20 câu Trắc nghiệm Vectơ trong mặt phẳng tọa độ (Kết nối tri thức 2023) có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vecto $\overrightarrow{b}\left(4;-1\right)$ và các điểm M(-3x; -1), N(0; -2 + y). Tìm điều kiện của x và y để $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{b}$.

A. x = 0, y = 0;

B. x = $\frac{1}{3}$, y = $\frac{4}{3}$;

C. x = 0, y = $\frac{4}{3}$;

D. x = $\frac{4}{3}$, y = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\left(0-(-3x);-2+y-(-1)\right)=\left(3x;-1+y\right)$

Để $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{b}\iff \left\{\begin{array}{l}3x=4\\ -1+y=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\ y=0\end{array}\right.$.

Vậy x = $\frac{4}{3}$, y = 0.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm $A\left(k-\frac{1}{3};5\right)$, B(-2; 12) và

C$\left(\frac{2}{3};k-2\right)$. Giá trị dương của k thuộc khoảng nào dưới đây thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.

A. (10; 12);

B. (-2; 0);

C. (14; 15);

D. (12; 14).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là

Ta có: $\overrightarrow{AC}=\left(\frac{2}{3}-\left(k-\frac{1}{3}\right);k-2-5\right)=\left(1-k;k-7\right)$,

$\overrightarrow{BC}=\left(\frac{2}{3}-\left(-2\right);k-2-12\right)=\left(\frac{8}{3};k-14\right)$

Để ba điểm A, B, C thẳng hàng khi $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương

$\iff \frac{1-k}{\frac{8}{3}}=\frac{k-7}{k-14}$

⇔ (1 – k)(k – 14) = $\frac{8}{3}$(k – 7)

⇔ – k² + 15k – 14 = $\frac{8}{3}$k – $\frac{56}{3}$

⇔ – 3k² + 45k – 42 = 8k – 56

⇔ 3k² – 37k – 14 = 0

⇔ k₁ ≈ 12,7 hoặc k₂ ≈ -0,37.

Ta thấy k₁ là giá trị dương nằm trong khoảng (12; 14).

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vecto $\overrightarrow{u}\left(2;3x-3\right)$ và $\overrightarrow{v}\left(-1;-2\right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn $\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|2\overrightarrow{v}\right|$.

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Độ dài của vectơ $\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{2^2+{\left(3x-3\right)}^2}=\sqrt{4+{\left(3x-3\right)}^2}$.

Độ dài của vectơ $\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=\sqrt{5}$.

Suy ra độ dài của vectơ 2$\left|\overrightarrow{v}\right|=2.\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}=2\sqrt{5}$.

Để $\left|\overrightarrow{u}\right|$ = 2$\left|\overrightarrow{v}\right|$  thì $\sqrt{4+{\left(3x-3\right)}^2}=2\sqrt{5}$

⇔ 4 + (3x – 3)² = 20

⇔ (3x – 3)² = 16

⇔ $\left[\begin{array}{l}3x+3=4\\ 3x+3=-4\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}3x=1\\ 3x=-7\end{array}\right.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}\\ x=-\frac{7}{3}\end{array}\right.$

Ta thấy các giá trị $\frac{1}{3}$ hay $-\frac{7}{3}$ đều không là các giá trị nguyên. Do đó không tồn tại giá trị nguyên nào của x thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(3; -1) và N(2; -5). Điểm nào sau đây thẳng hàng với M, N?

A. P(0; 13);

B. Q(1; -8);

C. H(2; 1);

D. K(3; 1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có $\overrightarrow{MN}\left(-1;-4\right)$. Gọi tọa độ điểm cần tìm là F(x; y).

Khi đó $\overrightarrow{MF}\left(x-3;y+1\right)$

Để M, N, F thẳng hàng khi $\overrightarrow{MF}$ cùng phương với $\overrightarrow{MN}$ hay $\frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{-4}$

⇔ y + 1 = 4(x – 3)

⇔ y= 4x – 12 (1)

+) Xét tọa độ P có x = 0 và y = 13 thay vào (1) ta được 13 = 4.0 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại P.

+) Xét tọa độ Q có x = 1 và y = -9 thay vào (1) ta được -8 = 4.1 – 12 là mệnh đề đúng. Do đó Q thỏa mãn.

+) Xét tọa độ H có x = 2 và y = 1 thay vào (1) ta được 1 = 4.2 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại H.

+) Xét tọa độ K có x = 3 và y = 1 thay vào (1) ta được 1 = 4.3 – 12 là mệnh đề sai. Do đó loại H.

Vậy M, N, Q thẳng hàng.

