Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án năm 2023

Chỉ từ 180k mua trọn bộ Đề thi giữa học kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức bản word có lời giải chi tiết (chỉ từ 20k cho 1 đề thi bất kì):

B1:   –  –

B2:   – nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án.

Xem thử tài liệu tại đây: Link tài liệu

Đề thi giữa kì 1 Toán lớp 10 Kết nối tri thức có đáp án năm 2023 – 2024 – Đề 1

Phòng Giáo dục và Đào tạo …..

Đề thi Giữa Học kì 1 – Kết nối tri thức

Năm học 2023 – 2024

Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề số 1)

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Kí hiệu nào sau đây viết đúng mệnh đề: “$\sqrt{5}$ không là số nguyên”

A. $\sqrt{5}=\mathbb{Z}$                            B. $\sqrt{5}\in \mathbb{Z}$

C. $\sqrt{5}\subset \mathbb{Z}$                            D. $\sqrt{5}\notin \mathbb{Z}$

Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2>1\Rightarrow x>-1$.

B. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2>1\Rightarrow x>1$.                 

C. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x>-1\Rightarrow x^2>1$.

D. $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x>1\Rightarrow x^2>1$

Câu 3. Cho $A=\{n=2k|k\in \mathbb{N},k\le 3\}$ , $B=\{n\in \mathbb{N}|n\le 5\}$ và $C=\{n\in \mathbb{N}|2\le n\le 6\}$.

Tìm tập hợp $A\mathrm{\setminus }\left(B\cup C\right)$

A. $\{0;8\}$                              B. $\{0\}$.

C. $\{8\}$.                                D. $\mathrm{\varnothing }$.

Câu 4. Cho $A=(-2;5]$ và $B=(m;+\mathrm{\infty })$. Tìm $m\in \mathbb{Z}$ để $A\mathrm{\setminus }B$ chứa đúng 5 số nguyên là:

A. $1$.                       B. $3$.                      C. $5$                        D. $7$

Câu 5. Lớp 10A có 45 học sinh trong đó có 23 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 12 em không thích môn nào. Số em thích cả hai môn trên là :

A. $8$.                      B. $10$.                      C. $12$.                  D. $14$.

Câu 6. Miền nghiệm của bất phương trình $2x+3y\le 12$ là:

A.                      B.     

     C.                D. 

Câu 7. Giá trị lớn nhất của $F(x;y)=5x-3y$, với điều kiện $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 0\le y\le 5\\ x+y-2\ge 0\\ 3x-y\le 6\end{array}$

A.$-2$                      B. $10$                    C.$\frac{10}{3}$             D. $-15$

Câu 8. Cho góc $x(0^{\circ }<x<{180}^{\circ })$ thỏa mãn $\tan x=5$. Tính biểu thức $P=\frac{3\sin x+11\cos x}{7\sin x-9\cos x}$

A. $\frac{-29}{19}$.      B. $\frac{29}{19}$.     C. $-1$.                 D. $1$.

Câu 9. Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\cos x+\cos 3x+\cos 5x}$

A.$\sin 3x$                    B. $\cos 3x$.               C. $\tan 3x$.                   D. $\tan x$.

Câu 10. Cho tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\sin (A+B)=-\sin C$                           B. $\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)=\cos \frac{C}{2}$

C. $\cos (A+B)=\cos C$                            D. $\tan (A+B)=\tan C$

Câu 11. Cho tam giác ABC có $BC=5,\widehat{BAC}={120}^o$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\mathrm{\Delta }ABC$ bằng:

A.$R=\frac{5\sqrt{3}}{2}$                                   B. $R=\frac{5}{2}$

C. $R=\frac{5\sqrt{3}}{3}$                                   D. $R=5$

Câu 12. Cho tam giác $ABC$ có $c=4,b=7,\hat{A}={60}^{\circ }$. Chiều cao $h_a$ của tam giác ABC (làm tròn đến hàng đơn vị) là:

A. $2$                    B. $3$                      C. $4$                 D. $5$

Câu 13. Điểm $A(2;3)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới đây?

A. $\{\begin{array}{l}x+2y>9\\ 3x-y<5\end{array}$                                     B. $\{\begin{array}{l}2x-y>7\\ x+y\le 3\end{array}$

C. $\{\begin{array}{l}3x+5\le 10\\ 4x-y>3\end{array}$                                   D. $\{\begin{array}{l}2x+5y>8\\ x-3y\le 4\end{array}$

Câu 14. Đơn giản biểu thức $A=\sin \left(\frac{5\pi }{2}-x\right)+\cos \left(13\pi +x\right)-3\sin \left(x-5\pi \right)$

A. $3\sin x$                  B. $3\sin x-\cos x$            C. $-3\sin x$.                     D. $2\cos x+3\sin x$.

Câu 15. Cho bất phương trình $5(2x-3y)-3(2x-y+7)>x-3y$. Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?

A. $O(0;0)$                         B. $A(1;0)$.                         C. $B(3;-2)$.                     D. $C(0;2)$

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

a) $(-\mathrm{\infty };1)\cap (-5;+\mathrm{\infty })$                  b) $(2;6]\cup (-3;5]$                  

c) $[-3;7)\mathrm{\setminus }(4;+\mathrm{\infty })$                         d) $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }(-4;9]$

Câu 2. Một xưởng nhỏ sản xuất hai loại sản phẩm A và B, mỗi cân sản phẩm loại A cần 2 cân nguyên liệu và 30 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 400 nghìn đồng/kg. Một cân sản phẩm loại B cần 4 cân nuyên liệu và 15 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 300 nghìn đồng. Mỗi ngày xưởng có 200 cân nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Vậy mỗi ngày xưởng đó nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu kg để thu về mức lợi nhuận cao nhất?

Câu 3. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:

a) $a=b.\cos C+c.\cos B$

b) ${m_a}^2+{m_b}^2+{m_c}^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$

Câu 4. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có $\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}$

Hướng dẫn giải:

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

1. D	2. D	3. D	4. B	5. B
6. C	7. B	8. D	9. C	10. B
11. C	12. C	13. D	14. A	15. C

Câu 1:

Cách giải:

Tập hợp các số nguyên: $\mathbb{Z}$

“$\sqrt{5}$ không là số nguyên” viết là: $\sqrt{5}\notin \mathbb{Z}$

Chọn D.

Câu 2:

Cách giải:

Mệnh đề “$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2>1\Rightarrow x>-1$” sai, chẳng hạn $x=-3$ thì $x^2>1$ nhưng $x<-1$

Mệnh đề “$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2>1\Rightarrow x>1$” sai, chẳng hạn $x=-3$ thì $x^2>1$ nhưng $x<1$

Mệnh đề “$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x>-1\Rightarrow x^2>1$” sai, chẳng hạn $x=0>-1$ nhưng  $x^2<1$

Mệnh đề “$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x>1\Rightarrow x^2>1$” đúng

Chọn D.

Câu 3:

Phương pháp:

Liệt kê các phần tử của tập hợp A, B, C

Cách giải:

$A=\{0;2;4;6;8\}$

$B=\{0;1;2;3;4;5\}$

$C=\{2;3;4;5;6\}$.

Ta có: $B\cup C=\{0;1;2;3;4;5;6\}\Rightarrow A\mathrm{\setminus }\left(B\cup C\right)=\{0;8\}$

Chọn D.

Câu 4:

Cách giải:

+ Nếu $m\ge 5$ thì $A\mathrm{\setminus }B=(-2;5]\mathrm{\setminus }(m;+\mathrm{\infty })=A=(-2;5]$, chứa 7 số nguyên là -1 ; 0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 (nhiều hơn 3) nên ta loại trường hợp m > 5.

+ Để $A\mathrm{\setminus }B\ne \mathrm{\varnothing }$ thì m>-2. Xét trường hợp -2<m<5, khi đó $A\mathrm{\setminus }B=(-2;5]\mathrm{\setminus }(m;+\mathrm{\infty })=(-2;m]$

Chứa 5 số nguyên $-1;0;1;2;3$ thì $m=3$.

Chọn B.

Câu 5:

Cách giải:

Gọi X là tập hợp học sinh lớp 10A

A là tập hợp các học sinh thích môn Văn.

B là là tập hợp các học sinh thích môn Toán.

Suy ra :

$A\cap B$ là tập hợp các học sinh tham gia cả hai môn Văn và Toán.

$A\cup B$ là tập hợp các học sinh thích môn Văn và Toán.

$X\mathrm{\setminus }\left(A\cup B\right)$ là tập hợp các học sinh không thích môn nào.

Ta có : $n(A)=23;n(B)=20;n\left(X\mathrm{\setminus }\left(A\cup B\right)\right)=12$

$\Rightarrow$ Số học sinh thích môn Văn và Toán là:

$n\left(A\cup B\right)=45-12=33$ (học sinh)

$\Rightarrow$ Số học sinh học sinh thích cả hai môn Văn và Toán là:

$n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(A\cup B)=23+20-33=10$ (học sinh)

Chọn B.

Câu 6:

Phương pháp:

Xác định đường thẳng $2x+3y=12$ và xét một điểm (không thuộc đường thẳng) xem có thuộc miền nghiệm hay không.

Cách giải:

Đường thẳng $2x+3y=12$ đi qua điểm có tọa độ (6;0) và (0;4) => Loại A, D.

Xét điểm O(0;0), ta có: $2.0+3.0=0<12$ nên O thuộc miền nghiệm của BPT đã cho.

Chọn C.

Câu 7:

Phương pháp:

Bước 1: Biểu diễn miền nghiệm, xác định các đỉnh của miền nghiệm

Bước 2: Thay tọa độ các đỉnh vào $F(x;y)=5x-3y$, kết luận giá trị nhỏ nhất.

Cách giải:

Xét hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 0\le y\le 5\\ x+y-2\ge 0\\ 3x-y\le 6\end{array}$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ, ta được

 

Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD trong đó $A\left(0;2\right),B\left(0;5\right),C\left(\frac{11}{3};5\right),D(2;0)$

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào $F(x;y)=5x-3y$ ta được

$F(0;2)=5.0-3.2=-6$

$F(0;5)=5.0-3.5=-15$

$F\left(\frac{11}{3};5\right)=5.\frac{11}{3}-3.5=\frac{10}{3}$

$F(2;0)=5.2-3.0=10$

Vậy giá trị lớn nhất của F bằng 10.

Chọn B.

Câu 8:

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu của P cho cosx để làm xuất hiện tanx.

Cách giải:

Vì $\tan x=5$ nên $\cos x\ne 0$

Khi đó: $P=\frac{3\sin x+11\cos x}{7\sin x-9\cos x}=\frac{\frac{3\sin x+11\cos x}{\cos x}}{\frac{7\sin x-9\cos x}{\cos x}}=\frac{3\frac{\sin x}{\cos x}+11}{7\frac{\sin x}{\cos x}-9}$

$=\frac{3\tan x+11}{7\tan x-9}=\frac{3.5+11}{7.5-9}=1$

Chọn D.

Câu 9:

Phương pháp:

Áp dụng công thức:

$\sin x+\sin 5x=2\sin \frac{x+5x}{2}\cos \frac{x-5x}{2}$

$\cos x+\cos 5x=2\cos \frac{x+5x}{2}\cos \frac{x-5x}{2}$

Cách giải:

Ta có: $\sin x+\sin 5x=2\sin \frac{x+5x}{2}\cos \frac{x-5x}{2}=2\sin 3x\cos \left(-2x\right)$

$\cos x+\cos 5x=2\cos \frac{x+5x}{2}\cos \frac{x-5x}{2}=2\cos 3x\cos \left(-2x\right)$

$\Rightarrow A=\frac{2\sin 3x\cos \left(-2x\right)+\sin 3x}{2\cos 3x\cos \left(-2x\right)+\cos 3x}=\frac{\sin 3x\left[2\cos \left(-2x\right)+1\right]}{\cos 3x\left[2\cos \left(-2x\right)+1\right]}=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}=\tan 3x$

Chọn C.

Câu 10:

Phương pháp

$\begin{array}{l}\sin \left({180}^{\circ }-x\right)=\sin x\\ \cos \left({180}^{\circ }-x\right)=-\cos x\\ \tan \left({180}^{\circ }-x\right)=-\tan x\\ \sin \left({90}^{\circ }-x\right)=\cos x\end{array}$

Cách giải:

Ta có:  $A+B+C={180}^{\circ }\Rightarrow \{\begin{array}{l}A+B={180}^{\circ }-C\\ \frac{A+B}{2}={90}^{\circ }-\frac{C}{2}\end{array}$

Suy ra:

$\sin \left(A+B\right)=\sin \left({180}^{\circ }-C\right)=\sin C$ => Loại A

$\cos \left(A+B\right)=\cos \left({180}^{\circ }-C\right)=-\cos C$ => Loại B

$\tan \left(A+B\right)=\tan \left({180}^{\circ }-C\right)=-\tan C$ => Loại D

$\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)=\sin \left({90}^{\circ }-\frac{C}{2}\right)=\cos \frac{C}{2}$

Chọn B.

Câu 11:

Phương pháp:

Áp dụng định lí sin: $\frac{a}{\sin A}=2R$

Cách giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: $\frac{a}{\sin A}=2R$

Mà $a=BC=5,\widehat{BAC}={120}^o$

$\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{5}{2\sin {120}^{\circ }}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Chọn C.

Câu 12:

Phương pháp:

Áp dụng định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

Cách giải:

Ta có: $c=4,b=7,\hat{A}={60}^{\circ }$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

$\begin{array}{l}\iff a^2=7^2+4^2-\mathrm{2.7.4}\cos {60}^{\circ }=37\\ \Rightarrow a=\sqrt{37}\end{array}$

Lại có: $S=\frac{1}{2}b.c\sin A=\frac{1}{2}a.h_a\Rightarrow h_a=\frac{b.c\sin A}{a}=\frac{\mathrm{7.4.}\sin {60}^{\circ }}{\sqrt{37}}\approx 4$

Vậy độ dài đường cao $h_a$ là khoảng 4.

Chọn C.

Câu 13.

Phương pháp:

Thay tọa độ điểm A vào hệ BPT, hệ nào cho ta các mệnh đề đúng thì điểm A thuộc miền nghiệm của hệ BPT đó.

