftrightarrow {x^2} + x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = – 1}\end{array}} \right.\)
3/ Xét phương trình: \(\frac{4}{{x + \sqrt {{x^2} + x} }} – \frac{1}{{x – \sqrt {{x^2} + x} }} = \frac{3}{x}\) (1)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{4\left( {\sqrt {{x^2} + x} – x} \right)}}{x} – \frac{{\sqrt {{x^2} + x} + x}}{x} = \frac{3}{x}\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 0}\\{5\sqrt {{x^2} + x} – 3x = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 0}\\{5\sqrt {{x^2} + x} = 3 + 3x}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 0}\\{3x + 3 \ge 0}\\{25\left( {{x^2} + x} \right) = 9{x^2} + 18x + 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 0}\\{x \ge – 1}\\{16{x^2} + 7x – 9 = 0}\end{array}} \right.} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 0}\\{x \ge – 1}\\{16{x^2} + 7x – 9 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 0}\\{x \ge – 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 1}\\{x = \frac{9}{{16}}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = – 1\) và \(x = \frac{9}{{16}}\)
4/ Xét phương trình: \(\sqrt {x + 2\sqrt {x – 1} } + \sqrt {x – 2\sqrt {x – 1} } = 2\) (1)
Ta có \((1) \Leftrightarrow \sqrt {{{(\sqrt {x – 1} + 1)}^2}} + \sqrt {{{(\sqrt {x – 1} – 1)}^2}} = 2\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} + 1 + |\sqrt {x – 1} – 1| = 2\) (2)
– Nếu \(x \ge 2\), khi đó \(\sqrt {x – 1} – 1 \ge 0\), vậy: (2) \( \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} + 1 + \sqrt {x – 1} – 1 = 2 \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} = 1 \Leftrightarrow x = 2\)
– Nếu \(1 \le x < 2\), khi đó \(\sqrt {x – 1} – 1 < 0\), vậy:
(2) \( \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} + 1 + 1 – \sqrt {x – 1} = 2 \Leftrightarrow 2 = 2 \Leftrightarrow 1 \le x < 2\)
Vậy nghiệm cúa phương trình đã cho là \(1 \le x \le 2\)
5/ Xét phương trình: \(\sqrt {x + 3 – 4\sqrt {x – 1} } + \sqrt {x + 8 – 6\sqrt {x – 1} } = 1(1)\)
Ta có: \((1) \Leftrightarrow \sqrt {{{(\sqrt {x – 1} – 2)}^2}} + \sqrt {{{(\sqrt {x – 1} – 3)}^2}} = 1\)
\( \Leftrightarrow |\sqrt {x – 1} – 2| + |\sqrt {x – 1} – 3| = 1\) (2)
– Nếu \(x \ge 10\), khi đó \(\sqrt {x – 1} – 3 \ge 0\), vậy
\((2) \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} – 2 + \sqrt {x – 1} – 3 = 1 \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} = 3 \Leftrightarrow x = 10\)
– Nếu \(x \le 5\), khi đó \(\sqrt {x – 1} – 2 \le 0\), vậy
(2) \( \Leftrightarrow 2 – \sqrt {x – 1} + 3 – \sqrt {x – 1} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} = 2 \Leftrightarrow x = 5\)
– Nếu \(5 < x < 9\), khi đó \(2 < \sqrt {x – 1} < 3\), vậy
( 2\() \Leftrightarrow \sqrt {x – 1} – 2 + 3 – \sqrt {x – 1} = 1 \Leftrightarrow 1 = 1 \Leftrightarrow 5 < x < 9\)
Vậy nghiệm cúa phương trình đã cho là \(5 \le x \le 10\)
6/ Xét phương trình: \(\sqrt[3]{{x + 1}} – \sqrt[3]{{x – 1}} = \sqrt[6]{{{x^2} – 1}}\) (1)
Điều kiện là: \({x^2} – 1 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{x \le – 1}\end{array}} \right.\)
Do nễu \({x_0} \ge 1\) là nghiệm cúa (1) thì \( – {x_0}\) cũng là nghiệm của (1)
Vì thế tạm xét (1) với \(x \ge 1\)
Khi \(x = 1\), thì \({\rm{VP}}(1) = 0;\quad VT(1) \ne 0 \Rightarrow x = 1\) không phải là nghiệm.