Câu 5. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC. M, N, P lần lượt là trung điểm cách cạnh BC, CA, AB. Biết M(0; 1); N(-1; 5); P(2; -3). Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC là:

A. $G\left(\frac{1}{3};1\right)$;

B. G(1; 3);

C. G(2; -3);

D. G(1; 1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PA}$ = (-1; 4)

Gọi tọa độ của điểm A là A(x_A; y_A). Khi đó $\overrightarrow{PA}\left(x_A-2;y_A+3\right)$.

Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PA}$ (tính chất đường trung bình)

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_A-2=-1\\ y_A+3=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_A=1\\ y_A=1\end{array}\right.$

⇒ A(1; 1).

Gọi tọa độ điểm B, C lần lượt là B(x_B; y_B) và C(x_C; y_C).

Vì P là trung điểm của AB nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_B=2.2-1\\ y_B=2.\left(-3\right)-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_B=3\\ y_B=-7\end{array}\right.$

⇒ B(3; -7).

Vì N là trung điểm của AC nên ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_C=2.\left(-1\right)-1\\ y_C=2.5-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=-3\\ y_C=9\end{array}\right.$

⇒ C(-3; 9).

Khi đó tọa độ trọng tâm G là $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{1+3+\left(-3\right)}{3}\\ y_G=\frac{1+\left(-7\right)+9}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{1}{3}\\ y_G=1\end{array}\right.$

$\Rightarrow G\left(\frac{1}{3};1\right)$.

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\overrightarrow{u}=-5\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}.$ Khi đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là:

A. $\overrightarrow{u}$(5; 6);

B. $\overrightarrow{u}$(-5; -6);

C. $\overrightarrow{u}$(6; -5);

D. $\overrightarrow{u}$(-5; 6).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Ta có $\overrightarrow{u}=-5\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}.$ Khi đó toạ độ của $\overrightarrow{u}$ là $\overrightarrow{u}$(-5; 6).

 

 

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho B(1; 2) và C(3; -1). Độ dài $\overrightarrow{BC}$ là:

A. 5;

B. 3;

C. $\sqrt{13}$;

D. $\sqrt{15}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Ta có $\overrightarrow{BC}$ = (3 – 1; -1 – 2) = (2; -3).

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{2^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{13}.$

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;1), B(3;3). Tìm điểm M(x;y) để OABM là một hình bình hành.

A. M(1; 2);

B. M(-1; 2);

C.M(1; -2);

D. M(-1; -2)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Ta có hai vecto $\overrightarrow{OA}\left(2;1\right),\overrightarrow{OB}\left(3;3\right)$ không cùng phương  (vì $\frac{2}{3}\ne \frac{1}{3}$). Do đó các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng.

Suy ra các điểm O, A, B không thẳng hàng

Để OABM là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{MB}$

Ta có: $\overrightarrow{OA}\left(2;1\right),\overrightarrow{MB}\left(3-x;3-y\right)$ nên

$\left\{\begin{array}{l}2=3-x\\ 1=3-y\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.\Rightarrow M\left(1;2\right).$

Vậy điểm cần tìm là M(1;2).

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1;3), N(4;2). Nhận xét nào sau đây đúng nhất về tam giác OMN.

A. Tam giác OMN là tam giác đều;

B. Tam giác OMN vuông cân tại M;

C. Tam giác OMN vuông cân tại N;

D. Tam giác OMN vuông cân tại O.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có M(1;3) $\Rightarrow \overrightarrow{OM}\left(1;3\right)\Rightarrow OM=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.$

Ta lại có N(4;2) $\Rightarrow \overrightarrow{ON}\left(4;2\right)\Rightarrow ON=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\left(-3;1\right)\Rightarrow MN=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+1^2}=\sqrt{10}$

Xét tam giác OMN, có: $OM=MN=\sqrt{10}$ nên tam giác OMN cân tại M.

Ta có: $O{N}^2={\left(2\sqrt{5}\right)}^2=20,$$O{M}^2+M{N}^2={\left(\sqrt{10}\right)}^2+{\left(\sqrt{10}\right)}^2=20$

$\Rightarrow O{N}^2=O{M}^2+M{N}^2$

Theo định lí Py – ta – go đảo suy ra tam giác OMN vuông tại O.

Do đó tam giác OMN vuông cân tại M.

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Cho tọa độ các điểm A(1;3), B(2;4), G(-3;2). Tọa độ điểm C là:

A. C(0; 3);

B. C(-6; -5);

C. C(-12; -1);

D. C(0; 9).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

⇒ G(-12; -1).

Câu 11. Trong các vectơ sau đây, có bao nhiêu cặp vectơ cùng phương?