Cách giải

+ Xét hệ $\{\begin{array}{l}x+2y>9\\ 3x-y<5\end{array}$, thay $x=2,y=3$ ta được: $2+2.3=8>9$ sai nên A(2;3) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT.

+ Xét hệ $\{\begin{array}{l}2x-y>7\\ x+y\le 3\end{array}$, thay $x=2,y=3$ ta được: $2.2-3=1>7$ sai nên A(2;3) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT.

+ Xét hệ $\{\begin{array}{l}3x+5\le 10\\ 4x-y>3\end{array}$, thay $x=2,y=3$ ta được: $3.2+5=11\le 10$ sai nên A(2;3) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT.

+ Xét hệ $\{\begin{array}{l}2x+5y>8\\ x-3y\le 4\end{array}$, thay $x=2,y=3$ ta được: $\{\begin{array}{l}2.2+5.3=19>8\\ 2-3.3=-7\le 4\end{array}$ đúng nên A(2;3) thuộc miền nghiệm của hệ BPT.

Chọn D.

Câu 14.

Cách giải

Ta có:

$\sin \left(\frac{5\pi }{2}-x\right)=\sin \left(2\pi +\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$

$\cos \left(13\pi +x\right)=\cos \left(12\pi +x+\pi \right)=\cos \left(x+\pi \right)=-\cos x$

$\sin \left(x-5\pi \right)=\sin \left(x+\pi -6\pi \right)=\sin \left(x+\pi \right)=-\sin x$

$\Rightarrow A=\cos x+\left(-\cos x\right)-3\left(-\sin x\right)=3\sin x$

Chọn A

Câu 15. Cho bất phương trình $5(2x-3y)-3(2x-y+7)>x-3y$. Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?

     A. $O(0;0)$                    B. $A(1;0)$.                         C. $B(3;-2)$.                     D. $C(0;2)$

Cách giải:

Ta có: $5(2x-3y)-3(2x-y+7)>x-3y$

$\begin{array}{l}\iff 10x-15y-6x+3y-21-x+3y>0\\ \iff 3x-9y-21>0\\ \iff x-3y-7>0\end{array}$

Thay tọa độ các điểm vào BPT:

+ Vì $0-3.0-7=-7<0$ nên $O(0;0)$ không thuộc miền nghiệm

+ Vì $1-3.0-7=-6<0$ nên $A(1;0)$ không thuộc miền nghiệm

+ Vì $3-3.(-2)-7=2>0$ nên $B(3;-2)$ thuộc miền nghiệm

+ Vì $0-3.2-7=-13<0$ nên $C(0;2)$ không thuộc miền nghiệm

Chọn C

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

a) $A\cap B=\{x\in A|x\in B\}$        

b) $A\cup B=\{x|x\in A$ hoặc $x\in B\}$

c, d) $A\mathrm{\setminus }B=\{x\in A|x\notin B\}$

Cách giải:

a) Biểu diễn hai tập $(-\mathrm{\infty };1)$ và $(-5;+\mathrm{\infty })$ trên trục số, ta được:

 

Giao của hai tập hợp: $(-\mathrm{\infty };1)\cap (-5;+\mathrm{\infty })=(-5;1)$

b) Biểu diễn hai tập $(2;6]$ và $(-3;5]$ trên trục số, ta được:

 

Hợp của hai tập hợp: $(2;6]\cup (-3;5]=(-3;6]$

c) Biểu diễn hai tập $(-3;7]$ và $(4;+\mathrm{\infty })$ trên trục số, ta được:

 

Hiệu của hai tập hợp: $[-3;7)\mathrm{\setminus }(4;+\mathrm{\infty })=[-3;4]$

d) Biểu diễn tập $(-4;9]$ trên trục số, ta được:

Hiệu của hai tập hợp: $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }(-4;9]=(-\mathrm{\infty };-4]\cup (9;+\mathrm{\infty })$

Câu 2:

Nhà cô Minh có mảnh vườn rộng $8m^2$. Cô dự định trồng cà chua và cải bắp trên toàn bộ mảnh vườn đó. Nếu trồng cà chua thì cần 20 công và thu được 300 nghìn đồng trên mỗi $m^2$. Nếu trồng cải bắp thì cần 30 công và thu được 400 nghìn đồng trên mỗi $m^2$. Hỏi cần cần trồng mỗi loại cây trên diện tích bao nhiêu để tthu được nhiều tiền nhất mà tổng số công không quá 180?

Cách giải:

Gọi số kg sản phẩm loại A, loại B cần sản xuất mỗi ngày lần lượt là x, y $(x,y\ge 0)$

Để sản xuất x kg sản phẩm loại A cần 2x cân nguyên liệu và 30x giờ sản xuất, lợi nhuận đem lại là 400x nghìn đồng

Để sản xuất y kg sản phẩm loại B cần 4y cân nguyên liệu và 15y giờ sản xuất, lợi nhuận đem lại là 300y nghìn đồng

Mỗi ngày có 200 kg nguyên liệu nên $2x+4y\le 200$

Có 1200 giờ làm việc nên $30x+15y\le 1200$

Tổng lợi nhuận đem lại là: $F(x;y)=400x+300y$

Ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+4y\le 200\\ 30x+15y\le 1200\end{array}$

Biểu diễn miền nghiệm trên hệ trục Oxy, ta được:

 

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC (kể cả các cạnh), trong đó $A(0;50),B(20;40),C(40;0),O(0;0)$

Lần lượt thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào biểu thức $F(x;y)=400x+300y$ ta được:

$\begin{array}{l}F(0;0)=400.0+300.0=0\\ F(0;50)=400.0+300.50=15000\\ F(20;40)=400.20+300.40=20000\\ F(40;0)=400.40+300.0=16000\end{array}$

Do đó F đạt giá trị lớn nhất bằng 15 000 (nghìn đồng) tại $x=20;y=40$

Vậy mỗi ngày xưởng đó cần sản xuất 20kg sản phẩm loại A, 40kg sản phẩm loại B để thu về lợi nhuận lớn nhất.

Câu 3:

Phương pháp:

a) Áp dụng hệ quả của định lí cosin: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac};\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

b) Áp dụng các công thức tính diện tích:$S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{abc}{4R}$

Định lí sin: $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

Cách giải:

a) Từ định lí cosin, ta suy ra:

$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac};\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow b\cos C+c.\cos B=b.\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+c.\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ =\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\\ =\frac{a^2+b^2-c^2+a^2+c^2-b^2}{2a}\\ =\frac{2a^2}{2a}=a\\ =\frac{1}{2}\left(2b^2-2c^2\right)=b^2-c^2\end{array}$

Vậy $a=b.\cos C+c.\cos B$

b) Gọi M là trung điểm BC. Khi đó $AM=m_a$

 

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM, ta có:

$\begin{array}{l}A{M}^2=A{B}^2+B{M}^2-2.AB.BM.\cos B\\ =c^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2-2.c.\frac{a}{2}.\cos B\\ =c^2+{\frac{a}{4}}^2-ac\cos B\end{array}$

Mà $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$,

suy ra ${m_a}^2=c^2+{\frac{a}{4}}^2-ac.\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=c^2+{\frac{a}{4}}^2-\frac{a^2+c^2-b^2}{2}=\frac{c^2+b^2}{2}-{\frac{a}{4}}^2$

Tương tự ta có: ${m_b}^2=\frac{c^2+a^2}{2}-{\frac{b}{4}}^2;{m_c}^2=\frac{b^2+a^2}{2}-{\frac{c}{4}}^2$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {m_a}^2+{m_b}^2+{m_c}^2=\frac{c^2+b^2}{2}-{\frac{a}{4}}^2+\frac{c^2+a^2}{2}-{\frac{b}{4}}^2+\frac{b^2+a^2}{2}-{\frac{c}{4}}^2\\ =\frac{c^2}{2}+\frac{c^2}{2}-\frac{c^2}{4}+\frac{b^2}{2}+\frac{b^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{4}\\ =\frac{3c^2}{4}+\frac{3b^2}{4}+\frac{3a^2}{4}=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)\end{array}$

Ta được điều phải chứng minh.

Câu 4:

Cách giải:

Xét tam giác ABC có $a=BC,b=AC,c=AB$

Ta có: $S=\frac{1}{2}a.h_a\Rightarrow h_a=\frac{2S}{a}\Rightarrow \frac{1}{h_a}=\frac{a}{2S}$

Tương tự ta có: $\frac{1}{h_b}=\frac{b}{2S};\frac{1}{h_c}=\frac{c}{2S}$

$\Rightarrow \frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{a}{2S}+\frac{b}{2S}+\frac{c}{2S}=\frac{a+b+c}{2S}$

Lại có: $S=pr=\frac{a+b+c}{2}.r\Rightarrow r=\frac{2S}{a+b+c}\Rightarrow \frac{1}{r}=\frac{a+b+c}{2S}$

Do đó $\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}$ (đpcm)

Đề thi giữa kì 1 Toán lớp 10 Kết nối tri thức có đáp án năm 2023 – 2024 – Đề 2

Phòng Giáo dục và Đào tạo …..

Đề thi Giữa Học kì 1 – Kết nối tri thức

Năm học 2023 – 2024

Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề số 2)

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào không phải là mệnh đề?

A. 2 là số nguyên âm;                                                                           

B. Bạn có thích học môn Toán không?;

C. 13 là số nguyên tố;                                            

D. Số 15 chia hết cho 2.

Câu 2. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là con của tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5}?

A. A₁ = {1; 6};

B. A₂ = {0; 1; 3};

C. A₃ = {4; 5};

D. A₄ = {0}.

Câu 3. Cho các tập hợp A = {x ∈ ℝ | – 5 ≤ x < 1} và B = {x ∈ ℝ | – 3 < x ≤ 3}. Tìm tập hợp A ∪ B.

A. A ∪ B = [– 5; 1);

B. A ∪ B = [– 5; 3];

C. A ∪ B = (– 3; 1);

D. A ∪ B = (– 3; 3].

Câu 4. Nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

A. x + 2y > 1;

B. 2x + y > 1;

C. 2x + y < 1;

D. 2x – y > 1.

Câu 5. Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}x+y-2\le 0\\ 2x-3y+2>0\end{array}\right.$ ?

A. (0; 0);

B. (1; 1);

C. (– 1; 1);

D. (– 1; – 1).

Câu 6. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. sin (180° – α) = – sin α;

B. cos (180° – α) = – cos α;

C. tan (180° – α) = tan α;

D. cot (180° – α) = cot α);

Câu 7. Tam giác ABC có BC = 1, AC = 3, $\widehat{C}=60°$ . Tính độ dài cạnh AB.

A. $\sqrt{13}$ ;                                 

B. $\frac{\sqrt{46}}{2}$ ;                                 

C. $\frac{\sqrt{34}}{2}$ ;                                 

D. $\sqrt{7}$ .

Câu 8. Cho hai mệnh đề  P: “x là số chẵn” và Q: “x chia hết cho 2”.

Phát biểu mệnh đề P kéo theo Q.

A. Hoặc x là số chẵn hoặc x chia hết cho 2;

B. Nếu x là số chẵn thì x chia hết cho 2;

C. Nếu x chia hết cho 2 thì x là số chẵn;

D. x là số chẵn và x chia hết cho 2.

Câu 9. Trong các cặp số sau đây: (– 5; 0); (– 2; 1); (– 1; 3); (– 7; 0). Có bao nhiêu cặp số là nghiệm của bất phương trình x – 4y + 5 ≥ 0?

A. 0;

B. 1;

C. 3;

D. 4.

Câu 10. Giá trị của biểu thức P = sin30°.cos15° + sin150°.cos165° là

A. 0;

B. 1;

C. – 1;

D. 0,5.

Câu 11. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P: “∃x, x² + 2x + 3 là số chính phương” là:

A. ∀x, x² + 2x + 3 không là số chính phương;

B. ∃x, x² + 2x + 3 là số nguyên tố;

C. ∀x, x² + 2x + 3 là hợp số;

D. ∃x, x² + 2x + 3 là số thực.

Câu 12. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn ? 

A. 2x² + 1 ≥ y + 2x²;

B. 2x – 6y + 5 < 2x – 6y + 3;

C. 4x² < 2x + 5y – 6;

D. 2x³ + 1 ≥ y + 2x².

Câu 13. Cho tam giác ABC với độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. a² = b² + c² + 2bcsinA;

B. a² = b² + c² – 2bccosA;

C. a² = b² + c² – 2acsinA;

D. a² = b² + c² + 2abcosA.

Câu 14. Cho tập hợp D = {x ∈ ℕ^* | x(x – 2)(x – 3) = 0}.

Viết lại tập hợp D dưới dạng liệt kê các phần tử của tập hợp đó.

A. D = {0; 1; 2};

B. D = {2; 3};

C. D = {0; 2; 3};

D. D = {1; 2}.

Câu 15. Hệ nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các hệ sau?

Câu 16. Cho tam giác ABC với độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. S là diện tích và p là nửa chu vi tam giác. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Công thức nào sau đây sai?

A. S = $\frac{\text{abc}}{\text{4R}}$ ;

B. S = pr ;

C. S = $\sqrt{\text{p(p + a)(p + b)(p + c)}}$ ;

D. S = $\frac{1}{2}$bcsinA.

Câu 17. Cho $\stackrel{⏜}{\mathrm{A}}=45°$ , chọn đáp án SAI trong các đáp án dưới đây?

A. sin A = $\frac{3}{2}$ ;

B. cos A = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

C. tan A = 1;

D. cot A = 1.

Câu 18. Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình: 3x + 2(y + 3) > 4(x + 1) – y + 3 ?

A. (–3; 0);

B. (3; 1);

C. (2; 1);

D. (0; 0).

Câu 19. Cho tập hợp B gồm các số tự nhiên bé hơn 20 và chia hết cho 4.

Viết tập hợp trên dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó.

A. B = {x ∈ ℤ | x ≤ 20 và x ⁝ 4};

B. B = {x ∈ ℤ | x < 20 và x ⁝ 4};

C. B = {x ∈ ℕ | x ≤ 20 và x ⁝ 4};

D. B = {x ∈ ℕ | x < 20 và x ⁝ 4}.

Câu 20. Cho tam giác ABC biết $\frac{\sin B}{\sin C}=\sqrt{3}$ và $\mathrm{AB}=2\sqrt{2}$ . Tính AC.