Khi \(x > 1\), thi \(\sqrt[6]{{{x^2} – 1}} > 0\)
Vậy \((1) \Leftrightarrow \sqrt[6]{{\frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{{x^2} – 1}}}} – 6\sqrt[6]{{\frac{{{{(x – 1)}^2}}}{{{x^2} – 1}}}} = 1 \Leftrightarrow 6\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x – 1}}} – 6\sqrt[6]{{\frac{{x – 1}}{{x + 1}}}} – 1 = 0\) (2)
Đặt \(y = \frac{6}{{\frac{{x + 1}}{{x – 1}}}} > 0\), thì (2) có dạng:
\(y – \frac{1}{y} – 1 = 0 \Leftrightarrow {y^2} – y – 1 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\) (do y>0)
\( \Leftrightarrow \sqrt[6]{{\frac{{x + 1}}{{x – 1}}}} = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{x – 1}} = {k^6}\) (ở đây \(k = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\) )
\( \Leftrightarrow 1 + \frac{2}{{x – 1}} = {k^6} \Leftrightarrow \frac{2}{{x – 1}} = {k^6} – 1 \Leftrightarrow x = \frac{{{k^6} + 1}}{{{k^6} – 1}}\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \pm \frac{{{k^6} + 1}}{{{k^6} – 1}}\), với \(k = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\)
Thí dụ 3:
Giải các bất phương trình sau:
1/ \(\sqrt {{x^2} + 3x + 3} < 2x + 1\)
\(2/\sqrt {8 + 2x – {x^2}} > 6 – 3x\)
\(3/\sqrt {x + 3} + \sqrt {x + 2} – \sqrt {2x + 4} > 0\)
\(4/\sqrt {3{x^2} + 5x + 7} – \sqrt {3{x^2} + 5x + 2} > 1\)
Bài giải:
1/ Xét bất phương trình \(\sqrt {{x^2} + 3x + 3} < 2x + 1\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 3x + 3 \ge 0}\\{2x + 1 \ge 0}\\{{x^2} + 3x + 3 < {{(2x + 1)}^2}}\end{array}} \right.\)
Do \({x^2} + 3x + 3 > 0\forall x(\) vì \(\Delta = 9 – 12 < 0)\) nên: (1) (2) (3) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge – \frac{1}{2}}\\{3{x^2} + x – 2 > 0}\end{array} \Leftrightarrow x > \frac{2}{3}} \right.\)
2/ Xét bất phương trình \(\sqrt {8 + 2x – {x^2}} > 6 – 3x(1)\)
Ta có (1)
\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 + 2x – {x^2} \ge 0}\\{6 – 3x < 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 + 2x – {x^2} \ge 0}\\{6 – 3x \ge 0}\\{8 + 2x – {x^2} > {{(6 – 3x)}^2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ – 2 \le x \le 4}\\{x > 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 2}\\{5{x^2} – 19x + 14 < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 < x \le 4}\\{1 < x \le 2}\end{array} \Leftrightarrow 1 < x \le 4} \right.\)
3/ Xét bất phương trình \(\sqrt {x + 3} + \sqrt {x + 2} – \sqrt {2x + 4} > 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} + \sqrt {x + 2} > \sqrt {2x + 4} \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge – 2}\\{(x + 3) + (x + 2) + 2\sqrt {(x + 3)(x + 2)} > 2x + 4}\end{array}} \right.\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge – 2}\\{1 + 2\sqrt {(x + 3)(x + 2)} > 0}\end{array} \Leftrightarrow x \ge – 2} \right.\)
4/ Xét bất phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 5x + 7} – \sqrt {3{x^2} + 5x + 2} > 1\)
Đặt \(y = 3{x^2} + 5x + 2\), khi đó từ \((1)\) có \(\sqrt {y + 2} – \sqrt y > 1 \Leftrightarrow \sqrt {y + 2} > 1 + \sqrt y \)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \ge 0}\\{y + 2 > 1 + y + 2\sqrt y }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \ge 0}\\{1 > 2\sqrt y }\end{array} \Leftrightarrow 0 \le y \le \frac{1}{4}} \right.} \right.\)
Trở về biến cũ, ta có hệ sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} + 5x + 2 \ge 0}\\{3{x^2} + 5x + 2 \le \frac{1}{4}}\end{array}} \right.\)
Biểu diễn trên trục sồ ta có:
Từ đó suy ra nghiệm cần tìm là: \( – \frac{7}{6} \le x \le – 1\)
Thí dụ 4:
Giải các bất phương trình sau:
\(1/\frac{{1 – \sqrt {1 – 4{x^2}} }}{x} < 3\)
\(2/\frac{{1 – \sqrt {21 – 4x + {x^2}} }}{{x + 1}} \ge 0\)
\(3/\sqrt {2x + 4} – 2\sqrt {2 – x} > \frac{{12x – 8}}{{\sqrt {9{x^2} + 16} }}\)
Bài giải:
\(1/\) Xét bất phương trình \(\frac{{1 – \sqrt {1 – 4{x^2}} }}{x} < 3(1)\)
Chú ý \(x \ne 0\) và dùng phép nhân liên hợp ta có:
\((1) \Leftrightarrow \left\{ {\frac{{\left( {1 – \sqrt {1 – 4{x^2}} } \right)\left( {1 + \sqrt {1 – 4{x^2}} } \right)}}{{x\left( {1 + \sqrt {1 – 4{x^2}} } \right)}} < 3} \right.\) \(\quad (x \ne 0\)
