30 câu Trắc nghiệm Chương 9: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng (Chân trời sáng tạo 2023) có đáp án - Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Chương 9: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Câu 1. Cho $\vec{u} = (4; 5)$ và $\vec{v} = (3; a)$ . Tìm a để $\vec{u} ⊥ \vec{v}$ .

A. $a = \frac{12}{5}$ ;

B. $a = - \frac{12}{5}$ ;

C. $a = \frac{5}{12}$ ;

D. $a = - \frac{5}{12}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\vec{u} ⊥ \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{v} = 0$

⇔ 4.3 + 5.a = 0

⇔ 12 + 5a = 0

⇔ 5a = –12

$\Leftrightarrow a = - \frac{12}{5}$

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(5; 2). Tọa độ điểm D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD là:

A. (3; –2);

B. (5; 0);

C. (3; 0);

D. (5; –2).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Với A(–1; 1), B(1; 3), C(5; 2) và D(x_D; y_D) ta có:

+) $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}) = (1 - (- 1); 3 - 1) = (2; 2)$ .

+) $\vec{D C} = (x_{C} - x_{D}; y_{C} - y_{D}) = (5 - x_{D}; 2 - y_{D})$ .

Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔ $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

$\Leftrightarrow (\begin{matrix} 2 = 5 - x_{D} \\ 2 = 2 - y_{D} \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x_{D} = 3 \\ y_{D} = 0 \end{matrix})$ .

Ta suy ra tọa độ D(3; 0).

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 3. Cho hai điểm A(6; –1) và B(x; 9). Giá trị của x để khoảng cách giữa A và B bằng $5 \sqrt{5}$ là:

A. x ∈ ∅;

B. x = 1;

C. x = 11;

D. x = 11 hoặc x = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$

Suy ra $A B = \sqrt{{(x - 6)}^{2} + {(9 + 1)}^{2}} = \sqrt{{(x - 6)}^{2} + 10^{2}}$

Theo đề, ta có AB = $5 \sqrt{5}$ .

⇔ x² – 12x + 36 + 100 = 125

⇔ x² – 12x + 11 = 0

⇔ x = 11 hoặc x = 1.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC có A(–4; 1), B(2; 4), C(2; –2). Tọa độ trọng tâm I của ∆ABC là:

A. I(1; 0);

B. I(0; 1);

C. I(–1; 0);

D. I(0; –1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có I là trọng tâm của ∆ABC.

Do đó $(\begin{matrix} x_{I} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{- 4 + 2 + 2}{3} = 0 \\ y_{I} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{1 + 4 - 2}{3} = 1 \end{matrix})$

Suy ra I(0; 1).

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 5. Cho $\vec{a} = (1; 2)$ , $\vec{b} = (- 2; 3)$ . Góc giữa hai vectơ $\vec{u} = 3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ và $\vec{v} = \vec{a} - 5 \vec{b}$ bằng

A. 45°;

B. 60°;

C. 90°;

D. 135°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với $\vec{a} = (1; 2)$ , $\vec{b} = (- 2; 3)$ ta có:

+) $3 \vec{a} = (3.1; 3.2) = (3; 6)$ , $2 \vec{b} = (2. (- 2); 2.3) = (- 4; 6)$ .

Suy ra $\vec{u} = 3 \vec{a} + 2 \vec{b} = (3 - 4; 6 + 6) = (- 1; 12)$ .

+) $\vec{a} = (3; 4)$ , $5 \vec{b} = (5. (- 2); 5.3) = (- 10; 15)$ .

Suy ra $\vec{v} = \vec{a} - 5 \vec{b} = (3 - (- 10); 4 - 15) = (13; - 11)$ .

Ta có: $\cos (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{(\vec{u}) . (\vec{v})}$

$= \frac{- 1.13 + 12. (- 11)}{\sqrt{{(- 1)}^{2} + 12^{2}} . \sqrt{13^{2} + {(- 11)}^{2}}}$

$= \frac{- 145}{\sqrt{145} . \sqrt{290}} = - \frac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra $(\vec{u}, \vec{v}) = 135 °$ .

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC có A(–3; 0), B(3; 0) và C(2; 6). Gọi H(a; b) là trực tâm của ∆ABC. Giá trị của a + 6b bằng:

A. 3;

B. 6;

C. 7;

D. 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+ Với A(–3; 0), B(3; 0), C(2; 6) và H(a; b) ta có:

• $\vec{B C} = (- 1; 6), \vec{A C} = (5; 6)$ .