A. $2\sqrt{2}$ ;

B. $2\sqrt{3}$ ;

C. $2\sqrt{6}$ ;

D. $2\sqrt{5}$.

Câu 21. Cho tập hợp K = [1 ; 7) \ (– 3 ; 5). Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. K = [1; 7);

B. K = (– 3; 7);

C. K = [1; 5);

D. K = [5; 7).

 Câu 22. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x–y+2>0\\ y+2>0\end{array}\right.$là phần màu trắng được biểu diễn trong hình vẽ nào dưới dây ?

A. ;

B. ;

C. ;

D. .

Câu 23. Cho hai nửa khoảng M = (0; 2], N = [1; 4). Tìm E = C_ℝ(M ∩ N).

A. E = (0; 4);

B. E = [1; 2];

C. E = (– ∞; 1) ∪ (2; +∞);

D. E = (– ∞; 0] ∪ [4; +∞).

Câu 24. Cho mệnh đề: “Nếu tứ giác là một hình thoi thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề trên là:

A. “Tứ giác là một hình thoi khi và chỉ khi tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn”;

B. “Một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi tứ giác đó là hình thoi”;

C. “Nếu một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn thì tứ giác đó là hình thoi”;

D. “Tứ giác là một hình thoi kéo theo tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn”.

Câu 25. Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 8 và $\stackrel{⏜}{\mathrm{A}}=30°$ . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. 7;

B. 6;

C. 5;

D. 4.

Câu 26. Cho góc α thỏa mãn $co{s}^2\alpha =\frac{1}{6}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 1 + cot²α = 6;

B. 1 + cot²α = 5;

C. 1 + tan²α = 5;

D. 1 + tan²α = 6.

Câu 27. Cho định lý sau: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng”.

Phát biểu định lý trên dưới dạng điều kiện cần.

A. Hai tam giác bằng nhau kéo theo hai tam giác đó đồng dạng;

B. Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác đó đồng dạng;

C. Hai tam giác đồng dạng là điều kiện cần để hai tam giác đó bằng nhau;

D. Hai tam giác bằng nhau tương đương với hai tam giác đó đồng dạng.

Câu 28. Miền nghiệm của bất phương trình x – 3y + 3 > 0 là:

A. Nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng Δ: x – 3y + 3 = 0, không chứa gốc tọa độ O;

B. Nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng Δ: x – 3y + 3 = 0 (không kể bờ), không chứa gốc tọa độ O;

C. Nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng Δ: x – 3y + 3 = 0, chứa gốc tọa độ O;

D. Nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng Δ: x – 3y + 3 = 0 (không kể bờ), chứa gốc tọa độ O.

Câu 29. Cho các mệnh đề dưới đây:

(1) 24 là số nguyên tố.

(2) Phương trình x² – 5x + 9 = 0 có 2 nghiệm thực phân biệt.

(3) Phương trình x² + 1 = 0 có 2 nghiệm thực phân biệt.

(4) Mọi số nguyên lẻ đều không chia hết cho 2.

Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Câu 30. Bạn Vân có tối đa 120 phút để trồng rau trong vườn. Biết có hai loại rau là rau cải và rau muống, một cây rau cải trồng mất 5 phút, một cây rau muống trồng mất 7 phút. Gọi số cây rau cải bạn Vân trồng được là x cây, số cây rau muống bạn Vân trồng được là y cây. Các bất phương trình mô tả điều kiện của bài toán là:

A. 7x + 5y ≥ 120; x > 0; y > 0;

B. 5x + 7y ≤ 120; x ≥ 0; y ≥ 0;

C. 7x + 5y > 120; x > 0; y > 0;

D. 7x + 5y < 120; x < 0; y > 0.

Câu 31. Cho tam giác ABC. Xét dấu của biểu thức P = cos$\frac{A}{2}$. sin B?

A. P > 0;

B. P < 0;

C. P = 0;

D. Một kết quả khác.

Câu 32. Để xác định chiều cao của một tòa tháp mà không cần lên đỉnh của tòa nhà người ta làm như sau: đặt giác kế thẳng đứng cách chân tháp một khoảng AB = 55 m, chiều cao của giác kế là OA = 2 m.

Quay thanh giác kế sao cho khi ngắm theo thanh ta nhìn thấy đỉnh C của tháp. Đọc trên giác kế số đo góc $\widehat{COD}=60°$ .

Chiều cao của ngọn tháo gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 87 m;

B. 90 m;

C. 97 m;

D. 100 m.

Câu 33. Cho góc α với 0° < α < 180°. Tính giá trị của cosα, biết $\tan \alpha =-2\sqrt{2}$.

A. $-\frac{1}{3}$ ;

B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ ;

C. $\frac{1}{3}$ ;

D. $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

Câu 34. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+3y-15<0\\ x+y>0\end{array}\right.$chứa điểm nào trong các điểm sau đây ?

A. (1; 15);

B. (7; 8);

C. (9; 11);

D. (1; 2).

Câu 35. Cho tam giác ABC có AB = 5 , $\widehat{A}=30°$, $\widehat{B}=75°$. Tính diện tích tam giác ABC.

A. ;

B. 4;

C. ;

D. 5.

II. Tự luận (3 điểm)

Câu 1. Cho hai tập hợp A = (0; 3), B = (2; 4). Xác định các tập hợp A ∪ B, A ∩ B, A \ B và C_ℝA.

Câu 2. Một phân xưởng có hai máy đặc chủng loại 1 và loại 2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là A và B. Một tấn sản phẩm loại A lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại B lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại A phải dùng máy loại 1 trong 3 giờ và máy loại 2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại B phải dùng máy loại 1 trong 1 giờ và máy loại 2 trong 1 giờ. Máy loại 1 làm việc không quá 6 giờ một ngày, máy loại 2 làm việc không quá 4 giờ 1 ngày. Hỏi cần sản xuất bao nhiêu tấn sản phẩm loại A và loại B để số tiền lãi mà phân xưởng này có thể thu được trong một ngày là lớn nhất?

Câu 3. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

sin A = sin B . cos C + sin C . cos B.

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2

I. Bảng đáp án trắc nghiệm

1. B	2. C	3. B	4. B	5. C	6. B	7. D
8. B	9. B	10. A	11. A	12. A	13. B	14. B
15. C	16. C	17. A	18. A	19. D	20. C	21. D
22. D	23. C	24. C	25. C	26. D	27. C	28. D
29. A	30. B	31. A	32. C	33. A	34. D	35. C

II. Hướng dẫn giải chi tiết trắc nghiệm

Câu 1.

Đáp án đúng là: B

Phát biểu “Bạn có thích học môn Toán không?” là một câu hỏi, không khẳng định tính đúng sai nên đây không phải mệnh đề.

Câu 2.

Đáp án đúng là: C

Tập con của tập hợp A là tập hợp gồm các phần tử đều là phần tử của tập hợp A.

Tập A₁ = {1; 6} không là tập con của tập A vì 6 ∉ A.

Tập A₂ = {0; 1; 3} không là tập con của tập A vì 0 ∉ A.

Tập A₃ = {4; 5} là tập con của tập A vì 4 ∈ A, 5 ∈ A.

Tập A₄ = {0} không là tập con của tập A vì 0 ∉ A.

Vậy chỉ có tập A₃ là tập con của tập A.

Câu 3.

Đáp án đúng là: B

Ta có: A = {x ∈ ℝ | – 5 ≤ x < 1} = [– 5; 1)

Và B = {x ∈ ℝ | – 3 < x ≤ 3} = (– 3; 3].

Do đó, A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B} = [– 5; 3].

Câu 4.

Đáp án đúng là: B

Giả sử đường thẳng d có phương trình: y = ax + b.

Từ hình vẽ ta thấy, đường thẳng d đi qua hai điểm có tọa độ (0; 1) và (0,5; 0).

Khi đó ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}a.0+b=1\\ a.0,5+b=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=1\end{array}\right.$ .

Do đó, d: y = – 2x + 1 hay d: 2x + y = 1.

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng d, ta thấy 2 . 0 + 0 = 0 < 1 và nửa mặt phẳng không bị gạch chéo không chứa điểm O.

Vậy nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình đã cho là miền nghiệm của bất phương trình 2x + y > 1.

Câu 5.

Đáp án đúng là: C

Thay lần lượt các cặp số vào hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}x+y-2\le 0\\ 2x-3y+2>0\end{array}\right.$  ta thấy chỉ có cặp số (– 1; 1) không thỏa mãn, do cặp số này không thỏa mãn bất phương trình thứ hai của hệ (2 . (– 1) – 3 . 1 + 2 = –  3 < 0).

Vậy trong các cặp số đã cho, cặp số (– 1; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Câu 6.

Đáp án đúng là: B

Hai góc bù nhau thì sin bằng nhau, côsin, tang và côtang đối nhau.

Do đó, sin (180° – α) = sin α; cos (180° – α) = – cos α; 

              tan (180° – α) = – tan α; cot (180° – α) = – cot α).

Vậy trong các đáp án đã cho, đáp án đúng là đáp án B.

Câu 7.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

AB² = BC² + AC² – 2 BC. AC . cosC = 1² + 3² – 2 . 1 . 3 . cos 60° = 7.

Suy ra AB = $\sqrt{7}$ . 

Câu 8.

Đáp án đúng là: B

Vì mệnh đề kéo theo được phát biểu dưới dạng là “Nếu P thì Q”.

Nên mệnh đề P kéo theo Q là “Nếu x là số chẵn thì x chia hết cho 2”.

Câu 9.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

– 5 – 4.0 + 5 = 0, vậy (– 5; 0) là nghiệm của bất phương trình.

– 2 – 4.1 + 5 = – 1 < 0, vậy (– 2; 1) không là nghiệm của bất phương trình.

– 1 – 4.3 + 5 = – 8 < 0, vậy (– 1; 3) không là nghiệm của bất phương trình.

– 7 – 4.0 + 5 = – 2 < 0, vậy (–7; 0) không là nghiệm của bất phương trình.

Vậy có 1 cặp số là nghiệm của bất phương trình.

Câu 10.

Đáp án đúng là: A

Sử dụng công thức: sin (180° – α) = sin α và cos (180° – α) = – cos α.

Ta có: sin 30° = sin150°; cos15° = – cos165°

P = sin30°.cos15° + sin150°.cos165° = sin30°.cos15° – sin30°.cos15° = 0.

Câu 11.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

Phủ định của ∃ là ∀.

Phủ định của “là số chính phương” là “không là số chính phương”.

Vậy mệnh đề phủ định   của mệnh đề P là: “∀x, x² + 2x + 3 không là số chính phương”.

Câu 12.

Đáp án đúng là: A

Xét bất phương trình 2x² + 1 ≥ y + 2x² ⇔ 2x² + 1 – 2x² – y ≥ 0 ⇔ 0x – y ≥ – 1  (1)

Bất phương trình (1) có hai ẩn x, y có lũy thừa bậc cao nhất là bậc một và các hệ số a = 0, b = –1, c = – 1.

Do đó, đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chú ý: Đáp án B không thỏa mãn vì ta biến đổi đưa về được 5 < 3 (vô lí).

Đáp án C, D bậc của các ẩn không phải bậc nhất.

Câu 13.

Đáp án đúng là: B

Định lí côsin:

Trong tam giác ABC: a² = b² + c² – 2bccosA.

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 14.

Đáp án đúng là: B

Ta có: x(x – 2)(x – 3) = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\\ x=3\end{array}\right.$ .

Vì x ∈ ℕ^* nên ta loại nghiệm x = 0.

Do đó tập hợp D gồm 2 phần tử là 2 và 3.

Vậy D = {2; 3}.

Câu 15.

Đáp án đúng là: C

Xét hệ $\left\{\begin{array}{l}3x+2y>2–x\\ 3x–y<4y\end{array}\right.$ta có:

3x + 2y > 2 – x ⇔ 4x + 2y > 2 là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn;

3x – y <  4y ⇔ 3x – 5y < 0 là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Do đó, $\left\{\begin{array}{l}3x+2y>2–x\\ 3x–y<4y\end{array}\right.$là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Câu 16.

Đáp án đúng là: C

Các công thức tính diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}$ bcsinA = $\frac{\text{abc}}{\text{4R}}$  = pr = $\sqrt{\text{p(p }-\text{ a)(p }-\text{ b)(p }-\text{ c)}}$.

Trong đó, S = $\sqrt{\text{p(p }-\text{ a)(p }-\text{ b)(p }-\text{ c)}}$ là công thức Heron.

Do đó C sai.

Câu 17.

Đáp án đúng là: A

Ta có sin A = sin 45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , suy ra đáp án sai là A.

cos A = cos 45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

tan A = tan 45° = 1;

cot A = cot 45° = 1.

Vậy các đáp án B, C, D đúng.

Câu 18.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

3x + 2(y + 3) > 4(x + 1) – y + 3

⇔ 3x + 2y + 6 > 4x + 4 – y + 3

⇔ 3x + 2y + 6 – 4x – 4 + y – 3 > 0

⇔ –x + 3y – 1 > 0

Xét cặp số (x₀; y₀) = (–3; 0) và bất phương trình –x + 3y – 1 > 0  ta có:

–(–3) + 3.0 – 1  = 2 > 0

Do đó, cặp số (–3; 0) là một nghiệm của bất phương trình: 3x + 2(y + 3) > 4(x + 1) – y + 3.

Câu 19.

Đáp án đúng là: D

Gọi x là phần tử của tập hợp B, ta có:

+ Tập hợp B gồm các số tự nhiên nên x ∈ ℕ.

+ Tập hợp B gồm các số tự nhiên bé hơn 20 và chia hết cho 4 nên x < 20 và x ⁝ 4.

Do đó tập hợp B được viết dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó như sau:

B = {x ∈ ℕ | x < 20 và x ⁝ 4}.

Câu 20.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC, ta có

$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\iff \frac{\sin B}{\sin C}=\frac{AC}{AB}$

 

Từ $\frac{\sin B}{\sin C}=\sqrt{3}$  suy ra $\frac{AC}{AB}=\sqrt{3}$

$\iff AC=AB\sqrt{3}=2\sqrt{2}.\sqrt{3}=2\sqrt{6}$.

Câu 21.

Đáp án đúng là: D

Tập hợp K là tập hợp các phần tử thuộc [1; 7) nhưng không thuộc (– 3; 5).