\(\left[ {x\left( {1 + \sqrt {1 – 4{x^2}} } \right) \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 0}\\{1 + 4{x^2} \ge 0}\end{array} – \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 0}\\{4x – 3 < 3\sqrt {1 – 4{x^2}} }\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{*{20}{l}}{1 – 4{x^2} \ge 0}\\{4x – 3 < 0}\\{x \ne 0}\end{array}} \right.\)
(do \(1 + \sqrt {1 – 4{x^2}} > 0\) khi có nghiệm)
vì hệ \(\left\{ {x \ge \frac{3}{4}} \right.\)
$\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge \frac{3}{4}}\\{0 < x < \frac{6}{{13}}}\end{array}} \right.\)
Chú ý rằng \({x^2} – 4x + 21 > 0\forall x \in R\) (do \({\Delta ^\prime } = 4 – 21 < 0\) )
Vì lẽ đó và do \(1 + \sqrt {21 – 4x + {x^2}} > 0\quad \forall x \in R\), ta có: \(\quad (2) \Leftrightarrow \frac{{ – {x^2} + 4x – 20}}{{x + 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} – 4x + 20}}{{x + 1}} \le 0\) (3)
Lại do \({x^2} – 4x + 20 > 0\quad \forall x \in R\) (do \({\Delta ^\prime } = 4 – 20 < 0\) ), nên \(\quad (3) \Leftrightarrow x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < – 1\)
3/ Xét bẫt phương trình \(\sqrt {2x + 4} – 2\sqrt {2 – x} > \frac{{12x – 8}}{{\sqrt {9{x^2} + 16} }}\) (1)
Thực hiện phép nhân liên hợp ta có: \(\frac{{(2x + 4) – 4(2 – x)}}{{\sqrt {2x + 4} + 2\sqrt {2 – x} }} > \frac{{2(6x – 4)}}{{\sqrt {9{x^2} + 16} }}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{6x – 4}}{{\sqrt {2x + 4} + 2\sqrt {2 – x} }} > \frac{{2(6x – 4)}}{{\sqrt {9{x^2} + 16} }} \Leftrightarrow (3x – 2)\left[ {\sqrt {9{x^2} + 16} – 2(\sqrt {2x + 4} + 2\sqrt {2 – x} )} \right] > 0\)
(lại nhân liên hợp lần thứ hai)
Troạng 3 thí dụ trên chúng ta đều sử dụng phương pháp nhân liên hợp đẽ đơn giản quá trình giải.
Thí du 5:
Giải các bất phương trình sau:
1/ \(\sqrt {5 + x} – \sqrt { – x – 3} < – 1 + \sqrt {(5 + x)( – x – 3)} \)
\(2/\sqrt[3]{{2 – x}} + \sqrt {x – 1} > 1\)
3/ \(\sqrt {{x^2} – 8x + 15} + \sqrt {{x^2} + 2x – 15} > \sqrt {4{x^2} – 18x + 18} \)
Bài giải:
1/ Xét bẫt phương trình \(\sqrt {5 + x} – \sqrt { – x – 3} < – 1 + \sqrt {(5 + x)( – x – 3)} \) (1)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {5 + x} – \sqrt { – x – 3} + 1 – \sqrt {(5 + x)( – x – 3)} < 0\\ \Leftrightarrow (\sqrt {5 + x} + 1)(1 – \sqrt { – x – 3} ) < 0\;\left( 2 \right)\end{array}\)
Do \(5 + x \ge 0\) khi \(x \ge – 5\) (lúc đó \(1 + \sqrt {5 + x} > 0\) ), nên
(2) \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge – 5}\\{1 – \sqrt { – 3 – x} < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge – 5}\\{\sqrt { – 3 – x} > 1}\end{array}} \right.} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge – 5}\\{ – 3 – x > 1}\end{array} \Leftrightarrow – 5 \le x < – 4} \right.\].
Đó là nghiệm của (1)
2/ Xét bẫt phương trình: \(\sqrt[3]{{2 – x}} + \sqrt {x – 1} > 1\) (1)
Điều kiện \(x \ge 1\). Đặt \(y = \sqrt[3]{{2 – x}} \Leftrightarrow {y^3} = 2 – x \Leftrightarrow x = 2 – {y^3}\)
Khi đó (1) có dạng: \(y + \sqrt {1 – {y^3}} > 1 \Leftrightarrow \sqrt {1 – {y^3}} > 1 – y\) (2)
Do \(x \ge 1\), nên \(y = \sqrt[3]{{2 – x}} \le 1\)
Vĩ thẽ \((2) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \le 1}\\{1 – {y^3} > 1 – 2y + {y^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \le 1}\\{{y^3} + {y^2} – 2y < 0}\end{array}} \right.} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \le 1}\\{y\left( {{y^2} + y – 2} \right) \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le y \le 1}\\{y \le – 2}\end{array}} \right.} \right.\)
Trở về biển cũ ta có: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le \sqrt[3]{{2 – x}} \le 1}\\{\sqrt[3]{{2 – x}} \le – 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le 2 – x \le 1}\\{2 – x \le – 8}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \le x \le 2}\\{x \ge 10}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Vậy nghiệm cúa (1) là: \(1 \le x \le 2\) và \(x \ge 10\)
Xem thêm