• $\vec{A H} = (a + 3; b), \vec{B H} = (a - 3; b)$ .

+ Vì H là trực tâm của ∆ABC nên AH ⊥ BC.

Suy ra $\vec{A H} ⊥ \vec{B C}$ .

Do đó $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$

Khi đó ta có (a + 3).(–1) + 6b = 0

Vì vậy –a + 6b – 3 = 0 (1).

+ Vì H là trực tâm của ∆ABC nên BH ⊥ AC.

Suy ra $\vec{B H} ⊥ \vec{A C}$

Do đó $\vec{B H} . \vec{A C} = 0$

Khi đó ta có (a – 3).5 + 6b = 0

Vì vậy 5a + 6b – 15 = 0 (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$(\begin{matrix} - a + 6 b - 3 = 0 \\ 5 a + 6 b - 15 = 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} a = 2 \\ b = \frac{5}{6} \end{matrix})$

Do đó ta có a + 6b = 2 + 6. $\frac{5}{6}$ = 7.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC có A(3; 5), B(9; 7), C(11; –1). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tọa độ của $\vec{M N}$ là:

A. (2; –8);

B. (1; –4);

C. (10; 6);

D. (5; 3).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì M là trung điểm AB nên $(\begin{matrix} x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{3 + 9}{2} = 6 \\ y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6 \end{matrix})$

Suy ra M(6; 6).

Vì N là trung điểm AC nên $(\begin{matrix} x_{N} = \frac{x_{A} + x_{C}}{2} = \frac{3 + 11}{2} = 7 \\ y_{N} = \frac{y_{A} + y_{C}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2 \end{matrix})$

Suy ra N(7; 2).

Do đó ta có $\vec{M N} = (x_{N} - x_{M}; y_{N} - y_{M}) = (7 - 6; 2 - 6) = (1; - 4)$ .

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 8. Cho ∆ABC có A(2; –1), B(4; 5), C(–3; 2). Phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM là:

A. x + 3y – 7 = 0;

B. 3x + y – 7 = 0;

C. 3x + y – 5 = 0;

D. x + 3y – 5 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì ∆ABC có AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm BC.

Ta suy ra $(\begin{matrix} x_{M} = \frac{x_{B} + x_{C}}{2} = \frac{4 - 3}{2} = \frac{1}{2} \\ y_{M} = \frac{y_{B} + y_{C}}{2} = \frac{5 + 2}{2} = \frac{7}{2} \end{matrix})$

Khi đó ta có $M (\frac{1}{2}; \frac{7}{2})$

Với A(2; –1) và $M (\frac{1}{2}; \frac{7}{2})$ ta có:

$\vec{A M} = (- \frac{3}{2}; \frac{9}{2}) \Rightarrow \frac{2}{3} \vec{A M} = (- 1; 3)$

Đường thẳng AM có vectơ chỉ phương $\vec{u} = \frac{2}{3} \vec{A M} = (- 1; 3)$ nên đường thẳng AM nhận $\vec{n} = (3; 1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng AM đi qua A(2; –1), có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; 1)$ .

Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng AM là:

3.(x – 2) + 1.(y + 1) = 0

⇔ 3x + y – 5 = 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 9. Giao điểm M của hai đường thẳng (d): $(\begin{matrix} x = 1 - 2 t \\ y = - 3 + 5 t \end{matrix})$ và (d’): 3x – 2y – 1 = 0 là:

A. $M (0; \frac{1}{2})$ ;

B. $\vec{u} = (- 2; 5)$ $M (0; - \frac{1}{2})$ ;

C. $M (- \frac{1}{2}; 0)$ ;

D. $M (2; - \frac{11}{2})$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng (d): $(\begin{matrix} x = 1 - 2 t \\ y = - 3 + 5 t \end{matrix})$

(d) có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 2; 5)$ .

Suy ra (d) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (5; 2)$ .

(d) đi qua A(1; –3), có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (5; 2)$ nên có phương trình tổng quát là:

5(x – 1) + 2(y + 3) = 0

⇔ 5x + 2y + 1 = 0.

Ta có M là giao điểm của (d) và (d’) nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:

$(\begin{matrix} 5 x_{M} + 2 y_{M} + 1 = 0 \\ 3 x_{M} - 2 y_{M} - 1 = 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x_{M} = 0 \\ y_{M} = - \frac{1}{2} \end{matrix})$

Khi đó ta có $M (0; - \frac{1}{2})$ .