Ta xác định tập hợp K bằng cách vẽ trục số như sau: Trên cùng một trục số, tô đậm nửa khoảng [1; 7) và gạch bỏ khoảng (–3; 5), sau đó bỏ luôn các khoảng chưa được tô hoặc đánh dấu. Phần tô đậm không bị gạch bỏ chính là tập hợp K.

Vậy K = [1 ; 7) \ (– 3 ; 5) = [5 ; 7).

Câu 22.

Đáp án đúng là: D

+) Bất phương trình x – y + 2 > 0 có:

Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng x – y + 2 = 0 và 0 – 0 + 2 = 2 > 0 nên miền nghiệm của bất phương trình x – y + 2 > 0 là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x – y + 2 = 0 (không kể bờ) chứa điểm (0; 0).

+) Bất phương trình y + 2 > 0 có:

Điểm (0; 0) không nằm trên đường thẳng y + 2 = 0 và 0 + 2 = 2 > 0 nên miền nghiệm của bất phương trình y + 2 > 0 là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng y + 2 = 0 (không kể bờ) chứa điểm (0; 0).

Miền màu trắng trong hình vẽ là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x – y + 2 > 0\\ y + 2 > 0\end{array}\right.$ .

Câu 23.

Đáp án đúng là: C

Ta biểu diễn hai nửa khoảng M = (0; 2], N = [1; 4) lên cùng một trục số. Phần không bị gạch chính là giao của hai tập hợp M và N.

Do đó, M ∩ N = (0; 2] ∩ [1; 4) = [1; 2].

Hiển nhiên, M ∩ N là một tập con của tập số thực ℝ.

Do đó, E = C_ℝ(M ∩ N) = ℝ \ (M ∩ N).

Ta có biểu diễn:

Tập hợp ℝ \ (M ∩ N) là tập hợp các phần tử thuộc ℝ nhưng không thuộc M ∩ N.

Vậy E = C_ℝ(M ∩ N) = ℝ \ (M ∩ N) = (– ∞; 1) ∪ (2; +∞).

Câu 24.

Đáp án đúng là: C

Xét mệnh đề “Nếu tứ giác là một hình thoi thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn”, ta có:

P: “Tứ giác là một hình thoi”.

Q: “Tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P được phát biểu như sau:

“Nếu một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn thì tứ giác đó là hình thoi”.

Đối chiếu với các đáp án, ta thấy mệnh đề ở câu C là phù hợp nhất.

Câu 25.

Đáp án đúng là: C

Tam giác ABC có: ${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2–2.\mathrm{AB}.\mathrm{AC}.\mathrm{cosA}$ (định lí côsin)

Thay số: ${\mathrm{BC}}^2=4^2+8^2–2.4.8.\cos 30°$

Do đó: BC ≈ 5.

Ta có: $\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{sinA}}=2R$ (định lí sin) $\Rightarrow \mathrm{R}=\frac{\mathrm{BC}}{2\mathrm{sinA}}\approx \frac{5}{2.\sin 30°}=5$ .

Câu 26.

Đáp án đúng là: D

Sử dụng cos²α + sin²α = 1 ⇒ 

⇒ tan²α $=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{6}}=$5  và cot²α = $\frac{{\cos }^2\alpha }{si{n}^2\alpha }=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{6}}=\frac{1}{5}$.

⇒ 1 + tan²α = 1 + 5 = 6 và 1 + cot²α = 1 + $\frac{1}{5}$ = $\frac{6}{5}$ .

Vậy đáp án D đúng.

Câu 27.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

P: “Hai tam giác bằng nhau”.

Q: “Hai tam giác đó đồng dạng”.

Ta thấy định lý trên có dạng P ⇒ Q có thể được phát biểu dưới dạng điều kiện cần như sau:

Q là điều kiện cần để có P.

Do đó định lý đã cho được phát biểu dưới dạng điều kiện cần là:

Hai tam giác đồng dạng là điều kiện cần để hai tam giác đó bằng nhau.

Câu 28.

Đáp án đúng là: D

– Trên mặt phẳng Oxy vẽ đường thẳng Δ: x – 3y + 3 = 0 đi qua hai điểm A$\left(1;\frac{4}{3}\right)$ và B(0; 1).

– Xét gốc tọa độ O(0; 0). Ta thấy O không nằm trên đường thẳng Δ và 0 – 3.0 + 3 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng Δ (không kể bờ), chứa gốc tọa độ O.

Câu 29.

Đáp án đúng là: A

+) Vì số nguyên tố là những số chỉ chia hết cho số 1 và chính nó nên 24 không phải là số nguyên tố.

Vì vậy mệnh đề (1) là mệnh đề sai.

+) Ta có: x² – 5x + 9 = 0 có ∆ = (– 5)² – 4 . 9 = – 11 < 0 nên phương trình này vô nghiệm.

Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.

+) Vì phương trình x² + 1 = 0 vô nghiệm nên mệnh đề (3) là mệnh đề sai.

+) Mệnh đề (4) là mệnh đề đúng vì số lẻ không chia hết cho 2.

Vậy có 1 mệnh đề đúng.

Câu 30.

Đáp án đúng là: B

Gọi số cây rau cải bạn Vân trồng được là x cây, số cây rau muống bạn Vân trồng được là y cây nên ta có: x ≥ 0; y ≥ 0.

Thời gian Vân trồng x cây rau cải là: 5x (phút)

Thời gian Vân trồng y cây rau muống là: 7y (phút)

Bạn Vân có tối đa 120 phút để trồng rau trong vườn nên ta có: 5x + 7y ≤ 120

Vậy các bất phương trình mô tả điều kiện của bài toán là:

5x + 7y ≤ 120; x ≥ 0; y ≥ 0.

Câu 31.

Đáp án đúng là: A

Trong ∆ABC, ta có 0° < $\frac{A}{2}$ < 90°, và 0° < B < 180°.

Do đó cos $\frac{A}{2}$  > 0, và sin B > 0.

Vậy P = cos$\frac{A}{2}$ . sin B > 0.

Câu 32.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác OCD vuông tại D có OD = AB = 55 (m); $\widehat{COD}=60°$ .

Nên CD = OD. tan$\widehat{COD}$ = 55$\sqrt{3}$ ≈ 95,26 (m).

Vậy chiều cao của tháp là: 95,26 + 2 = 97,26 (m).

Câu 33.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\tan }^2\alpha +1=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$.

$\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{{\tan }^2\alpha +1}=\frac{1}{{\left(-2\sqrt{2}\right)}^2+1}=\frac{1}{9}$

$\Rightarrow \cos \alpha =\pm \frac{1}{3}$

Vì 0° < α < 180° ⇒ sinα > 0 mà $\tan \alpha =-2\sqrt{2}$  < 0 nên cosα < 0.

Do đó $\cos \alpha =-\frac{1}{3}$ .

Câu 34.

Đáp án đúng là: D

Xét điểm (1; 2) và hệ $\left\{\begin{array}{l}2x+3y-15<0\\ x+y>0\end{array}\right.$  ta có:

2.1 + 3.2 – 15 = –7 < 0

1 + 2 = 3 > 0

Do đó, điểm (1; 2) nằm trong miền nghiệm của hệ bất phương trình  $\left\{\begin{array}{l}2x+3y-15<0\\ x+y>0\end{array}\right.$

Câu 35.

Đáp án đúng là: C

Trong tam giác ABC có: $\widehat{C}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right)=180°-\left(30°+75°\right)=75°$ .

Suy ra tam giác ABC cân tại A, suy ra AB = AC = 5.

Do đó diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.5.5.}\sin 30°=\frac{25}{4}$ .

III. Hướng dẫn giải chi tiết tự luận

Câu 1.

Hướng dẫn giải

– Biểu diễn tập hợp A trên trục số ta có:

– Biểu diễn tập hợp B trên trục số ta có:

+) Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.

Do đó, A ∪ B = (0; 4).

+) Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp các phần tử vừa thuộc A và vừa thuộc B.

Do đó, A ∩ B = (2; 3).

+) Vì hiệu của tập hợp A và B là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.

Mà nhìn vào trục số trên ta thấy nửa khoảng (0; 2] thuộc tập hợp A, không thuộc tập hợp B do đó hiệu của A và B gồm các phần tử nằm trong nửa khoảng (0; 2].

Vậy A \ B = (0; 2].

+ Ta có: C_ℝA = ℝ \ A.

Ta có ℝ \ A là tập hợp tất cả các phần tử thuộc ℝ mà không thuộc tập hợp A.

Vậy C_ℝA = ℝ \ A = (–∞; 0] ∪ [3; +∞).

Câu 2.

Hướng dẫn giải

Gọi x, y lần lượt là số tấn sản phẩm loại A, B mà phân xưởng sản xuất trong 1 ngày (x ≥ 0, y ≥ 0).

Khi đó, số tiền lãi một ngày là: F(x; y) = 2x + 1,6y (triệu đồng).

Số giờ làm việc trong ngày của máy loại 1 là 3x + y.

Số giờ làm việc trong ngày của máy loại 2 là x + y.

Vì máy loại 1 làm việc không quá 6 giờ một ngày, máy loại 2 làm việc không quá 4 giờ 1 ngày nên ta có hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+y\le 6\\ x+y\le 4\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$ .

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC không bị gạch trong hình vẽ.

Ta có:

F(0; 0) = 2 . 0 + 1,6 . 0 = 0;

F(2; 0) = 2 . 2 + 1,6 . 0 = 4;

F(1; 3) = 2 . 1 + 1,6 . 3 = 6,8;

F(0; 4) = 2 . 0 + 1,6 . 4 = 6,4.

Do đó F(x; y) lớn nhất bằng 6,8 khi (x; y) = (1; 3).

Vậy để thu được lãi lớn nhất phải sản xuất 1 tấn sản phẩm loại A và 3 tấn sản phẩm loại B.

Câu 3.

Hướng dẫn giải

Giả sử tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B$.

Suy ra: $\sin A=\frac{2S}{bc}$; $\sin B=\frac{2S}{ac}$; $\sin C=\frac{2S}{ab}$ .

Lại có: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ ; $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ (định lí côsin).

Do đó, ta có:

 sin B . cos C + sin C . cos B 

= $\frac{2S}{ac}.\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{2S}{ab}.\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

$=\frac{S}{a^{2}bc}\left(a^2+b^2-c^2+a^2+c^2-b^2\right)$

$=\frac{S}{a^{2}bc}.2a^2=\frac{2S}{bc}=\sin A$.

Vậy sinA = sin B . cos C + sin C . cos B.

Đề thi giữa kì 1 Toán lớp 10 Kết nối tri thức có đáp án năm 2023 – 2024 – Đề 3

Phòng Giáo dục và Đào tạo …..

Đề thi Giữa Học kì 1 – Kết nối tri thức

Năm học 2023 – 2024

Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề số 3)

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1. Cho các câu sau:

(1) Số 7 là số lẻ.

(2) Bài toán này khó quá!

(3) Cuối tuần này bạn có rảnh không?

(4) Số 10 là một số nguyên tố.

Trong các câu trên có bao nhiêu câu là mệnh đề?

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Câu 2. Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x – 2 > 5” là

A. “∃x ∈ ℝ, x – 2 ≤ 5”;

B. “∃x ∈ ℝ, x – 2 ≥ 5”;

C. “∀x ∈ ℝ, x – 2 ≤ 5”;

D. “∀x ∈ ℝ, x – 2 ≥ 5”.

Câu 3. Liệt kê các phần tử của tập hợp A = {n ∈ ℕ| 3 < n < 8} ta được

A. A = {4; 5; 6; 7; 8};

B. A = {3; 4; 5; 6; 7; 8};

C. A = {3; 4; 5; 6; 7};

D. A = {4; 5; 6; 7}.

Câu 4. Xác định tập hợp B = {3; 6; 9; 12; 15} bằng cách nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

A. B = {3n | n ∈ ℕ, 1 ≤ n ≤ 5};

B. B = {n | n ⁝ 3};

C. B = {3n | n ∈ ℕ, 1 < n < 5};

D. B = {n | n ∈ ℕ, 0 ≤ n ≤ 5}.

Câu 5. Cho hai tập hợp A = (– ∞; – 2] và B = (– 3; 5]. Tìm mệnh đề sai.

A. A ∩ B = (– 3; – 2];

B. A \ B = (– ∞; – 3);

C. A ∪ B = (– ∞; 5];

D. B \ A = (– 2; 5].

Câu 6. Cho hai tập hợp H = {n ∈ ℕ | n là bội của 2 và 3}, K = {n ∈ ℕ | n là bội của 6}. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. K ⊂ H;

B. H ⊂ K;

C. ∃n: n ∈ H và n ∉ K;

D. H = K.

Câu 7. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?

A. 12 là số nguyên tố;

B. 9 là số nguyên tố;

C. 4 là số nguyên tố;

D. 5 là số nguyên tố.

Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo sai?

A. Tam giác ABC cân thì tam giác đó có 2 cạnh bằng nhau;

B. Số tự nhiên a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 2 và 3;

C. Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB song song với CD;

D. Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=90°$.

Câu 9. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. 4x² + 3y > 4;

B. xy + 2x < 6;

C. 3²x + 2³y ≥ 3;

D. x + y³ < 2.

Câu 10. Điểm nào dưới đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y < 10?

A. (5; 1);

B. (4; 2);

C. (1; 5);

D. (1; 2).

Câu 11. Tam giác ABC có $\widehat{A}=35°,\widehat{B}=25°$. Giá trị của cosC bằng

A. $-\frac{1}{2}$;

B. – 2;

C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

D. $\frac{1}{2}$. 

Câu 12. Trong tam giác EFG, chọn mệnh đề đúng.

A. EF² = EG² + FG² + 2EG . FG . cosG;

B. EF² = EG² + FG² + 2EG . FG . cosE;

C. EF² = EG² + FG² – 2EG . FG . cosE;

D. EF² = EG² + FG² – 2EG . FG . cosG.

Câu 13. Tam giác ABC có BC = 6, AC = 7, AB = 8. Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC là

A. $\frac{\sqrt{2}}{15}$;

B. $\frac{\sqrt{15}}{2}$;

C. $\frac{8}{\sqrt{15}}$;

D. $\frac{\sqrt{8}}{15}$.

Câu 14. Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5, $\cos A=\frac{3}{5}$. Độ dài đường cao h_a của tam giác ABC là

A. $\frac{\text{7}\sqrt{2}}{2}$;                                

B. 8;                                       

C. $\text{8}\sqrt{3}$;                                  

D. $\text{80}\sqrt{3}$.

Câu 15. Với giá trị nào của x sau đây, mệnh đề chứa biến P(x): “x² – 5x + 4 = 0” là mệnh đề đúng?

