20 câu Trắc nghiệm Hệ thức lượng trong tam giác (Kết nối tri thức 2023) có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

I. Nhận biết

Câu 1. Cho tam giác ABC với độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. Nội dung nào thể hiện định lí côsin?

A. $\frac{\text{a}}{\text{sinA}}\text{ = }\frac{\text{b}}{\text{sinB}}\text{ = }\frac{\text{c}}{\text{sinC}}$;

B. a² = b² + c² – 2bccosA;

C. S = $\frac{1}{2}$bcsinA = $\frac{1}{2}$acsinB = $\frac{1}{2}$absinC;

D. b² = a² + c² – 2bccosB .

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Định lí côsin: Trong tam giác ABC

a² = b² + c² – 2bccosA

b² = a² + c² – 2accosB

c² = b² + a² – 2bacosC.

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 2. Nội dung nào thể hiện công thức Heron?

A. S = $\sqrt{\text{2p(p + a)(p + b)(p + c)}}$;

B. S = $2\sqrt{\text{p(p }-\text{ a)(p }-\text{ b)(p }-\text{ c)}}$;

C. S = $\sqrt{\text{p(p + a)(p + b)(p + c)}}$;

D. S = $\sqrt{\text{p(p }-\text{ a)(p }-\text{ b)(p }-\text{ c)}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Công thức Heron: S = $\sqrt{\text{p(p }-\text{ a)(p }-\text{ b)(p }-\text{ c)}}$.

Câu 3. Cho tam giác ABC với độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. a² = b² + c² + 2bcsinA;

B. a² = b² + c² – 2bccosA;

C. a² = b² + c² – 2acsinA;

D. a² = b² + c² + 2abcosA.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Định lí côsin:

Trong tam giác ABC: a² = b² + c² – 2bccosA.

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 4. Cho tam giác ABC với độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. Nội dung nào thể hiện định lí sin?

A. $\frac{\text{a}}{\text{sinA}}\text{ = }\frac{\text{b}}{\text{sinB}}\text{ = }\frac{\text{c}}{\text{sinC}}$;

B. a² = b² + c² – 2bccosA;

C. S = $\frac{1}{2}$bcsinA = $\frac{1}{2}$acsinB = $\frac{1}{2}$absinC;

D. b² = a² + c² – 2accosB .

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Định lí sin:  $\frac{\text{a}}{\text{sinA}}\text{ = }\frac{\text{b}}{\text{sinB}}\text{ = }\frac{\text{c}}{\text{sinC}}$= 2R.

Câu 5. Cho tam giác ABC với độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. S là diện tích và p là nửa chu vi tam giác. R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Công thức nào sau đây sai?

A. S = $\frac{\text{abc}}{\text{4R}}$ ;

B. S = pr ;

C. S = $\sqrt{\text{p(p + a)(p + b)(p + c)}}$ ;

D. S = $\frac{1}{2}$bcsinA.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Công thức Heron: S = $\sqrt{\text{p(p }-\text{ a)(p }-\text{ b)(p }-\text{ c)}}$ . Do đó C sai.

Câu 6. Cho tam giác ABC với độ dài 3 cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. Công thức tính diện tích nào dưới đây đúng?

A. S = $\frac{1}{2}$bcsinA;

B. S = $\frac{1}{2}$absinB;

C. S = 2acsinB;

D. S = 2bcsinA.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Công thức tính diện tích tam giác ABC: S = $\frac{1}{2}$bcsinA.

Câu 7. Cho tam giác ABC. Công thức nào sau đây sai?

A. $\frac{\text{b}}{\text{sinB}}=2\text{R}$;

B. $\frac{\text{a}}{\text{2sinA}}\text{ = R}$;

C. $\frac{\text{c}}{\text{sinC}}\text{ = 2R}$;

D. $\frac{\text{2c}}{\text{sinC}}\text{ = R}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Định lí sin: Trong tam giác ABC

$\frac{\text{a}}{\text{sinA}}\text{ = }\frac{\text{b}}{\text{sinB}}\text{ = }\frac{\text{c}}{\text{sinC}}\text{ = 2R}$.

Khẳng định A, B, C đúng. Khẳng định D sai.

Vậy chọn đáp án D.

II. Thông hiểu

Câu 1. Tam giác ABC có AB = $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$, BC = $\sqrt{3}$, CA = $\sqrt{2}$. Tính số đo góc A.

A. 60°;

B. 90°;

C. 120°;

D. 30°.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt AB = c, BC = a, AC = b

Theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² – 2bccosA

⇒ cosA = $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{2\text{bc}}$

⇒ cosA = $\frac{{\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)}^2+2-3}{2.\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}}$

⇒ cosA = $\frac{-1}{2}$

⇒ $\widehat{\text{A}}$ = 120°.

Vậy đáp án C đúng.

Câu 2. Cho tam giác ABC có a = 2, b = 5, c = 5. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

A. 1;

B. $\sqrt{6}$;

C. 0,5;

D. $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: p = $\frac{2+5+5}{2}$ = 6

Áp dụng công thức Heron:

S = $\sqrt{\text{p(p }-\text{ a)(p }-\text{ b)(p }-\text{ c)}}$.