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 10. Cặp đường thẳng nào sau đây vuông góc với nhau?

A. $d_{1} : (\begin{matrix} x = t \\ y = - 1 - 2 t \end{matrix})$ và d₂: 2x + y – 1 = 0;

B. d₁: x – 2 = 0 và $d_{2} : (\begin{matrix} x = t \\ y = 0 \end{matrix})$ ;

C. d₁: 2x – y + 3 = 0 và d₂: x – 2y + 1 = 0;

D. d₁: 2x – y + 3 = 0 và d₂: 4x – 2y + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

•Ta xét phương án A:

d₁ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{1} = (1; - 2)$ .

Suy ra d₁ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{1} = (2; 1)$ .

d₂ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{2} = (2; 1)$ .

Do đó ${\vec{n}}_{1} . {\vec{n}}_{2} = 2.2 + 1.1 = 5 \neq 0$ .

Vì vậy ${\vec{n}}_{1}$ không vuông góc với ${\vec{n}}_{2}$ .

Khi đó ta có d₁ không vuông góc với d₂.

Vậy ta loại phương án A.

•Ta xét phương án B:

d₁ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{1} = (1; 0)$ .

d₂ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{2} = (1; 0)$ .

Suy ra d₂ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{2} = (0; 1)$ .

Khi đó ta có ${\vec{n}}_{1} . {\vec{n}}_{2} = 1.0 + 0.1 = 0$ .

Do đó ${\vec{n}}_{1} ⊥ {\vec{n}}_{2}$ .

Vì vậy d₁ ⊥ d₂.

Đến đây ta có thể chọn phương án B.

• Ta thực hiện tương tự như trên, ta loại phương án C, D.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 11. Cho đường thẳng (d): x – 2y + 5 = 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. (d) có hệ số góc $k = \frac{1}{2}$ ;

B. (d) cắt (d’): x – 2y = 0;

C. (d) đi qua A(1; –2);

D. (d) có phương trình tham số: $(\begin{matrix} x = t \\ y = - 2 t \end{matrix})$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

•(d): x – 2y + 5 = 0 ⇔ 2y = x + 5 ⇔ $y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$

Do đó (d) có hệ số góc $k = \frac{1}{2}$ .

Vì vậy phương án A đúng.

•(d) và (d’) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\vec{n} = (1; - 2)$ và $\vec{n^{‘}} = (1; - 2)$ .

Ta có $\vec{n} = \vec{n^{‘}}$

Do đó (d) và (d’) song song hoặc trùng nhau.

Vì vậy phương án B sai.

•Thay tọa độ A(1; –2) vào phương trình (d), ta được:

1 – 2.(–2) + 5 = 10 ≠ 0.

Suy ra A(1; –2) không thuộc (d) hay (d) không đi qua A(1; –2).

Do đó phương án C sai.

•(d) có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 2)$ .

Suy ra (d) có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 1)$ .

Ở phương án D, ta có vectơ chỉ phương $\vec{a} = (1; - 2)$ .

Ta có: 2.(–2) – 1.1 = –5 ≠ 0.

Suy ra $\vec{u}$ không cùng phương với $\vec{a}$ .

Do đó phương trình tham số ở đáp án D không phải là phương trình tham số của (d).

Vì vậy phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 12. Cho ∆ABC có C(–1; 2), đường cao BH: x – y + 2 = 0, đường phân giác trong AN: 2x – y + 5 = 0. Tọa độ điểm A là:

A. $A (\frac{- 4}{3}; \frac{7}{3})$ ;

B. $A (\frac{- 4}{3}; \frac{- 7}{3})$ ;

C. $A (\frac{4}{3}; \frac{- 7}{3})$ ;

D. $A (\frac{4}{3}; \frac{7}{3})$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 9 Chân trời sáng tạo có lời giải

Đường cao BH: x – y + 2 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{B H} = (1; - 1)$ .

Vì BH là đường cao của ∆ABC nên BH ⊥ AC.

Suy ra vectơ pháp tuyến của BH là vectơ chỉ phương của AC.

Do đó vectơ chỉ phương của AC là ${\vec{u}}_{A C} = {\vec{n}}_{B H} = (1; - 1)$ .

Vì vậy AC có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{A C} = (1; 1)$ .

Đường thẳng AC đi qua C(–1; 2), có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{A C} = (1; 1)$ .

Suy ra phương trình AC: 1(x + 1) + 1(y – 2) = 0.