A. 0;

B. 1;

C. 5;

D. $\frac{4}{5}$.

Câu 16. Trong các hệ bất phương trình sau, hệ bất phương trình nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. x − y > 0;         

B. $\left\{\begin{array}{c}{x}^2-4\ge 0\\ 3x+4y<2\end{array}\right.$;   

C. $\left\{\begin{array}{c}{y}^2+2y-3>0\\ 5x-y>2\end{array}\right.$;                  

D. $\left\{\begin{array}{c}x-4\ge y\\ 3x+4y<2\end{array}\right.$.   

Câu 17. Giá trị của biểu thức S = 2 + sin² 90° + 2cos² 60° − 3tan² 45° bằng:

A. $\frac{1}{2}$;

B. $-\frac{1}{2}$;

C. 1;

D. 3.

Câu 18. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, có R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và h_c là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh C. Chọn mệnh đề sai.

A. S_ABC = absinC;

B. S_ABC = $\frac{1}{2}c.h_c$;

C. S_ABC = pr;

D. S_ABC = $\frac{abc}{4R}$.

Câu 19. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}7x-5y+2\ge 0\\ y-2x-5<0\end{array}\right.$. Trong các điểm sau đây, điểm không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình là

A. O(0; 0);            

B. A(2; 3);            

C. B(5; 4);            

D. C(−2; −2) .

Câu 20. Tam giác ABC có $\widehat{B}$= 60°, $\widehat{C}$= 45° và AB = 7. Tính độ dài cạnh AC.

A. AC = $\frac{5\sqrt{6}}{2}$;

B. AC = $\frac{7\sqrt{6}}{2}$;

C. AC = $7\sqrt{2}$;

D. AC = 10.

Câu 21. Cho mệnh đề: “Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1”. Phát biểu mệnh đề trên bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện đủ”.

A. a + b < 2 là điều kiện đủ để một trong hai số a và b nhỏ hơn 1;

B. Một trong hai số a và b nhỏ hơn 1 là điều kiện đủ để a + b < 2;

C. Từ a + b < 2 suy ra một trong hai số a và b nhỏ hơn 1;

D. Tất cả các câu trên đều đúng.

Câu 22. Phần không bị gạch trên hình vẽ dưới đây minh họa cho tập hợp nào?

A. (0; 1);

B. (1; + ∞);

C. [1; + ∞);

D. (0; 1].

Câu 23. Cho α và β là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?

A. sin α = sin β;

B. cos α = – cos β;

C. tan α = – tan β;

D. cot α = cot β.

Câu 24. Cho hai tập hợp A = {1; 2; 4; 6} và B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. Xác định tập C_BA.

A. C_BA = {1; 2; 4; 6};

B. C_BA = {4; 6};

C. C_BA = {3; 5; 7; 8};

D. C_BA = {2; 6; 7; 8}.

Câu 25. Miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là phần tô đậm của hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau (kể cả bờ)?

A. ;

B. ;

C. ;

D. .

Câu 26. Tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, AC = $2\sqrt{7}$. Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB. Tính độ dài cạnh AM.

A. AM = $4\sqrt{2}$;

B. AM = 3;

C. AM = $2\sqrt{3}$;

D. AM = $3\sqrt{2}$.

Câu 27. Cho góc α (0° < α < 180°) thỏa mãn sin α + cos α = 1. Giá trị của tan α là

A. 0;

B. 1;

C. – 1;

D. Không tồn tại.

Câu 28. Miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch trong hình vẽ bên (kể cả đường thẳng d)?

A. 2x − y ≤ 2;

B. 2x − 3y ≤ 0;                

C. 2x + y < 2;                 

D. 2x − y > 2.

Câu 29. Cho góc α (0° < α < 180°) thỏa mãn tan α = $\frac{1}{3}$.

Giá trị của biểu thức P = $\frac{\sin \alpha +3\cos \alpha }{2\sin \alpha -5\cos \alpha }$ là

A. $\frac{13}{10}$;

B. $-\frac{13}{10}$;

C. $-\frac{10}{13}$;

D. $\frac{10}{13}$.

Câu 30. Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy bơm A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 1 triệu đồng và 2 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 100 triệu đồng. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hằng tháng sẽ không vượt quá 50 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy bơm loại A là x và số máy bơm loại B là y. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị các điều kiện của bài toán và một nghiệm của hệ này là

A. $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 50\\ x+2y\le 100\end{array}\right.$ và (10; 20) là một nghiệm của hệ;

B. $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 50\\ x+2y\le 100\end{array}\right.$ và (50; 20) là một nghiệm của hệ;

C. $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y<50\\ x+2y\le 100\end{array}\right.$ và (10; 20) là một nghiệm của hệ;

D. $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y<50\\ x+2y<100\end{array}\right.$ và (50; 20) là một nghiệm của hệ;

Câu 31. Một ca nô xuất phát từ cảng A, chạy theo hướng đông với vận tốc 50 km/h. Cùng lúc đó, một tàu cá, xuất phát từ A, chạy theo hướng N30°E với vận tốc 40 km/h. Sau 3 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu kilômét?

A. 135,7 km;

B. 110 km;

C. 137,5 km;

D. 237,5 km.

Câu 32. Cho bất phương trình 2x − 3y < 12 (với x, y Î ℝ). Điều nào sau đây là sai ?

A. Đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn;

B. Cặp số (5; 3) là nghiệm của bất phương trình;              

C. Cặp số (9; 2) là nghiệm của bất phương trình;              

D. Cặp số (9; 3) là nghiệm của bất phương trình.

Câu 33. Cho sin 15° = $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$. Khi đó sin 75° = x, cos 105° = y. Giá trị của biểu thức P = x + y là

A. $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$;

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

C. $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}$;

D. $2\sqrt{2}$.

Câu 34. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$ là

A. Một nửa mặt phẳng;

B. Miền tam giác;

C. Miền tứ giác;

D. Miền ngũ giác.

Câu 35. Một công ty nhập về 1 tấn gỗ để sản xuất bàn và ghế. Biết một cái bàn cần 30 kg gỗ và một cái ghế cần 15 kg gỗ. Gọi x và y lần lượt là số bàn và số ghế mà công ty sản xuất. Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y sao cho lượng bàn ghế mà công ty sản xuất không vượt quá 1 tấn gỗ ?

A. 30x + 50y < 1 000;              

B. 30x + 50y ≤ 1 000;               

C. 30x + 50y > 1 000;               

D. 30x + 50y ≥ 1 000.

II. Tự luận (3 điểm)

Câu 1. Cho hai tập hợp sau:

A = {x ∈ ℝ | |x| ≤ 3} và B = {x ∈ ℝ | – 2 < x ≤ 5}.

a) Viết hai tập hợp trên dưới dạng khoảng, đoạn.

b) Xác định các tập hợp sau: A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B \ A.

Câu 2. Hai chiếc tàu thủy M và N cách nhau 500 m. Từ M và N thẳng hàng với chân A của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển, người ta thấy chiều cao AB của tháp dưới một góc $\widehat{AMB}=30°$; $\widehat{ANB}=45°$.

Tính chiều cao AB của tháp.

Câu 3. Xác định dạng của tam giác ABC biết S = p(p – a) với BC = a, AC = b, AB = c, S là diện tích tam giác ABC và p là nửa chu vi tam giác.

ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 3

I. Bảng đáp án trắc nghiệm

1. B	2. A	3. D	4. A	5. B	6. C	7. D
8. C	9. C	10. D	11. A	12. D	13. B	14. A
15. B	16. D	17. A	18. A	19. D	20. B	21. A
22. C	23. D	24. C	25. A	26. C	27. D	28. A
29. C	30. A	31. C	32. C	33. B	34. B	35. B

II. Hướng dẫn giải chi tiết trắc nghiệm

Câu 1.

Đáp án đúng là: B

Câu (1) là một mệnh đề vì đây là một khẳng định đúng.

Câu (2), câu (3) không là mệnh đề vì đây là các câu cảm thán và câu hỏi, không xác định tính đúng sai.

Câu (4) là một mệnh đề vì đây là một khẳng định sai.

Vậy trong các câu đã cho có 2 câu là mệnh đề.

Câu 2.

Đáp án đúng là: A

Phủ định của ∀ là ∃;

Phủ định của > là ≤.

Do đó, mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ ℝ, x – 2 > 5” là mệnh đề “∃x ∈ ℝ, x – 2 ≤ 5”.

Câu 3.

Đáp án đúng là: D

Ta có: A = {n ∈ ℕ| 3 < n < 8}.

Khi đó tập hợp A gồm các phần tử là các số tự nhiên lớn hơn 3 và nhỏ hơn 8, đó là các số: 4, 5, 6, 7.

Vậy ta viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử ta được:

A = {4; 5; 6; 7}.

Câu 4.

Đáp án đúng là: A

Tập hợp B gồm các phần tử, 3, 6, 9, 12, 15, đây đều là các số tự nhiên chia hết cho 3, ta viết các số này dưới dạng 3n, n ∈ ℕ, 1 ≤ n ≤ 5.

Vậy ta viết tập hợp B dưới dạng nêu tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp ta được:

B = {n | n ∈ ℕ, 1 ≤ n ≤ 5}.

Câu 5.

Đáp án đúng là: B

Biểu diễn các tập hợp A và B như sau:

Khi đó ta xác định được:

A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B} = (– 3; – 2];

A \ B = {x | x ∈ A và x ∉ B} = (– ∞; – 3];

A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B} = (– ∞; 5];

B \ A = {x | x ∈ B và x ∉ A} = (– 2; 5].

Vậy mệnh đề sai là mệnh đề ở đáp án B.

Câu 6.

Đáp án đúng là: C

Ta có: H = {n ∈ ℕ | n là bội của 2 và 3} nên H là tập hợp bội chung (là số tự nhiên) của 2 và 3, do đó mọi phần tử của H đều chia hết cho BCNN(2, 3), mà BCNN(2, 3) = 6. Vậy mọi phần tử của tập H đều chia hết cho 6.

Lại có: K = {n ∈ ℕ | n là bội của 6} nên K là tập hợp các bội (là số tự nhiên) của 6 hay mọi phần tử của tập K đều chia hết cho 6.

Do vậy, H = K.

Khi đó các mệnh đề H = K, K ⊂ H, H ⊂ K đều đúng.

Vậy mệnh đề ở đáp án C là mệnh đề sai.

Câu 7.

Đáp án đúng là: D

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.

Trong các số 12, 9, 4, 5, chỉ có số 5 là số nguyên tố.

Vậy mệnh đề “5 là số nguyên tố” là mệnh đề đúng.

Câu 8.

Đáp án đúng là: C

+) Mệnh đề đảo của mệnh đề “tam giác ABC cân thì tam giác đó có 2 cạnh bằng nhau” là mệnh đề “tam giác ABC có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó cân”. Đây là mệnh đề đúng.

+) Mệnh đề đảo của mệnh đề “số tự nhiên a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 2 và 3” là mệnh đề “số tự nhiên a chia hết cho 2 và 3 thì số tự nhiên a chia hết cho 6”. Đây là mệnh đề đúng vì BCNN(2, 3) = 6.

+) Mệnh đề đảo của mệnh đề “nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB song song với CD” là mệnh đề “nếu tứ giác ABCD có AB song song với CD thì tứ giác ABCD là hình bình hành”. Đây là mệnh đề sai vì nếu tứ giác ABCD có AB // CD thì tứ giác ABCD mới là hình thang, cần thêm điều kiện AB = CD nữa thì tứ giác ABCD mới là hình bình hành.

+) Mệnh đề đảo của mệnh đề “nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=90°$” là mệnh đề “nếu tứ giác ABCD có $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=90°$ thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật”. Đây là mệnh đề đúng theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

Vậy trong các mệnh đề đã cho, mệnh đề ở đáp án C có mệnh đề đảo sai.

Câu 9.

Đáp án đúng là: C

+) Bất phương trình ở đáp án A không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì ẩn x có bậc là 2.

+) Bất phương trình ở đáp án B không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa tích xy.

+) Bất phương trình ở đáp án C là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì 3²x + 2³y = 9x + 8y, khi đó bất phương trình đã cho trở thành 9x + 8y ≥ 3, có dạng ax + by ≥ c nên đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 

+) Bất phương trình ở đáp án D không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì ẩn y có bậc là 3.

Câu 10.

Đáp án đúng là: D

+) Thay x = 5, y = 1 vào biểu thức 3x + 2y ta được: 3 . 5 + 2 . 1 = 17 > 10.

Do đó, điểm (5; 1) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y < 10.

+) Thay x = 4, y = 2 vào biểu thức 3x + 2y ta được: 3 . 4 + 2 . 2 = 16 > 10.

Do đó, điểm (4; 2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y < 10.

+) Thay x = 1, y = 5 vào biểu thức 3x + 2y ta được: 3 . 1 + 2 . 5 = 13 > 10.

Do đó, điểm (1; 5) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y < 10.

+) Thay x = 1, y = 2 vào biểu thức 3x + 2y ta được: 3 . 1 + 2 . 2 = 7 < 10.

Do đó, điểm (1; 2) thuộc miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2y < 10.

Câu 11.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ABC, ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$.

Suy ra

$\widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}=180°-35°-25°=120°$.

Áp dụng bảng lượng giác của một số góc đặc biệt ta có:

cosC = cos120° = $-\frac{1}{2}$.

Câu 12.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí côsin trong tam giác EFG, ta có:

EF² = EG² + FG² – 2EG . FG . cosG.

Câu 13.

Đáp án đúng là: B

Nửa chu vi tam giác ABC là:

p = (BC + AC + AB) : 2 = (6 + 7 + 8) : 2 = $\frac{21}{2}$.

