Chuyên đề Mệnh đề và tập hợp

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Tài liệu bao gồm các nội dung sau:

Bài 1. Mệnh đề

Bài 2. Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

Bài 3. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Chuyên đề Mệnh đề và tập hợp

Bài 1. Mệnh đề

B. Phương pháp giải toán

Vấn để 1

Xác định mệnh đề, tính đúng saỉ của mệnh đề

1. Phương pháp

Căn cứ trên định nghĩa mệnh đề và tính đúng sai của chúng. Lưu ý rằng :

\(*P,\bar P\) không cùng tính đúng sai.

* \(P \Rightarrow Q\) chỉ sai khi P đúng, Q sai.

* \(P \Leftrightarrow Q\) đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P và Q đều đúng hay đều sai.

\(*\forall x \in X,P(x)\) dúng khi \(P\left( {{x_0}} \right)\) đúng với mọi \({x_0} \in X\).

\(*\exists x \in X,P(x)\) đúng khi có \({x_0} \in X\) sao cho \(P\left( {{x_0}} \right)\) đúng.

2. Ví Dụ

Xét xem các phát biểu sau có phải là mệnh đề không ? Nếu là mệnh đề thì cho biết đó là mệnh đề đúng hay sai ?

a) \(\sqrt 2 \) không là số hữu tỉ.

b) Iran là một nước thuộc châu Âu phải không ?

c) Phương trình \({x^2} + 5x + 6 = 0\) vô nghiệm.

d) Chừng minh bằng phản chứng khó thật !

e) \(x + 4\) là một số âm.

f) Nếu n là số chã̃n thì n chia hết cho 4 .

g) Nếu n chia hết cho 4 thì n là số chẵn.

h) n là số chã̃n nếu và chỉ nếu \({n^2}\) chia hết cho 4

i) \(\exists n \in \mathbb{N},{n^3} – n\) không là bội của 3 .

j) \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} – x + 1 > 0\).

Giải

a) Đây là mệnh đề đúng

b) Đây là câu hỏi, không phải là mệnh đề

c) Đây là mệnh đề sai vì phương trình có nghiệm x = – 2

d) Đây là câu cảm, không phải là mệnh đề

e) Đây không phải là mệnh đề. Ta có đây là mệnh đề chứa biến

f) Đây là mệnh đề sai vì n là số chẵn nhưng n chưa chắc chia hết cho 4

g) Đây là mệnh đề đúng.

h) Đây là mệnh đề đúng.

i) Đây là mệnh đề sai vì \(\forall n \in \mathbb{N},{n^3} – n = (n – 1)n(n + 1) \vdots 3\).

j) Dây là mệnh đề đúng.

3. Bài tập

Bài 1. Tìm mệnh đề trong các câu sau và cho biết chúng đúng hay sai ?

a) 5 là số chẵn.

b) Nếu \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) thì tam giác A B C vuông

c) 2 có phải là số nguyên tố không?

d) Hôm nay trời không mưa, chúng ta đi xem ca nhạc nhé!

e) Nếu phương trình bậc hai có thì có nghiệm

f) Cấm hút thuốc lá nơi công cộng

Vấn đề 2: Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định của 1 mệnh đề

1. Phương pháp

Mệnh đề phủ định của P  “ không phải P”

Mệnh đề phủ định của ” \(\forall x \in X,P(x)\) ” là \(\exists x \in X,\overline {P(x)} \).

Mệnh đề phủ định của ” \(\exists x \in X,P(x)\) ” là \(\forall x \in X,\overline {P(x)} \).

Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) là mệnh đề đào của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\).

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm mệnh đề đảo của mệnh đề sau và cho biết mệnh đề đảo này đúng hay sai : “Nếu hai góc đối đỉnh thì chúng bằng nhau”.

Giải

Mệnh đề đã cho có dạng : \(P \Rightarrow Q\) trong đó P là “hai góc đối đỉnh”, Q là “hai góc bằng nhau”. Vậy mệnh đề đảo là “Nếu hai góc bằng nhau thì chúng đối đỉnh”. Mệnh đề này sai.

Ví dụ 2. Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và cho biết chúng đúng hay sai.

a) \(P = \forall x \in \mathbb{R},{(x – 1)^2} \ge 0{\rm{ }}\).

b) \(Q = \) “Có một tam giác không có góc nào lớn hơn ${60}^{°}$.