⇔ x + y – 1 = 0.

Ta có A là giao điểm của AC và AN.

Do đó tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

$(\begin{matrix} x + y - 1 = 0 \\ 2 x - y + 5 = 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x = \frac{- 4}{3} \\ y = \frac{7}{3} \end{matrix})$

Khi đó ta có $A (\frac{- 4}{3}; \frac{7}{3})$ .

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 13. Trong mặt phẳng Oxy, cho $\vec{a} = (1; 2)$ và $\vec{b} = (- 1; 3)$ . Tìm tọa độ $\vec{c}$ sao cho $2 \vec{c} + \vec{a} - 3 \vec{b} = \vec{0}$ .

A. $\vec{c} = (- 2; - \frac{7}{2})$ ;

B. $\vec{c} = (2; \frac{7}{2})$ ;

C. $\vec{c} = (- 2; \frac{7}{2})$ ;

D. $\vec{c} = (- 1; \frac{9}{2})$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $2 \vec{c} + \vec{a} - 3 \vec{b} = \vec{0} \Leftrightarrow 2 \vec{c} = 3 \vec{b} - \vec{a}$

$\Leftrightarrow \vec{c} = \frac{3}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a}$ .

Với $\vec{a} = (1; 2)$ và $\vec{b} = (- 1; 3)$ ta có:

+) $\frac{3}{2} \vec{b} = (\frac{3}{2} . (- 1); \frac{3}{2} .3) = (- \frac{3}{2}; \frac{9}{2})$ .

+) $\frac{1}{2} \vec{a} = (\frac{1}{2} .1; \frac{1}{2} .2) = (\frac{1}{2}; 1)$ .

Suy ra $\vec{c} = \frac{3}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{a} = (- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}; \frac{9}{2} - 1) = (- 2; \frac{7}{2})$ .

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 14. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(2; 4) và B(–2; 10). Giá trị k để điểm D(k; k + 1) thuộc đường thẳng AB là:

A. k = 2;

B. k = $\frac{7}{5}$ ;

C. k = 3;

D. k = $\frac{12}{5}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với A(2; 4), B(–2; 10) và D(k; k + 1) ta có:

$\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}) = (- 2 - 2; 10 - 4) = (- 4; 6)$ .

$\vec{A D} = (x_{D} - x_{A}; y_{D} - y_{A}) = (k - 2; k + 1 - 4) = (k - 2; k - 3)$ .

Theo đề, ta có điểm D(k; k + 1) thuộc đường thẳng AB.

Tức là $\vec{A B}, \vec{A D}$ cùng phương

⇔ –4.(k – 3) – 6.(k – 2) = 0

⇔ –4k + 12 – 6k + 12 = 0

⇔ 10k = 24

⇔ k = $\frac{12}{5} .$

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 15. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0 và hai điểm A(–1; 2). B(2; 1). Điểm C thuộc đường thẳng d sao cho diện tích ∆ABC bằng 2. Tọa độ điểm C là:

A. C(–9; 6);

B. C(6; 9);

C. C(7; –2);

D. Cả A, C đều đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với A(–1; 2). B(2; 1) ta có:

$\vec{A B} = (3; - 1) \Rightarrow A B = \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{10}$ .

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\vec{A B} = (3; - 1)$ nên đường thẳng AB nhận $\vec{n} = (1; 3)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng AB đi qua B(2; 1), có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 3)$ nên có phương trình tổng quát là:

1.(x – 2) + 3.(y – 1) = 0 ⇔ x + 3y – 5 = 0.

Vì C ∈ d nên ta có x_C + 2y_C – 3 = 0.

Suy ra x_C = 3 – 2y_C

Khi đó ta có C(3 – 2y_C; y_C)

Gọi CH là đường cao của ∆ABC.

Ta suy ra CH = d(C, AB) = $\frac{(3 - 2 y_{C} + 3 y_{C} - 5)}{\sqrt{1^{2} + 3^{2}}} = \frac{(y_{C} - 2)}{\sqrt{10}}$

Ta có S_∆ABC = 2.

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} . A B . C H = 2$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} . \sqrt{10} . \frac{(y_{C} - 2)}{\sqrt{10}} = 2$

⇔ |y_C – 2| = 4

⇔ y_C – 2 = 4 hoặc y_C – 2 = –4.

⇔ y_C = 6 hoặc y_C = –2.

•Với y_C = 6, ta có: x_C = 3 – 2y_C = 3 – 2.6 = –9.