Diện tích của tam giác ABC là:

S = $\sqrt{p\left(p-BC\right)\left(p-AC\right)\left(p-AB\right)}$     (công thức Hê-rông)

$=\sqrt{\frac{21}{2}.\left(\frac{21}{2}-6\right).\left(\frac{21}{2}-7\right).\left(\frac{21}{2}-8\right)}$

$=\frac{21\sqrt{15}}{4}$.

Lại có, S = pr với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Do đó, r = $\frac{S}{p}$ $=\frac{\frac{21\sqrt{15}}{4}}{\frac{21}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$.

Câu 14.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=7^2+5^2-\mathrm{2.7.5.}\frac{3}{5}=32$

$\Rightarrow a=4\sqrt{2}.$ 

Mặt khác: ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$

$\Rightarrow {\sin }^{2}A=1-{\cos }^{2}A=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$

$\Rightarrow \sin A=\frac{4}{5}$ (Vì sin A > 0).

Mà: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}b.c.\sin A=\frac{1}{2}a.h_a$

$\Rightarrow h_a=\frac{bc\sin A}{a}=\frac{\mathrm{7.5.}\frac{4}{5}}{4\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}$.

Câu 15.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

P(0) = 0² – 5 . 0 + 4 = 4;

P(1) = 1² – 5 . 1 + 4 = 0;

P(5) = 5² – 5 . 5 + 4 = 4;

P$\left(\frac{4}{5}\right)$ = ${\left(\frac{4}{5}\right)}^2-5.\frac{4}{5}+4=\frac{16}{25}$.

Vậy với x = 1 thì mệnh đề chứa biến P(x): “x² – 5x + 4 = 0” là mệnh đề đúng.

Câu 16.

Đáp án đúng là: D

Ta thấy hệ $\left\{\begin{array}{c}x-4\ge y\\ 3x+4y<2\end{array}\right.$ có hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho nên đáp án D thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 17.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, ta có:

S = 2 + sin² 90° + 2cos² 60° − 3tan² 45°

= 2 + (sin 90°)² + 2(cos 60°)² – 3(tan 45°)²

= 2 + 1² + 2.${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$− 3.1² = $\frac{1}{2}$.

Câu 18.

Đáp án đúng là: A

Các công thức tính diện tích tam giác ABC:

S_ABC = $\frac{1}{2}c.h_c=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{abc}{4R}=pr$.

Do đó, đáp án A sai.

Câu 19.

Đáp án đúng là: D

+ Lần lượt thay các cặp số (0; 0), (2; 3), (5; 4) vào các bất phương trình của hệ đã cho, ta thấy đều thỏa mãn, do đó (0; 0), (2; 3), (5; 4) là các nghiệm của hệ đã cho.

Vậy các điểm O, A, B thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}7x-5y+2\ge 0\\ y-2x-5<0\end{array}\right..$

+ Thay cặp số (−2 ; −2) vào bất phương trình thứ nhất của hệ ta được:

7 . (−2) − 5 . (−2) + 2 ≥ 0 là mệnh đề sai (do 7 . (−2) − 5 . (−2) + 2 = – 2 < 0).

Do đó (−2 ; −2) không là nghiệm của bất phương trình thứ nhất của hệ nên nó không là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Vậy điểm C(−2 ; −2) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Câu 20.

Đáp án đúng là: B

Theo định lý sin trong tam giác ABC, ta có:

Câu 21.

Đáp án đúng là: A

Mệnh đề P ⇒ Q đúng thì ta nói P là điều kiện đủ để có Q.

Do đó, ta phát biểu mệnh đề “nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1” bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện đủ” như sau: “a + b < 2 là điều kiện đủ để một trong hai số a và b nhỏ hơn 1”.

Câu 22.

Đáp án đúng là: C

Quan sát hình vẽ ta thấy phần không bị gạch là phần phía bên phải của điểm 1 trên trục số, bao gồm cả điểm 1 (do có dấu “[”), do đó phần không bị gạch biểu diễn các số thực x sao cho x ≥ 1, do đó phần không bị gạch trên hình vẽ minh họa cho tập hợp [1; + ∞).

Câu 23.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng mối liên hệ hai góc bù nhau, ta có:

sin α = sin β; cos α = – cos β; tan α = – tan β; cot α = – cot β.

Vậy đáp án A, B, C đúng và đáp án D sai.

Câu 24.

Đáp án đúng là: C

Ta có: C­_BA = B \ A = {x| x ∈ B, x ∉ A} = {3; 5; 7; 8}.

Các phần tử thuộc tập B nhưng không thuộc tập A là: 3; 5; 7; 8.

Vậy C­_BA = {3; 5; 7; 8}.

Câu 25.

Đáp án đúng là: A

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 như sau:

+) Vẽ đường thẳng x + y = 2 đi qua 2 điểm (2; 0) và (0; 2) trên mặt phẳng tọa độ.

+) Lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng x + y = 2.

+) Ta có: 0 + 0 = 0 < 2.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng x + y = 2 chứa điểm O (là phần tô đậm ở đáp án A).

Câu 26.

Đáp án đúng là: C

Theo hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

cosB =$\frac{A{B}^2+B{C}^2–A{C}^2}{2.AB.BC}=\frac{4^2+6^2–{\left(2\sqrt{7}\right)}^2}{2.4.6}=\frac{1}{2}$.

Do MC = 2MB Þ MB = $\frac{1}{3}$BC = $\frac{1}{3}$ . 6 = 2.

Theo định lí côsin trong tam giác AMB, ta có:

AM² = AB² + BM² – 2.AB.BM.cosB = 4² + 2² – 2.4.2.$\frac{1}{2}$= 12

Þ AM = $2\sqrt{3}$.

Câu 27.

Đáp án đúng là: D

Ta có: sin α + cos α = 1

⇒ (sin α + cos α)² = 1²

⇔ sin² α + 2 sin α . cos α + cos² α = 1

Mà sin² α + cos² α = 1. Do đó, sin α . cos α = 0.

Từ đó suy ra sin α = 0 hoặc cos α = 0.

Lại có 0° < α < 180°, do đó sin α ≠ 0.

Vậy cos α = 0. Khi đó không tồn tại tan α.

Câu 28.

Đáp án đúng là: A

Gọi phương trình đường thẳng d có dạng: y = ax + b.

Đường thẳng d đi qua điểm (1; 0) và (0; −2) nên ta có hệ phương trình:

Vậy d: y = 2x − 2  hay d: 2x  − y − 2 = 0.

Thay tọa độ điểm (0 ; 1) thuộc miền nghiệm (miền không bị gạch) vào biểu thức 2x – y – 2 ta được: 2 . 0 − 1 − 2 = −3 < 0.

Vậy miền nghiệm được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch (kể cả đường thẳng d) là miền nghiệm của bất phương trình 2x − y − 2 ≤ 0 hay 2x − y  ≤ 2.

Câu 29.

Đáp án đúng là: C

Vì 0° < α < 180° và tan α = $\frac{1}{3}$ nên cos α ≠ 0.

Chia cả tử và mẫu của P cho cos α, ta được:

P = $\frac{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+3\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }}{2\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-5\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }}$ = $\frac{\tan \alpha +3}{2\tan \alpha -5}=\frac{\frac{1}{3}+3}{2.\frac{1}{3}-5}=-\frac{10}{13}$.

Câu 30.

Đáp án đúng là: A

Trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy bơm loại A là x và số máy bơm loại B là y, do đó x ≥ 0, y ≥ 0.

Do tổng nhu cầu hằng tháng sẽ không vượt quá 50 máy nên x + y ≤ 50.

Giá mỗi chiếc máy bơm A là 1 triệu đồng nên giá x chiếc máy bơm A là x triệu đồng, giá mỗi chiếc máy bơm B là 2 triệu đồng nên giá y chiếc máy bơm B là 2y triệu đồng. Mà số vốn ban đầu không vượt quá 100 triệu đồng nên x + 2y ≤ 100.

Vậy ta có hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 50\\ x+2y\le 100\end{array}\right.$.

+) Với x = 10 > 0, y = 20 > 0 thì x + y = 10 + 20 = 30 < 50 và x + 2y = 10 + 2. 20 = 50 < 100, do đó cặp số (10; 20) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.

+) Với x = 50, y = 20 thì x + y = 50 + 20 = 70 > 50, do đó cặp số (50; 20) không là nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Vậy ta chọn đáp án A. 

Câu 31.

Đáp án đúng là: C

Hướng N30°E là hướng tạo với hướng bắc một góc 30° và tạo với hướng đông một góc 90° – 30° = 60°. Khi đó, ta có hình vẽ sau:

Với A là vị trí cảng, ca nô đi theo hướng đông từ A đến B, sau 3 giờ ca nô đi được quãng đường là AB = 50 . 3 = 150 (km).

Tàu cá chạy theo hướng N30°E từ A đến C, sau 3 giờ tàu cá đi được quãng đường là AC = 40 . 3 = 120 (km).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB . AC . cos60°

= 150² + 120² – 2 . 150 . 120 . $\frac{1}{2}$ = 18 900

Suy ra BC = $30\sqrt{21}\approx 137,5$ (km).

Vậy sau 3 giờ hai tàu cách nhau khoảng 137,5 km.

Câu 32.

Đáp án đúng là: C

+ Bất phương trình 2x – 3y < 12 có dạng ax + by < c nên đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Do đó, đáp án A đúng.

+ Thay cặp số (5; 3) vào bất phương trình 2x − 3y < 12 ta được:

2 . 5 − 3 . 3 < 12 ⇔ 1 < 12 (luôn đúng)

Vậy cặp số (5; 3) là nghiệm của bất phương trình.

Do đó, đáp án B đúng.

+ Thay cặp số (9; 2) vào bất phương trình 2x − 3y < 12 ta được:

2 . 9 − 3 . 2 < 12 ⇔ 12 < 12 (vô lí)

Vậy cặp số (9; 2) không là nghiệm của bất phương trình.

Do đó, đáp án C là sai.

+ Thay cặp (9; 3) vào bất phương trình 2x − 3y < 12 ta được:

2 . 9 − 3 . 3 < 12 ⇔ 9 < 12 (luôn đúng)

Vậy cặp số (9; 3) là nghiệm của bất phương trình.

Do đó, đáp án D đúng.

Câu 33.

Đáp án đúng là: B

Cách 1:

Ta có: sin 15° = $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, suy ra cos 15° = $\sqrt{1-{\sin }^{2}15°}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Khi đó, x = sin 75° = sin (90° – 15°) = cos 15° = $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Và y = cos 105° = cos (180° – 75°) = – cos 75° = – cos (90° – 15°) = – sin 15°

= $-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.

Vậy P = x + y = $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Cách 2: Sử dụng MTCT.

Câu 34.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$.

Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên, ta làm như sau:

+) Xác định miền nghiệm của bất phương trình y – 2x ≤ 2.

– Vẽ đường thẳng d₁: y − 2x = 2 trên mặt phẳng tọa độ.

– Tọa độ của điểm O(0; 0) thỏa mãn 0 – 2 . 0 = 0 < 2 nên miền nghiệm của bất phương trình y – 2x ≤ 2 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa gốc tọa độ.

+) Xác định miền nghiệm của bất phương trình 2y – x ≥ 4.

– Vẽ đường thẳng d₂: 2y − x = 4 trên mặt phẳng tọa độ.

– Tọa độ của điểm O(0; 0) thỏa mãn 2 . 0 – 0 = 0 < 4 nên miền nghiệm của bất phương trình 2y – x ≥ 4 là nửa mặt phẳng bờ d₂ không chứa gốc tọa độ.

+) Xác định miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5.

– Vẽ đường thẳng d₃: x + y = 5 trên mặt phẳng tọa độ.

– Tọa độ của điểm O(0; 0) thỏa mãn 0 + 0 = 0 < 5 nên miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5 là nửa mặt phẳng bờ d₃ chứa gốc tọa độ.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác ABC (kể cả biên) như hình vẽ trên.

Câu 35.

Đáp án đúng là: B

Đổi 1 tấn = 1 000 kg

Số gỗ để sản xuất x bàn là 30x (kg).

Số gỗ để sản xuất y ghế là 15y (kg)

Số gỗ để sản xuất x bàn và y ghế là 30x + 15y (kg)

Vì lượng bàn ghế mà công ty sản xuất không được vượt quá 1 tấn gỗ nên

30x + 15y ≤ 1 000.

III. Hướng dẫn giải chi tiết tự luận

Câu 1.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: |x| ≤ 3 ⇔ – 3 ≤ x ≤ 3.

Do đó, A = {x ∈ ℝ | |x| ≤ 3} = {x ∈ ℝ | – 3 ≤ x ≤ 3} = [– 3; 3].

B = {x ∈ ℝ | – 2 < x ≤ 5} = (– 2; 5].

b) A ∪ B = [– 3; 3] ∪ (– 2; 5] = [– 3; 5]

 A ∩ B = [– 3; 3] ∩ (– 2; 5] = (– 2; 3]

A \ B = [– 3; 3] \ (– 2; 5] = [– 3; – 2]

B \ A = (– 2; 5] \ [– 3; 3] = (3; 5].

Câu 2.

Hướng dẫn giải

 Ta có:

$\widehat{MNB}=180°-\widehat{BNA}=180°-45°=135°$

$\Rightarrow \widehat{MBN}=180°-\widehat{BNM}-\widehat{BMN}=180°-135°-30°=15°$.

Áp dụng định lí sin vào tam giác BMN ta có:

$\frac{MN}{\sin \widehat{MBN}}=\frac{BN}{\sin \widehat{BMN}}$

$\Rightarrow BN=\sin \widehat{BMN}.\frac{MN}{\sin \widehat{MBN}}$ $=\sin 30°.\frac{500}{\sin 15°}$ ≈ 965,93 (m)

Xét tam giác BNA vuông tại A có: 

AB = BN. sin $\widehat{BNA}$ ≈ 965,93 . sin 45° ≈ 683 (m).

Vậy tháp AB cao khoảng 683 m.

Câu 3.

Hướng dẫn giải

Nửa chu vi tam giác p = $\frac{1}{2}$(a + b + c).

Ta có: $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$ (công thức Hê-rông).