Giai

a) Mệnh đề phủ định của O là \(\bar P = \exists x \in \mathbb{R},{(x – 1)^2} < 0{\rm{ }}\). Đây là mệnh đề sai.

b) Mệnh đề phủ định của Q là \(\bar Q = \) “Mọi tam giác luôn có một góc lớn hơn ${60}^{°}$ “. Đây là mênh đề sai vì tam giác đều không có góc lớn hơn ${60}^{°}$.

3. Bài tập

Bài 2. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, xác định xem mệnh đề phủ định đó đúng hay sai ?

a) Có vô số số nguyên tố.

b) Một năm có tối đa 52 ngày chủ nhật.

c) Các số nguyên tố đều là số lè.

d) Giải thường lớn nhất của Toán học là giải Nobel.

Bài 3. Viết mệnh đề đào của các mệnh đề sau và cho biết chúng đúng hay saì ? Vì sao ?

a) Nếu a, b chia hết cho c thì a + b chia hết cho c.

b) Nếu tam giác có hai góc bằng ${60}^{°}$ thì tam giác đó đều.

c) Nếu n là số nguyên lè thì 3n + 1 là số nguyên chã̃n.

d) Phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có a, c trái dấu thì nó có hai nghiệm phân biệt.

Bài 4. Cho tam giác ABC có AI là trung tuyến. Xét hai mệnh đề sau :

P : “Tam giác ABC vuông tại A “;

Q : “AI bằng một nửa cạnh B C

a) Viết mệnh đề \(P \Rightarrow Q\), chứng minh đây là mệnh đề đúng.

b) Phát biểu mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\), chứng minh đây là mệnh đề đúng.

Bài 5. Cho mệnh đề chửa biến \(P(x):{\rm{ }}{x^4} = x{\rm{ }}\).

a) Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau : \(P(0),P(1),P(2)\).

b) Dùng kí hiệu \(\forall ,\exists \) đề sửa P(x) thành mệnh đề đúng.

Bài 6. Viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, mệnh đề phủ định này đúng hay sai ? Vì sao ?

a) \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} – x + 1 > 0\)

b) \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} – 6x + 9 \le 0\).

c) \(\forall n \in \mathbb{N},{n^3} – n \vdots 3\).

Bài 2. Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

A. Tóm tắt giáo khoa

– Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng. Nhiều định lí được phát biểu dưới dạng ” \(\forall x \in X,P(x) \Rightarrow Q(x)\) ” trong đó P (x) và Q(x) là các mệnh đề chứa biến, X là tập hợp nào đó.

– Cho định lí ” \(\forall x \in X,P(x) \Rightarrow Q(x)\) ” (1), P(x) gọi là giả thiết, Q(x) là kết luận.

– P(x) là điều kiện đủ đề có Q(x) ; Q(x)  là điều kiện cần đề có P(x) .

– Mệnh đề ” \(\forall x \in X,Q(x) \Rightarrow P(x){\rm{ }}\) (2) là mệnh đề đảo của định lí (1). Nếu mệnh đề (2) đúng thì nó được gọi là định li đảo của định lí (1). Khi đó định lí (1) gọi là định li thuận. Định lí thuận và đảo có thể viết gộp thành định lí \(\forall x \in X,P(x) \Leftrightarrow Q(x)\) “, đọc là P(x)  là điều kiện cần và đủ để có Q(x) .

B. Phương pháp giải toán

Vấn đê 1: Phương pháp chứng minh phản chứng

1. Phương pháp

* Đề bài yêu cầu chứng minh \(P(x) \Rightarrow Q(x)\). Xác định giả thiết P(x), kết luận Q(x) của định lí.

* Giả sử Q(x) sai ta suy ra vô lí (kết hợp với P(x) khi cần).

2.  Ví dụ

Chứng minh rằng : “Nếu nhốt n con thỏ vào k cái chuồng (k <n) thì có một chuồng chứa nhiều hơn một con thỏ” (nguyên lí Dirichlet).

Giải

Giả sử không có chuồng nào có nhiều hơn một con thỏ.

Suy ra mỗi chuồng có tối đa một con thỏ.

Suy ra số thỏ tối đa là k con (vô lí).

Vậy có một chuồng có nhiều hơn một con thỏ.

3. Bài tập

Bài 1. Chứng minh nếu \({n^2}\) là số chẵn thì n cũng là số chẵn.

Bài 2. Chứng minh \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ.

Xem thêm