Suy ra C(–9; 6).

•Với y_C = –2, ta có: x_C = 3 – 2y_C = 3 – 2.( –2) = 7.

Suy ra C(7; –2).

Vậy có hai điểm C thỏa mãn yêu cầu bài toán là C(–9; 6), C(7; –2).

Do đó ta chọn phương án D.

Câu 16. Đường thẳng ∆ đi qua giao điểm của hai đường thẳng d₁: 2x + y – 3 = 0 và d₂: x – 2y + 1 = 0, đồng thời tạo với d₃: y – 1 = 0 một góc $\frac{π}{4} .$ Phương trình đường thẳng ∆ là:

A. 2x + y = 0; x – y – 1 = 0;

B. x + 2y = 0; x – 4y = 0;

C. x – y = 0; x + y – 2 = 0;

D. 2x + 1 = 0; x – 3y = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi A(x; y) là giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂.

Khi đó tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:

$(\begin{matrix} 2 x + y - 3 = 0 \\ x - 2 y + 1 = 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow x = y = 1$ .

Suy ra A(1; 1).

Gọi $\vec{n} = (a; b)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

d₃ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{3} = (0; 1)$ .

Theo đề, ta có (∆, d₃) = $\frac{π}{4}$ .

Suy ra $(\cos (\vec{n}, {\vec{n}}_{3})) = \cos \frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$\Leftrightarrow \frac{(0. a + 1. b)}{\sqrt{a^{2} + b^{2}} . \sqrt{0^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{2} . (b) = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

⇔ 2b² = a² + b²

⇔ a² = b²

⇔ a = b hoặc a = –b.

• Với a = b: Chọn a = b = 1, ta được $\vec{n} = (1; 1)$ .

Đường thẳng ∆ đi qua A(1; 1), có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; 1)$ nên có phương trình tổng quát là:

1(x – 1) + 1(y – 1) = 0 ⇔ x + y – 2 = 0.

• Với a = –b: Chọn b = –1, ta suy ra a = 1.

Khi đó ta có $\vec{n} = (1; - 1)$ .

Đường thẳng ∆ đi qua A(1; 1), có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 1)$ nên có phương trình tổng quát là:

1(x – 1) – 1(y – 1) = 0 ⇔ x – y = 0.

Vậy có hai đường thẳng ∆ thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là:

x + y – 2 = 0; x – y = 0.

Do đó ta chọn phương án C.

Câu 17. Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C): (x + 1)² + y² = 8 là:

A. I(–1; 0), R = 8;

B. I(–1; 0), R = 64;

C. I(–1; 0), R = $2 \sqrt{2}$ ;

D. I(1; 0), R = $2 \sqrt{2}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường tròn (C) có tâm I(–1; 0), bán kính R = $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 18. Tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C): 2x² + 2y² – 8x + 4y – 1 = 0 là:

A. I(–2; 1), R = $\frac{\sqrt{21}}{2}$ ;

B. I(2; –1), R = $\frac{\sqrt{22}}{2}$ ;

C. I(4; –2), R = $\sqrt{21}$ ;

D. I(–4; 2), R = $\sqrt{19}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có 2x² + 2y² – 8x + 4y – 1 = 0.

Suy ra x² + y² – 4x + 2y – $\frac{1}{2}$ = 0.

Phương trình (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = 2, b = –1, c = $- \frac{1}{2}$ .

Suy ra tâm I(2; –1).

Ta có R² = a² + b² – c = $4 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{11}{2}$ .

Suy ra $R = \sqrt{\frac{11}{2}} = \frac{\sqrt{22}}{2}$ .

Vậy đường tròn (C) có tâm I(2; –1), bán kính $R = \frac{\sqrt{22}}{2}$ .

Do đó ta chọn phương án B.

Câu 19. Đường tròn (C) có tâm I(–2; 3) và đi qua điểm M(2; –3) có phương trình là:

A. (x + 2)² + (y – 3)² = $\sqrt{52}$ ;

B. (x – 2)² + (y + 3)² = 52;

C. x² + y² + 4x – 6y – 57 = 0;

D. x² + y² + 4x – 6y – 39 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với I(–2; 3) và M(2; –3) ta có $\vec{I M} = (4; - 6)$ .

Đường tròn (C) có tâm I(–2; 3) và đi qua điểm M(2; –3) nên bán kính là:

$R = I M = \sqrt{4^{2} + {(- 6)}^{2}} = 2 \sqrt{13}$ .