Lại có: S = p(p – a)          (giả thiết)

Suy ra: p(p – a) = $\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$

$\iff \sqrt{p\left(p-a\right)}=\sqrt{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$      (do p(p – a) > 0)

$\iff p^2-pa=p^2-pb-pc+bc$

$\iff p\left(b+c-a\right)-bc=0$

$\iff \frac{1}{2}\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)-bc=0$

$\iff \frac{1}{2}\left[{\left(b+c\right)}^2-a^2\right]-bc=0$

$\iff \frac{1}{2}\left(b^2+2bc+c^2-a^2\right)-bc=0$

$\iff \frac{1}{2}{b}^2+\frac{1}{2}{c}^2-\frac{1}{2}{a}^2+\frac{1}{2}.2bc-bc=0$

$\iff \frac{1}{2}\left(b^2+c^2-a^2\right)=0$

$\iff a^2=b^2+c^2$.

Do đó tam giác ABC vuông tại A (theo định lí Pythagore đảo).

Đề thi giữa kì 1 Toán lớp 10 Kết nối tri thức có đáp án năm 2023 – 2024 – Đề 4

Phòng Giáo dục và Đào tạo …..

Đề thi Giữa Học kì 1 – Kết nối tri thức

Năm học 2023 – 2024

Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề số 4)

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1. Trong các câu sau, câu nào không phải mệnh đề?

A. 8 là số chính phương;

B. 2 là số chẵn;                      

C. Buồn ngủ quá!                   

D. Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Câu 2. Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng R. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

A. $\frac{a}{\sin A}=2R$;                         

B. $b=\frac{a\sin B}{\sin A}$;                          

C. c = 2Rsin(A + B);      

D. b = RsinA.

Câu 3. Cho tập A = {0; 1}. Tập A có bao nhiêu tập con?

A. 3;                                       

B. 6;                                       

C. 4;                                       

D. 2.

Câu 4. Điểm A(– 1; 3) là điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình:

A. – 3x + 2y – 4 > 0;

B. x + 3y < 0;

C. 3x – y > 0;

D. 2x – y + 4 > 0.

Câu 5. Với giá trị nào của x mệnh đề chứa biến P(x): 2x² – 1 < 0 là mệnh đề đúng:

A. 1;

B. 5;

C. 0;

D. $\frac{4}{5}$.

Câu 6. Cho α và β là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?

A. sin α = sin β;

B. cos α = – cos β;

C. tan α = – tan β;

D. cot α = cot β.

Câu 7. Hệ nào dưới đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. $\left\{\begin{array}{l}x-2y\le 0\\ x+3y\ge -2\end{array}\right.$ ;

B. $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-2y>0\\ x+3y<-2\end{array}\right.$ ;

C. $\left\{\begin{array}{l}x-2y\le 0\\ x+3y^2\le -2\end{array}\right.$ ;                          

D. $\left\{\begin{array}{l}x-2y<0\\ x^2+3y>-2\end{array}\right.$.

Câu 8. Giá trị của sin 60° + cos 30° bằng bao nhiêu?

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$;                

B. $\sqrt{3}$;                                          

C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$;                 

D. 1.

Câu 9. Cho tập hợp A = [3; 7). Hãy chọn đáp án đúng.

A. A = {x ∈ ℝ | 3 < x ≤ 7};

B. A = {x ∈ ℝ | 3 ≤ x < 7};

C. A = {x ∈ ℝ | 3 < x < 7};

D. A = {x ∈ ℝ | 3 ≤ x ≤ 7}.

Câu 10. Phần tô đậm trong hình vẽ sau, biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

A. 2x – y < 3;

B. 2x – y > 3;

C. x – 2y < 3;

D. x – 2y > 3.

Câu 11. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b + c = 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A. cos B + cos C = 2cos A;          

B. sin B + sin C = 2sin A;

C. sin B + sin C = $\frac{1}{2}\sin A$;          

D. sin B + cos C = 2sin A.

Câu 12. Cho A = [0; 5], B = (– ∞; 2). Biểu diễn trên trục số của tập hợp C_ℝ(A ∩ B)  là hình nào?

A. ;                     

B. ;                     

C. ;                      

D. .

Câu 13. Cho 0° < α < 180°, biết $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$. Tính tan α.

A.  $\frac{5}{4}$;                             

B. $-\frac{5}{2}$ ;                           

C.  $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ;                         

D. $-\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Câu 14. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}2x-5y-1>0\\ 2x+y+5>0\\ x+y+1<0\end{array}\right.$. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?

A. O(0; 0);

B. M(1; 0);

C. N(0; – 2);

D. P(0; 2).

Câu 15. Độ dài trung tuyến m_c ứng với cạnh c của DABC bằng biểu thức nào sau đây

A. $\frac{b^2+a^2}{2}-\frac{c^2}{4}$;                           

B. $\sqrt{\frac{b^2+a^2}{2}+\frac{c^2}{4}}$;

C. $\frac{1}{2}\sqrt{\left(2b^2+a^2\right)-c^2}$;                 

D. $\sqrt{\frac{b^2+a^2-c^2}{4}}$.

Câu 16. Cho A là tập hợp các hình tứ giác; B là tập hợp các hình bình hành; C là tập hợp các hình thoi; D là tập hợp các hình vuông. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?

(I) C ⊂ B ⊂ A;

(II) C ⊂ D ⊂ A;

(III) D ⊂ B ⊂ A.

A. (I);

B. (II);

C. (III);

D. (I) và (III).

Câu 17. Tam giác ABC có a = 16,8; $\widehat{B}$ = 56°13′; $\widehat{C}$ = 71°. Cạnh c bằng bao nhiêu?

A. 29,9;                

B. 14,1;                

C. 17,5;                

D. 19,9.

Câu 18. Phủ định của mệnh đề $“\exists x\in ℝ:x^2<0“$là

A. $\forall x\in ℝ:x^2\le 0$;                                                

B. $\exists x\in ℝ:x^2\le 0$;                  

C. $\forall x\in ℝ:x^2<0$;                                                

D. $\forall x\in ℝ:x^2\ge 0$.

Câu 19. Cho biết cot α = 5. Tính giá trị của E = 2 cos² α + 5 sin α cos α + 1?

A. $\frac{10}{26}$;                   

B. $\frac{100}{26}$;                                        

C. $\frac{50}{26}$;                 

D. $\frac{101}{26}$.

Câu 20. Miền nghiệm của bất phương trình – x + 2 + 2(y – 2) < 2 (1 – x) là nửa mặt phẳng không chứa điểm nào trong các điểm sau?

A. (0; 0);

B. (1; 1);

C. (4; 2);

D. (1; – 1).

Câu 21. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $ℝ\backslash \left(-\infty ;3\right]=\left(3;+\infty \right)$;        

B. $\left[-2;4\right)\cup \left[4;+\infty \right)=\left[-2;\infty \right)$;

C. $\left[1;7\right]\cap \left(7;10\right)=\varnothing$;           

D. $\left[1;5\right]\backslash \left(0;7\right)=\left[-1;0\right)$.

Câu 22. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y-1>0\\ y\ge 2\\ -x+2y>3\end{array}\right.$ là phần không tô đậm của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau?

A. ;

B. ;

C. ;

D. .

Câu 23. Cho tam giác ABC thoả mãn : b² + c² – a² = $\sqrt{3}bc$. Khi đó :

A. $\widehat{A}$ = 30°;         

B. $\widehat{A}$ = 45°;         

C. $\widehat{A}$ = 60°;         

D. $\widehat{A}$ = 75°.

Câu 24. Viết tập hợp A = {x | x ∈ ℕ, (x² – 5x + 6)(x – 1)(x + 3) = 0} bằng cách liệt kê các phần tử:

A. A = {1; 2; 3};

B. A = {– 1; 1; 2; 3};

C. A = {– 3; 1; 2; 3};

D. A = {– 3; – 1; 1; 2; 3}.

Câu 25. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Tam giác ABC là tam giác đều ⇔ Tam giác ABC cân;

B. Tam giác ABC là tam giác đều ⇔ Tam giác ABC có ba góc bằng nhau;

C. Tam giác ABC là tam giác đều ⇔ Tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau;

D. Tam giác ABC là tam giác đều ⇔ Tam giác ABC cân và có một góc bằng 60°.

Câu 26. Một tam giác có ba cạnh là 26, 28, 30. Bán kính đường tròn nội tiếp là: 

A. 16;                  

B. 8;                     

C. 4;                     

D. 4$\sqrt{2}$.

Câu 27. Bất phương trình nào dưới đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. 2x² + y – 3 < 0;

B. 5x + 3y² < 3;

C. 3²x + 9y ≤ 4²;

D. x² + xy – 4y < 5.

 Câu 28. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?

A. sin 0° + cos 0° = 1;                                          

B. sin 90° + cos 90° = 1;                                      

C. sin 180° + cos 180° = – 1;                                                

D. $\sin 60°+\cos 60°=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.

Câu 29. Cho mệnh đề: “Nếu a là số tự nhiên thì a là số hữu tỉ không âm”. Phát biểu mệnh đề đảo và xét tính đúng sai của mệnh đề này.

A. “Nếu a là số hữu tỉ không âm thì a là số tự nhiên”, đây là mệnh đề sai;

B. “Nếu a là số hữu tỉ không âm thì a là số tự nhiên”, đây là mệnh đề đúng;

C. “Nếu a là số tự nhiên không âm thì a là số hữu tỉ”, đây là mệnh đề sai;

D. “Nếu a là số hữu tỉ thì a là số tự nhiên không âm”, đây là mệnh đề đúng.

Câu 30. Cho hai góc nhọn α và β (α < β). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. cos α < cos β;

B. sin α < sin β;

C. tan α + tan β > 0;

D. cot α > cot β;

Câu 31. Giá trị lớn nhất F_max của biểu thức F(x; y) = x + 2y trên miền xác định bởi hệ $\left\{\begin{array}{l}0\le y\le 4\\ x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}\right.$ là

A. F_max = 6;        

B. F_max = 8;        

C. F_max = 10;       

D. F_max = 12.

Câu 32. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78°24′. Biết CA = 250 m, CB = 120 m. Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ?

A. 266 m;             

B. 255 m;             

C. 166 m;             

D. 298 m.

Câu 33. Cho bất phương trình x + y < 5. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d: x + y = 5 chứa gốc tọa độ;

B. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d: x + y = 5 không chứa gốc tọa độ;

C. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d: x + y = – 5 chứa gốc tọa độ;

D. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d: x + y = – 5 không chứa gốc tọa độ.

Câu 34. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Với mọi số thực x, nếu x < – 3 thì x² > 9;

B. Với mọi số thực x, nếu x² < 9 thì x < – 3;

C. Với mọi số thực x, nếu x < – 3 thì x² < 9;

D. Với mọi số thực x, nếu x² > 9 thì x > – 3.

Câu 35. Điểm nào dưới đây không thuộc miền nghiệm của bất phương trình 2x – 3y > 15?

A. (1; – 5);

B. (2; – 5);

C. (3; – 3);

D. (10; 1).

II. Tự luận (3 điểm)

Câu 1. Cho 2 tập hợp A = (– 1; 4), B = (m – 1; 2m + 1].

a) Khi m = 2, hãy tìm A ∪ B, A ∩ B.

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để B ⊂ A.

Câu 2. Để đo chiều cao của tháp có đỉnh A, chân tháp là B, người ta đứng dưới mặt đất quan sát ở hai điểm C và D sao cho B, C, D thẳng hàng (như hình vẽ).

Qua đo đạc, ta thu được DC = 20 m, α = 58°; β = 47°. Chiều cao của tháp gần nhất với kết quả nào dưới đây?

Câu 3. Cho tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c. Chứng minh rằng:

$\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{c^2+b^2-a^2}$.

Đề thi giữa kì 1 Toán lớp 10 Kết nối tri thức có đáp án năm 2023 – 2024 – Đề 5

Phòng Giáo dục và Đào tạo …..

Đề thi Giữa Học kì 1 – Kết nối tri thức

Năm học 2023 – 2024

Môn: Toán 10

Thời gian làm bài: 90 phút

(Đề số 5)

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1. Trong các câu sau, có bao nhiêu câu là mệnh đề?

a) 6x + 1 > 3.

b) Phương trình x² + 3x – 1 = 0 có nghiệm.

c) ∀x ∈ ℝ, 5x > 1.

d) Năm 2018 là năm nhuận.

e) Hôm nay thời tiết đẹp quá!

A. 4;                                       

B. 1;   

C. 2;                                       

D. 3.

Câu 2. Cho hai tập hợp A = (1; 4]  và B = (2; 5]. Xác định tập hợp A ∩ B.

A. (1; 2);

B. (2; 4);                                

C. (2; 4];

D. [2; 4).

Câu 3. Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề sau: “Mọi con voi đều không biết bay”.

A. Con voi nào cũng biết bay;

B. Chỉ có một con voi biết bay;                             

C. Chỉ có một con voi không biết bay;                  

D. Có ít nhất một con voi biết bay.

Câu 4. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

A. $\sin 150°=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;          

B. $\cos 150°=\frac{\sqrt{3}}{2}$;   

C. tan$150°=-\frac{1}{\sqrt{3}}$;                       

D. $\cot 150°=\sqrt{3}$.

Câu 5. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. 2x² + 3y > 0;

B. x² + y² < 2;

C. x + y² ≥ 0; 

D. x + y ≥ 0.

Câu 6. Cho tam giác ABC có  a² + b² – c² > 0. Khi đó:

A. Góc C > 90°;   

B. Góc C < 90°;   

C. Góc C = 90°;   

D. Không thể kết luận được gì về góc C.

Câu 7. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+3y-2\ge 0\\ 2x+y+1\le 0\end{array}\right.$. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?

A. M(0; 1);

B. N(– 1; 1);

C. P(1; 3);

D. Q(– 1; 0).

Câu 8. Tập hợp A = [0; 2] là tập con của tập hợp nào dưới đây?

A. (0; 3);

B. (– 2; 1);

C. (– 1; 2];

D. (– 1; 1).

Câu 9. Trong các cặp số sau đây, cặp nào không thuộc nghiệm của bất phương trình: x – 4y + 5 > 0.

A. (– 5; 0);

B. (– 2; 1);

C. (0; 0);

D. (1; – 3).

Câu 10. Cho $∆$ABC với a = 17,4; $\hat{B}$ = 44°33′; $\hat{C}$ = 64°. Cạnh b bằng bao nhiêu ?

A. 16,5;                

B. 12,9; 

C. 15,6;                

D. 22,1.

Câu 11. Cho góc α tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A. sin α < 0;         

B. cos α > 0;           

C. tan α > 0;         

D. cot α < 0.

Câu 12. Miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là phần tô đậm trong hình vẽ của hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau?

A.  ;

B.  ;

C.  ;

D.  .

Câu 13. Cho tập hợp E = {x ∈ ℤ, |x| ≤ 2}. Tập hợp E được viết dưới dạng liệt kê các phần tử là

A. E = {– 2; – 1; 1; 2};

B. E = {– 1; 0; 1};

C. E = {0; 1; 2};

D. E = {– 2; – 1; 0; 1; 2}.

Câu 14. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề chứa biến?

A. 18 là số chính phương;

B. Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau;

C. (x² + x) ⁝ 5, x ∈ ℕ;

D. 9 là số nguyên tố.

Câu 15. Cho tập hợp A = [– 5; 3).  Tập C_ℝA là

A. $\left(-\infty ;-5\right)$;                           

B. $\left(5;+\infty \right)$;                             

C. $\left[3;+\infty \right)$;                             

D. $\left(-\infty ;-5\right)\cup \left[3;+\infty \right)$.

Câu 16. Cho DABC vuông tại A, góc B bằng 30°. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\cos B=\frac{1}{\sqrt{3}}$;     

B. $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$;    

C. $\cos C=\frac{1}{2}$;       

D. $\sin B=\frac{1}{2}$.

Câu 17. Tam giác ABC có a = 8, c = 3, $\widehat{B}$ = 60°. Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu ?

A. 49;                  

B. $\sqrt{\text{97}}$;               

C. 7;                     

D. $\sqrt{61}$.

Câu 18. Điểm M(0; – 3) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

A. $\left\{\begin{array}{l}2x-y\le 3\\ 2x+5y\le 12x+8\end{array}\right.$ ;                  

B. $\left\{\begin{array}{l}2x-y>3\\ 2x+5y\le 12x+8\end{array}\right.$;                   

C. $\left\{\begin{array}{l}2x-y>-3\\ 2x+5y\le 12x+8\end{array}\right.$;                   

D. $\left\{\begin{array}{l}2x-y\le -3\\ 2x+5y\ge 12x+8\end{array}\right.$.

Câu 19. Cho phương trình ax + b = 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu phương trình có nghiệm thì a ≠ 0;

B. Nếu phương trình có nghiệm thì b ≠ 0;

C. Nếu phương trình vô nghiệm thì a = 0;

D. Nếu phương trình vô nghiệm thì b = 0.

Câu 20. Cho tập $A=\left(-\infty ;-3\right];B=\left(2;+\infty \right);C=\left(0;4\right)$. Khi đó $\left(A\cup B\right)\cap C$là

A. $\left\{x\in ℝ|2\le x\le 4\right\}$;                                           

B. $\left\{x\in ℝ|2<x\le 4\right\}$;             

C. $\left\{x\in ℝ|2<x<4\right\}$;                                            

D. $\left\{x\in ℝ|2\le x<4\right\}$.

Câu 21. Một tam giác có ba cạnh là 13, 14, 15. Diện tích tam giác bằng bao nhiêu ?

A. 84;                  

B. $\sqrt{84}$;               

C. 42;                   

D. $\sqrt{168}$.

Câu 22. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. cos 60° = sin 30°;

B. cos 60° = sin 120°;

C. cos 30° = sin 120°;

D. sin 60° = – cos 120°.

Câu 23. Cặp số (2; 3) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây ?

A. 2x – 3y – 1 > 0;                                                    

B. x – y < 0;       

C. 4x > 3y;                                     

D. x – 3y + 7 < 0.

Câu 24. Tìm mệnh đề sai.

A. Hình thang ABCD nội tiếp đường tròn (O) ⇔ ABCD là hình thang cân;    

B. 63 chia hết cho 7 ⇒ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc; 

C. Tam giác ABC vuông tại C ⇔ AB² = AC² + BC²;                           

D. 10  chia hết cho 5 ⇒ Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc nhau.

Câu 25. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng?

A. $\left\{x\in ℝ|x^2-4x+3=0\right\}$;                                

B. $\left\{x\in \mathbb{Z}|6x^2-7x+1=0\right\}$;                               

C. $\left\{x\in \mathbb{Q}|x^2-4x+2=0\right\}$;                                

D. $\left\{x\in \mathbb{Z}|\left|x\right|<1\right\}$.

Câu 26. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo là sai?

A. Tam giác ABC cân thì tam giác có hai cạnh bằng nhau;

B. Số thực a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 2 và 3;

C. Tứ giác ABCD là hình bình hành thì AB song song với CD;

D. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác có ba góc vuông.

Câu 27. Cho biết $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $E=\frac{\cot \alpha +3\tan \alpha }{2\cot \alpha +\tan \alpha }$ ?

A. $-\frac{19}{13}$;                  

B. $\frac{19}{13}$;                                          

C. $\frac{25}{13}$;                 

D. $-\frac{25}{13}$.

Câu 28. Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y<0\\ x+3y>-2\\ y-x<3\end{array}\right.$ là phần không tô đậm của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau?

A. ;

B. ;

C. ;

D. .

Câu 29. Tam giác với ba cạnh là 5; 12; 13 có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ?

A. 2;                    

B. 2$\sqrt{2}$;               

C. 2$\sqrt{3}$;               

D. 3.

Câu 30. Cho bất phương trình 2x + 3y – 6 ≤ 0 (1). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Bất phương trình (1) chỉ có một nghiệm duy nhất;

B. Bất phương trình (1) vô nghiệm;

C. Bất phương trình (1) luôn có vô số nghiệm;

D. Bất phương trình (1) có tập nghiệm là ℝ.

Câu 31. Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?

A. ${\sin }^2\alpha +\cos {\alpha }^2=1$;                                             

B. ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\frac{\alpha }{2}=1$;

C. $\sin {\alpha }^2+\cos {\alpha }^2=1$;                                           

D. ${\sin }^{2}2\alpha +{\cos }^{2}2\alpha =1$.

Câu 32. Miền nghiệm của bất phương trình: 3(x – 1) + 4(y – 2) < 5x – 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm:

A. (0; 0);

B. (– 4; 2);

C. (– 2; 2);

D. (– 5; 3).

Câu 33. Tam giác ABC có a = 6; $b=4\sqrt{2}$; c = 2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 3. Độ dài đoạn AM bằng bao nhiêu ?

A. $\sqrt{9}$;                 

B. 9;                     

C. 3;                     

D. $\frac{1}{2}\sqrt{108}$.

Câu 34. Giá trị nhỏ nhất F_min của biểu thức F(x; y) = y – x trên miền xác định bởi hệ $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$ là

A. F_min = 1;

B. F_min = 2;

C. F_min = 3;

D. F_min = 4.

Câu 35. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 60°. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30 km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ 40 km/h. Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?

A. 13;                   

B. 15$\sqrt{13}$;           

C. 10$\sqrt{13}$;           

D. 15.

II. Tự luận (3 điểm)

Câu 1. Cho A = [– 3; 5) ∩ [0; 6), B = (– ∞; 3] ∪ (2; 8].

a) Xác định A, B.

b) Có bao nhiêu số nguyên dương n thỏa mãn “n thuộc tập B và n không thuộc tập A”.

Câu 2. Một nhà máy sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất sản phẩm A và sản phẩm B trong một chu trình sản xuất. Để sản xuất một tấn sản phẩm A lãi 4 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 1 giờ, máy II trong 2 giờ và máy III trong 3 giờ. Để sản xuất ra một tấn sản phẩm B lãi được 3 triệu đồng người ta sử dụng máy I trong 6 giờ, máy II trong 3 giờ và máy III trong 2 giờ. Biết rằng máy I chỉ hoạt động không quá 36 giờ, máy hai hoạt động không quá 23 giờ và máy III hoạt động không quá 27 giờ. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà máy để tiền lãi được nhiều nhất.

Câu 3. Cho a², b², c² là độ dài các cạnh của một tam giác nào đó và a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC. Khi đó, tam giác ABC là tam giác gì?

Ma trận đề thi giữa học kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức

Môn: Toán, Lớp 10 – Thời gian làm bài: 90 phút

 

TT	Nội dung kiến thức	Đơn vị kiến thức	Mức độ nhận thức								Tổng			% tổng điểm
			Nhận biết		Thông hiểu		Vận dụng		Vận dụng cao		Số CH		Thời gian (phút)
			Số CH	Thời gian (phút)	Số CH	Thời gian (phút)	Số CH	Thời gian (phút)	Số CH	Thời gian (phút)	TN	TL
1	1. Mệnh đề. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp	1.1. Mệnh đề	3	4	3	6		8		11	6	1	29
		1.2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp	3	5	3	6	1				6
2	2. Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn	2.1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn	3	5	3	6					6	1	18
		2.2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn	3	5	1	2	1*				4
3	3. Hệ thức lượng trong tam giác	3.1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°	4	7	2	4		8			6	1	43
		3.2. Hệ thức lượng cơ bản trong tam giác	4	7	3	6	1*		1		7
Tổng			20	33	15	30	2	16	1	11	35	3	90
Tỉ lệ (%)			40		30		20		10					100
Tỉ lệ chung (%)			70				30							100

 

Lưu ý:

– Các câu hỏi ở cấp độ nhận biết và thông hiểu là các câu hỏi trắc nghiệm khách quan 4 lựa chọn, trong đó có duy nhất 1 lựa chọn đúng.

– Các câu hỏi ở cấp độ vận dụng và vận dụng cao là các câu hỏi tự luận.

– Số điểm tính cho 1 câu trắc nghiệm là 0,2 điểm/câu; số điểm của câu tự luận được quy định trong hướng dẫn chấm nhưng phải tương ứng với tỉ lệ điểm được quy định trong ma trận.

– Trong nội dung kiến thức:

+ (1*) Chỉ được chọn một câu mức độ vận dụng ở một trong các nội dung 2.2 hoặc 3.2.

 Bảng đặc tả kĩ thuật đề kiểm tra giữa kỳ 1

Môn: Toán 10 – Thời gian làm bài: 90 phút

    

TT	Nội dung kiến thức	Đơn vị kiến thức	Mức độ kiến thức, kĩ năng cần kiểm tra, đánh giá	Số câu hỏi theo mức độ nhận thức
				Nhận biết	Thông hiểu	Vận dụng	Vận dụng cao
1	1. Mệnh đề. Tập hợp	1.1. Mệnh đề	Nhận biết: – Biết thế nào là một mệnh đề, mệnh đề phủ định , mệnh đề chứa biến. – Biết kí hiệu phổ biến ($\forall$) và kí hiệu tồn tại ($\exists$). – Biết được mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương. Thông hiểu: – Biết lấy ví dụ mệnh đề, phủ định một mệnh đề, xác định được tính đúng sai của các mệnh đề trong những trường hợp đơn giản. – Biết lập mệnh đề đảo của một mệnh đề cho trước. – Phân biệt được điều kiện cần và điều kiện đủ, giả thiết và kết luận. – Nêu được ví dụ mệnh đề kéo theo và mệnh đề tương đương.	3	3	0	0
		1.2. Tập hợp	Nhận biết: – Biết cho tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp hoặc chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp. Thông hiểu: – Biết biểu diễn các khoảng, đoạn trên trục số. – Hiểu được khái niệm tập hợp, tập hợp con, tập hợp bằng nhau. – Hiểu các phép toán giao của hai tập hợp, hợp của hai tập hợp, phần bù của một tập con. – Sử dụng đúng các kí hiệu $\in$, $\notin$, $\subset$, $\supset$, $\varnothing$, A\B, CEA. – Hiểu được các kí hiệu ℕ*, ℕ, ℤ, ℚ, ℝ và mối quan hệ giữa các tập hợp đó. – Hiểu đúng các kí hiệu (a; b); [a; b]; (a; b]; [a; b); (– $\infty$; a); (– $\infty$; a]; (a; +$\infty$); [a; +$\infty$); (– $\infty$; +$\infty$).  Vận dụng: – Thực hiện được các phép toán lấy giao của hai tập hợp, hợp của hai tập hợp, hiệu của của hai tập hợp, phần bù của một tập con. – Biết dùng biểu đồ Ven để biểu diễn giao của hai tập hợp, hợp của hai tập hợp.	3	3	1	0
2	2.  Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn	2.1. Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn	Nhận biết: – Biết khái niệm Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn – Biết xác định miền nghiệm của 1 bất phương trình bậc nhất 2 ẩn trên mặt phẳng tọa độ. Thông hiểu: –  Biết biểu diễn miền nghiệm của 1 bất phương trình bậc nhất 2 ẩn trên mặt phẳng tọa độ.	3	3	0	0
		2.2. Hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn	Nhận biết: – Biết khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn – Biết xác định miền nghiệm của 1 hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn trên mặt phẳng tọa độ. Thông hiểu: –  Biết tìm miền nghiệm của 1 hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn trên mặt phẳng tọa độ. – Biết sử dụng miền nghiệm để giải bài toán thực tế, tìm GTLN, GTNN	3	1	1*	0
3	3.  Hệ thức lượng trong tam giác	3.1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°	Nhận biết: – Biết được giá trị lượng giác của 1 góc. – Tìm được các giá trị lượng giác của 1 góc. – Nắm được mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của 2 góc bù nhau Thông hiểu: – Biết sử dụng kiến thức đã học để chứng minh 1 đẳng thức lượng giác. – Tính được giá trị của các biểu thức liên quan.	4	2	0	0
		3.2. Hệ thức lượng cơ bản trong tam giác	Nhận biết: Nắm được: – Định lý côsin – Định lý sin trong tam giác. – Các công thức tính diện tích tam giác. Thông hiểu: – Tính góc từ công thức của định lý côsin và định lý sin trong tam giác. – Suy ra được công thức tính bán kính đường tròn nội và ngoại tiếp, đường cao của tam giác từ công thức tính diện tích. Vận dụng: Giải các bài toán thực tế: tìm độ cao của cái cây, của ngọn núi… Vận dụng cao: Chứng minh các đẳng thức liên quan đến góc, cạnh, trung tuyến của 1 tam giác; nhận dạng tam giác khi biết 1 đẳng thức có liên quan.	4	3	1*	1
Tổng				20	15	2	1