$\overrightarrow{x}$(-1; 3); $\overrightarrow{y}\left(2;-\frac{1}{3}\right)$; $\overrightarrow{z}\left(-\frac{2}{5};\frac{1}{5}\right)$; $\overrightarrow{\text{w}}$(4; -2).

A. Có 1 cặp;

B. Có 3 cặp;

C. Có 4 cặp;

D. Có 0 cặp.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

+) Xét cặp vectơ $\overrightarrow{z}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ ta có: $\frac{-\frac{2}{5}}{4}=\frac{\frac{1}{5}}{-2}$. Do đó cặp vectơ $\overrightarrow{z}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ cùng phương.

Các cặp vectơ còn lại không cùng phương, thật vậy

+) Xét cặp vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{z}$ ta có: $\frac{2}{-\frac{2}{5}}\ne \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{5}}$. Do đó cặp vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{z}$ không cùng phương.

Vì cặp vectơ $\overrightarrow{z}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ cùng phương nên cặp vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ không cùng phương.

+) Xét cặp vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{x}$ ta có: $\frac{2}{-1}\ne \frac{-\frac{1}{3}}{3}$. Do đó cặp vectơ $\overrightarrow{y}$ và $\overrightarrow{x}$ không cùng phương.

+) Xét cặp vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{z}$ ta có: $\frac{-1}{-\frac{2}{5}}\ne \frac{3}{\frac{1}{5}}$. Do đó cặp vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{z}$ không cùng phương.

Vì cặp vectơ $\overrightarrow{z}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ cùng phương nên cặp vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{\text{w}}$ không cùng phương.

Vậy chỉ có duy nhất một cặp vectơ cùng phương

Câu 12. Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí A(-3; 2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vecto $\overrightarrow{v}=\left(2;5\right).$ Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 2 giờ.

A. (-1; 7);

B. (4; 10);

C. (1; 12);

D. Không xác định được vị trí của tàu.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Gọi A’(x’; y’) là vị trí tàu thủy đến sau khi khởi hành 2 giờ.

Khi đó, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}x‘=-3+2.2\\ y‘=2+2.5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x‘=1\\ y‘=12\end{array}\right.\Rightarrow A‘\left(1;12\right)$

Vậy sau khi khởi hành 2 giờ thì tàu thủy đến được vị trí A’(1; 12).

Câu 13. Cho hình vẽ sau:

Hãy biểu thị mỗi vecto $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$ theo các vecto $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$.

A. $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{ON}=-2\overrightarrow{i}+\frac{5}{2}\overrightarrow{j}$;

B. $\overrightarrow{OM}=5\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{ON}=-2\overrightarrow{i}+\frac{5}{2}\overrightarrow{j}$;

C. $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{ON}=-\frac{5}{2}\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$;

D. $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{ON}=-2\overrightarrow{i}-\frac{5}{2}\overrightarrow{j}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Xét hình bình hành OAMB, có:

$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}$ (quy tắc hình bình hành)

Xét hình bình hành OCND, có:

$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{i}+\frac{5}{2}\overrightarrow{j}$ (quy tắc hình bình hành) .

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(11; –2), B(4; 10); C(-2; 2); D(7; 6); Hỏi G(3; 6) là trọng tâm của tam giác nào trong các tam giác sau đây?

A. Tam giác ABD

B. Tam giác ABC

C. Tam giác ACD

D. Tam giác BCD

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

+) Trọng tâm tam giác ABD là: $\left(\frac{11+4+7}{3};\frac{-2+10+6}{3}\right)=\left(\frac{22}{3};\frac{14}{3}\right)$;

+) Trọng tâm tam giác ABC là: $\left(\frac{11+4+\left(-2\right)}{3};\frac{-2+10+2}{3}\right)=\left(\frac{13}{3};\frac{10}{3}\right)$;

+) Trọng tâm tam giác ACD là: $\left(\frac{11+\left(-2\right)+7}{3};\frac{-2+2+6}{3}\right)=\left(\frac{16}{3};2\right)$;

+) Trọng tâm tam giác BCD là: $\left(\frac{4+\left(-2\right)+7}{3};\frac{10+2+6}{3}\right)$ = (3; 6).

Vậy G là trọng tâm tam giác BCD.

Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1;3), B(2;4), C(-3;2). Tìm điểm D(x; y) để O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD. Tổng x + y bằng

A. 10;

B. -10;

C. 3;

D. -3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Để O(0;0) là tọa độ trọng tâm tam giác ABD thì:

$\left\{\begin{array}{l}0=\frac{1+2+x}{3}\\ 0=\frac{3+4+y}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+3=0\\ y+7=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-7\end{array}\right.$

Suy ra D(-3;-7) thì O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.

Vậy tổng x + y = -3 + (-7) = -10.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Chương 4: Vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 12: Số gần đúng và sai số