Phương trình đường tròn (C) là: (x + 2)² + (y – 3)² = 52.

Ûx² + y² + 4x – 6y – 39 = 0.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 20. Cho phương trình x² + y² – 2mx – 4(m – 2)y + 6 – m = 0. Điều kiện của m để phương trình đã cho là một phương trình đường tròn là:

A. m ∈ ℝ;

B. $m \in (- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$ ;

C. $m \in (- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$ ;

D. $m \in (- \infty; \frac{1}{3}) \cup (2; + \infty)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình đã cho có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = m, b = 2(m – 2), c = 6 – m.

Ta có a² + b² – c = m² + 4(m² – 4m + 4) – 6 + m = 5m² – 15m + 10.

Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn thì a² + b² – c > 0.

Nghĩa là 5m² – 15m + 10 > 0

⇔ m < 1 hoặc m > 2.

Vậy m ∈ (–∞; 1) ∪ (2; +∞) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án B.

Câu 21. Đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng d: x + 3y + 8 = 0, đi qua điểm A(–2; 1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x – 4y + 10 = 0. Phương trình đường tròn (C) là:

A. (x – 2)² + (y + 2)² = 25;

B. (x + 5)² + (y + 1)² = 16;

C. (x + 2)² + (y + 2)² = 9;

D. (x – 1)² + (y + 3)² = 25.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C).

Ta có I ∈ d.

Suy ra a + 3b + 8 = 0 ⇔ a = –3b – 8.

Ta có đường tròn (C) đi qua điểm A(–2; 1) nên AI = R (1).

Lại có đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên d(I, ∆) = R (2).

Từ (1), (2), ta suy ra IA = d(I, ∆).

$\Leftrightarrow \sqrt{{(a + 2)}^{2} + {(b - 1)}^{2}} = \frac{(3 a - 4 b + 10)}{\sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(- 3 b - 8 + 2)}^{2} + {(b - 1)}^{2}} = \frac{(3 (- 3 b - 8) - 4 b + 10)}{\sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow 5 \sqrt{{(- 3 b - 6)}^{2} + {(b - 1)}^{2}} = (- 13 b - 14)$

⇔ 25(9b² + 36b + 36 + b² – 2b + 1) = 169b² + 364b + 196

⇔ 81b² + 486b + 729 = 0

⇔ b = –3.

Với b = –3, ta có a = –3b – 8 = –3.(–3) – 8 = 1.

Khi đó ta có I(1; –3).

R = AI = $\sqrt{{(1 + 2)}^{2} + {(- 3 - 1)}^{2}} = 5$ .

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x – 1)² + (y + 3)² = 25.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 22. Tọa độ tâm I của đường tròn đi qua ba điểm A(0; 4), B(2; 4), C(4; 0) là:

A. I(0; 0);

B. I(1; 0);

C. I(3; 2);

D. I(1; 1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Vì M là trung điểm AB nên ta có $(\begin{matrix} x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} = \frac{0 + 2}{2} = 1 \\ y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} = \frac{4 + 4}{2} = 4 \end{matrix})$

Suy ra M(1; 4).

Tương tự, ta có N(3; 2).

Đường trung trực ∆₁ của đoạn thẳng AB đi qua điểm M(1; 4) và có vectơ pháp tuyến $\vec{A B} = (2; 0)$ .

Suy ra phương trình ∆₁ là: 2(x – 1) + 0(y – 4) = 0 ⇔ x – 1 = 0.

Tương tự, ta có phương trình đường trung trực ∆₂ của đoạn thẳng BC đi qua điểm N(3; 2) và có vectơ pháp tuyến $\vec{B C} = (2; - 4)$ là:

2(x – 3) – 4(y – 2) = 0 ⇔ x – 2y + 1 = 0.

Vì IA = IB = IC = R nên I cách đều ba điểm A, B, C.

Do đó I nằm trên đường trung trực ∆₁ và I cũng nằm trên đường trung trực ∆₂.

Hay I là giao điểm của ∆₁ và ∆₂.

Khi đó tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

$(\begin{matrix} x - 1 = 0 \\ x - 2 y + 1 = 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 \end{matrix})$

Suy ra tọa độ tâm I(1; 1).