S = $\sqrt{6.(6-2).(6-5).(6-5)}$

S = $2\sqrt{6}$.

Mà S = pr = 6r = $2\sqrt{6}$ ⇒ r = $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 3. Tính diện tích tam giác ABC có b = 2,  $\widehat{\text{B}}$= 30°, $\widehat{\text{C}}$ = 45°.

A. 1 + $\sqrt{3}$;

B. 1 – $\sqrt{3}$;

C. $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$;

D. $\frac{1–\sqrt{3}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Xét tam giác ABC có: $\widehat{\text{A}}$ + $\widehat{\text{B}}$ + $\widehat{\text{C}}$ = 180° ⇒ $\widehat{\text{A}}$ = 180° – 30° – 45° = 105°.

Áp dụng định lí sin:  $\frac{\text{b}}{\text{sinB}}\text{ = }\frac{\text{c}}{\text{sinC}}$⇒ $\frac{\text{2}}{\text{sin30}°}=\frac{\text{c}}{\text{sin45}°}$ ⇒ c = $2\sqrt{2}$.

S = $\frac{1}{2}$bcsinA = $\frac{1}{2}$.2. $2\sqrt{2}$.sin105° = 1 + $\sqrt{3}$

Vậy đáp án A đúng.

Câu 4. Cho tam giác ABC có  $\widehat{\text{B}}$= 120°, AB = 6, BC = 7. Tính AC.

A. $\sqrt{127}$;

B. $\sqrt{43}$;

C. 8;

D. $\sqrt{106}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC:

AC² = AB² + BC² – 2AB.BC.cosB

AC² = 6² + 7² – 2.6.7.cos120°

AC² = 127

AC = $\sqrt{127}$

Vậy đáp án A đúng.

Câu 5. Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7. Tính cosB.

A. $\frac{11}{7}$;

B. $\frac{17}{35}$;

C. $\frac{19}{35}$;

D. $\frac{13}{7}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, có:

AC² = AB² + BC² – 2AB.BC.cosB

6² = 5² + 7² – 2.5.7.cosB

cosB = $\frac{5^2+7^2-6^2}{\mathrm{2.5.7}}$

cosB = $\frac{19}{35}$

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 6. Cho tam giác ABC có BC = 8 và $\widehat{\text{A}}$ = 30°. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. $\frac{8\sqrt{3}}{3}$;

B. $\frac{16\sqrt{3}}{3}$;

C. 16;

D. 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC:

 $\frac{\text{BC}}{\text{sinA}}$= 2R

R = $\frac{\text{BC}}{\text{2sinA}}$

R = $\frac{8}{2.\sin 30°}$

R = 8.

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 7. Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và  $\widehat{\mathrm{B}}$= 80°. Tính số đo góc C.

A. 37°98’;

B. 38°98’;

C. 37°59’;

D. 36°98’.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Áp dụng định lí sin:

$\frac{\text{b}}{\text{sinB}}\text{ = }\frac{\text{c}}{\text{sinC}}$

 

⇒ $\frac{8}{\sin 80°}=\frac{5}{\sin \text{C}}$

⇒ sin C = 5 : $\frac{8}{\sin 80°}$

⇒  ≈ 37°59’

Vậy đáp án đúng là C.

Câu 8. Cho tam giác ABC có a = 3, b = 4, c = 5. Tính diện tích tam giác ABC.

A. $6\sqrt{2}$;

B. 6;

C. 12;

D. 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có: p = $\frac{3+4+5}{2}$ = 6

Áp dụng công thức Heron:

S = $\sqrt{\text{p(p }-\text{ a)(p }-\text{ b)(p }-\text{ c)}}$.

S = $\sqrt{6.(6-3).(6-4).(6-5)}$

S = 6.

Vậy đáp án đúng là B.

III. Vận dụng

Câu 1. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 60°. Tàu tới B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu tới C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Hỏi sau hai giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? ( Chọn kết quả gần nhất ).

A. 61 hải lí;

B. 36 hải lí;

C. 18 hải lí;

D. 21 hải lí.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Sau 2h, tàu tới C đi được đoạn đường b = 15.2 = 30 ( hải lí )

Sau 2h, tàu tới B đi được đoạn đường c = 15.2 = 40 ( hải lí )

Dựa vào hình vẽ, sau 2h, tàu B và tàu C tạo với điểm xuất phát một tam giác ABC có

$\widehat{\text{A}}$= 60°, b = 30, c = 40 và a = BC.

Áp dụng định lí côsin ta có:

a² = b² + c² – 2bccosA

a² = 30² + 40² – 2.30.40.cos60°

a² = 1300

a ≈ 36 ( hải lí ).

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 2. Trên nóc tòa nhà có một cột ăng – ten cao 5m. Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất có thể quan sát được đỉnh B và chân C của cột ăng – ten dưới góc 50° và 40° so với phường nằm ngang. Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 12m;

B. 19m;

C. 29m;

D. 24m.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi điểm H là chân tòa nhà. Điểm D là điểm tương ứng trên tòa nhà ngang bằng với vị trí quan sát A. Như vậy  $\widehat{\text{ADC}}$= 90°.

Từ vị trí quan sát A cao 7m so với mặt đất có thể quan sát được đỉnh B và chân C của cột ăng – ten dưới góc 50° và 40° so với phường nằm ngang. Như vậy $\widehat{\text{DAC}}$ = 40° và $\widehat{\text{DAB}}$ = 50°.

Xét tam giác ABD có:  = 180 – $\widehat{\text{ADB}}$ – $\widehat{\text{DAB}}$ = 180° – 90° – 50° = 40° = $\widehat{\text{ABC}}$.

Xét tam giác ABC có:

$\widehat{\text{BAC}}$ = 50° – 40° = 10°.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC:

 $\frac{\text{BC}}{\sin \text{A}}=\frac{\text{AC}}{\sin \text{B}}$⇒ $\frac{5}{\sin 10°}=\frac{\text{AC}}{\sin 40°}$ ⇒ AC ≈ 18,5m

Áp dụng định lí sin cho tam giác ADC:

 $\frac{\text{CD}}{\sin \text{A}}=\frac{\text{AC}}{\sin \text{D}}$⇒ $\frac{\text{CD}}{\sin 40°}=\frac{18,5}{\sin 90°}$ ⇒ CD ≈ 11,9m

Chiều cao tòa nhà tương ứng với đoạn CH.

CH = CD + DH =  11,9 + 7 = 18,9 ≈ 19m.

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 3. Tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bằng đẳng thức b.( b² – a² ) = c.( a² – c² ). Tính $\widehat{\text{BAC}}$.

A. 120°;

B. 90°;

C. 30°;

D. 60°.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

b.( b² – a² ) = c.( a² – c² )

⟺ b³ – a²b – a²c + c³ = 0

⟺ b³ + c³ – ( a²b + a²c ) = 0

⟺ ( b + c )( b² – bc + c² ) – a²( b + c ) = 0

⟺ ( b + c ) ( b² + c² – a² – bc ) = 0

b và c là cạnh tam giác nên b + c > 0

⇒ b² + c² – a² – bc = 0 hay a² = b² + c² – bc

Theo định lí côsin

a² = b² + c² – 2bccosA

mà a² = b² + c² – bc ⇒ cosA = $\frac{1}{2}$ ⇒ $\widehat{\text{BAC}}$  = 60°.

Vậy đáp án đúng là D.

Câu 4. Tam giác ABC có AB =$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$, BC = $\sqrt{3}$, CA = $\sqrt{2}$. AD là tia phân giác trong của $\widehat{\text{BAC}}$. Tính $\widehat{\text{ADB}}$.

A. 60°;

B. 45°;

C. 75°;

D. 65°.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt AB = c, BC = a, AC = b

Theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² – 2bccosA

⇒ cosA = $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{2\text{bc}}$

⇒ cosA = $\frac{{\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)}^2+2-3}{2.\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}}$

⇒ cosA = $\frac{-1}{2}$

⇒ $\widehat{\text{A}}$ = 120° hay  $\widehat{\text{BAC}}$= 120°.

Tương tự: cosB = $\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{\text{2ac}}$

⇒ cosB = $\frac{{\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)}^2+3-2}{2.\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}}$

⇒ cosB = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

⇒  $\widehat{\text{B}}$= 45° hay  $\widehat{\text{ABD}}$= 45°

AD là tia phân giác trong của  $\widehat{\text{BAC}}$⇒$\widehat{\text{BAD}}=\frac{1}{2}$$\widehat{\text{BAC}}$= 60°.

Xét tam giác ABD:  $\widehat{\text{ABD}}$+ $\widehat{\text{BAD}}$ + $\widehat{\text{ADB}}$ = 180°

⇒ $\widehat{\text{ADB}}$ = 180° – $\widehat{\text{ABD}}$ – $\widehat{\text{BAD}}$ = 180° – 60° – 45° = 75°

Vậy đáp án C đúng.

Câu 5. Cho tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, AC = 2$\sqrt{7}$. Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC = 2MB. Tính độ dài cạnh AM.

A. $4\sqrt{2}$;

B. 3;

C. $2\sqrt{3}$;

D. $3\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Đặt AB = c = 4, AC = b = 2$\sqrt{7}$, BC = a = 6.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC:

b² = a² + c² – 2accosB

⇒ cosB = $\frac{{\text{a}}^{\text{2}}+{\text{c}}^{\text{2}}-{\text{b}}^{\text{2}}}{2\text{ac}}$

⇒ cosB = $\frac{1}{2}$

BC = 6 và MC = 2MB ⇒ MC = 4 và MB = 2.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABM:

AM² = AB² + BM² – 2.AM.BM.cos$\widehat{\text{ABM}}$

AM² = 4² + 2² – 2.2.4.$\frac{1}{2}$

AM = $2\sqrt{3}$.

Vậy đáp án đúng là C.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Bài 5: Giá trị lượng giác của 1 góc từ 0° đến 180°

Trắc nghiệm Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Trắc nghiệm Bài ôn tập cuối chương 3

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