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 23. Cho đường tròn (C): x² + y² + 4x + 4y – 17 = 0, biết tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: 3x – 4y – 2023 = 0. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) là:

A. 3x – 4y + 23 = 0; 3x – 4y – 27 = 0;

B. 3x – 4y + 23 = 0; 3x – 4y + 27 = 0;

C. 3x – 4y – 23 = 0; 3x – 4y + 27 = 0;

D. 3x – 4y – 23 = 0; 3x – 4y – 27 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm.

Phương trình đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = –2, b = –2, c = –17.

Suy ra tâm I(–2; –2), bán kính R = $\sqrt{a^{2} + b^{2} - c} = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{2} + 17} = 5$ .

Vì ∆ // d nên phương trình ∆ có dạng: 3x – 4y + d = 0 (d ≠ –2023).

Ta có ∆ là tiếp tuyến của (C).

Suy ra d(I, ∆) = R.

$\Leftrightarrow \frac{(3. (- 2) - 4. (- 2) + d)}{\sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}}} = 5$

⇔ |d + 2| = 25

⇔ d + 2 = 25 hoặc d + 2 = –25

⇔ d = 23 (nhận) hoặc d = –27 (nhận).

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là: 3x – 4y + 23 = 0 và 3x – 4y – 27 = 0.

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 24.Cho đường tròn (C): (x – 2)² + (y + 4)² = 25, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x – 4y + 5 = 0. Phương trình tiếp tuyến của (C) là:

A. 4x – 3y + 5 = 0; 4x – 3y – 45 = 0;

B. 4x + 3y + 5 = 0; 4x + 3y + 3 = 0;

C. 4x + 3y + 29 = 0;

D. 4x + 3y + 29 = 0; 4x + 3y – 21 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm.

Đường tròn (C) có tâm I(2; –4), bán kính R = 5.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{d} = (3; - 4)$ .

Theo đề, ta có ∆ ⊥ d nên ∆ nhận vectơ pháp tuyến của d làm vectơ chỉ phương.

Do đó ∆ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = {\vec{n}}_{d} = (3; - 4)$ .

Khi đó ∆ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{Δ} = (4; 3)$ .

Vì vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆: 4x + 3y + c = 0.

Vì ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên d(I, ∆) = R.

$\Leftrightarrow \frac{(4.2 + 3. (- 4) + c)}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = 5$

⇔ |c – 4| = 25

⇔ c – 4 = 25 hoặc c – 4 = –25

⇔ c = 29 hoặc c = –21.

Vậy ∆: 4x + 3y + 29 = 0 hoặc ∆: 4x + 3y – 21 = 0.

Do đó ta chọn phương án D.

Câu 25. Cho đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0. Gọi d₁, d₂ lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(3; 2), N(1; 0). Tọa độ giao điểm của d₁ và d₂ là:

A. (3; 0);

B. (–3; 0);

C. (0; 3);

D. (0; –3).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta viết phương trình d₁:

Ta có 3² + 2² – 2.3 – 4.2 + 1 = 0 (đúng).

Do đó điểm M ∈ (C).

Phương trình đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = 1, b = 2, c = 1.

Suy ra tâm I(1; 2), bán kính R = $\sqrt{a^{2} + b^{2} - c} = \sqrt{1 + 4 - 1} = 2$ .

Phương trình d₁ là: (1 – 3)(x – 3) + (2 – 2)(y – 2) = 0

⇔ –2(x – 3) = 0 ⇔ x – 3 = 0.

Tương tự, ta viết phương trình d₂:

Ta có 1² + 0² – 2.1 – 4.0 + 1 = 0 (đúng).

Do đó N ∈ (C).

Phương trình d₂ là: (1 – 1)(x – 1) + (2 – 0)(y –0) = 0

⇔ y = 0.

Gọi A là giao điểm của d₁ và d₂.

Suy ra tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:

$(\begin{matrix} x - 3 = 0 \\ y = 0 \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} x = 3 \\ y = 0 \end{matrix})$

Khi đó ta có tọa độ A(3; 0).

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 26.Một trạm viễn thông A được xây tại điểm có tọa độ (2; 3) (trong mặt phẳng Oxy). Một người đang ngồi trên xe hơi chạy trên đường quốc lộ có dạng một đường thẳng ∆ có phương trình x – 5y + 6 = 0.

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 9 Chân trời sáng tạo có lời giải

Biết rằng mỗi đơn vị độ dài tương ứng với 1 km. Khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông A bằng:

A. 2,5 km;

B. 0,2 km;

C. 1,37 km;

D. 0,5 km.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông A chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆. Khi đó ta có:

$d (A, Δ) = \frac{(2 - 5.3 + 6)}{\sqrt{1^{2} + {(- 5)}^{2}}} = \frac{7 \sqrt{26}}{26} \approx 1,37$ (km).

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 27. Cho M(x; y) nằm trên elip (E): $\frac{x^{2}}{121} + \frac{y^{2}}{81} = 1$ . Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn bằng:

A. $\frac{11 \sqrt{10}}{20}$ ;

B. $\frac{2 \sqrt{10}}{9}$ ;

C. $\frac{2 \sqrt{10}}{11}$ ;

D. $\frac{9 \sqrt{10}}{20}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

(E): $\frac{x^{2}}{121} + \frac{y^{2}}{81} = 1$ nên ta có a = 11, b = 9.

Suy ra $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{121 - 81} = 2 \sqrt{10}$ .

Ta có tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là: $\frac{2 c}{2 a} = \frac{c}{a} = \frac{2 \sqrt{10}}{11}$ .

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 28. Một gương có mặt cắt là một hypebol có phương trình $\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ được dùng để chụp ảnh toàn cảnh. Máy ảnh hướng về phía đỉnh của gương và được đặt ở vị trí sao cho ống kính trùng với một tiêu điểm của gương như hình vẽ.

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 9 Chân trời sáng tạo có lời giải

Biết rằng x, y được đo theo inch. Khoảng cách từ ống kính tới đỉnh gương bằng khoảng:

A. 24,6 inch;

B. 0,7 inch;

C. 12 inch;

D. 23,3 inch.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hypebol $\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ nên ta có a = 12, b = 4.

Suy ra $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{144 + 16} = 4 \sqrt{10}$ .

Quan sát hình vẽ, ta thấy đỉnh gương là vị trí A₂.

Suy ra A₂(12; 0).

Vì $c = 4 \sqrt{10}$ nên ta có tọa độ các tiêu điểm $F_{1} (- 4 \sqrt{10}; 0)$ và $F_{2} (4 \sqrt{10}; 0)$ .

Hay ống kính máy ảnh được đặt tại điểm $F_{1} (- 4 \sqrt{10}; 0)$ .

Khoảng cách từ ống kính tới đỉnh gương là:

F₁A₂ = F₁O + OA₂ = $(- 4 \sqrt{10}) + (12) = 4 \sqrt{10} + 12 \approx 24,6$ (inch).

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 29.Một tòa tháp có mặt cắt hình hypebol có phương trình $\frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{49} = 1$ . Biết khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp. Tòa tháp có chiều cao 50 m. Bán kính đáy của tháp bằng:

A. 43,28 m;

B. 22,25 m;

C. 28,31 m;

D. 57,91 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

30 Bài tập trắc nghiệm Toán 10 Chương 9 Chân trời sáng tạo có lời giải

Gọi r là bán kính đáy của tháp (r > 0).

Do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng nhau.

Chọn điểm M(r; –25) nằm trên hypebol.

Ta suy ra $\frac{r^{2}}{36} - \frac{{(- 25)}^{2}}{49} = 1$ .

$\Leftrightarrow \frac{r^{2}}{36} = 1 + \frac{{(- 25)}^{2}}{49} = \frac{674}{49}$ .

$\Leftrightarrow r^{2} = \frac{674}{49} .36 = \frac{24264}{49}$ .

Suy ra $r = \frac{6 \sqrt{674}}{7} \approx 22,25$ (m).

Vậy bán kính đáy của tháp bằng khoảng 22,25 m.

Do đó ta chọn phương án B.

Câu 30. Một anten gương đơn hình parabol có phương trình y² = 20x. Ống thu của anten được đặt tại tiêu điểm của nó. Ta sẽ đặt ống thu tại điểm có tọa độ là:

A. (0; 10);

B. (0; 5);

C. (10; 0);

D. (5; 0).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình parabol có dạng y² = 2px, với p = 10.

Suy ra $\frac{p}{2} = \frac{10}{2} = 5$ .

Khi đó tọa độ tiêu điểm F(5; 0).

Vậy ta sẽ đặt ống thu tại điểm có tọa độ (5; 0).

Do đó ta chọn phương án D.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ

Trắc nghiệm Ôn tập chương 9

Trắc nghiệm Bài 1. Không gian mẫu và biến cố

Trắc nghiệm Bài 2. Xác suất của biến cố

Trắc nghiệm Ôn tập chương 10

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy