20 câu Trắc nghiệm Tổ hợp (Cánh diều 2023) có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tổ hợp

Câu 1. Số tam giác xác định bởi các đỉnh của một đa giác đều 10 cạnh là:

A. 35;

B. 120;

C. 240;

D. 720.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác.

Chọn 3 trong 10 đỉnh của đa giác tạo ra một tam giác, có $C_{10}^3=120$cách chọn 3 đỉnh bất kỳ

Vậy có 120 tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác 10 cạnh.

Câu 2. Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng hai học sinh lớp 12A được chọn?

A. 66;

B. 24;

C. 60;

D. 72.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Chọn ra 4 học sinh trong đó có hai học sinh lớp 12A ta có các trường hợp

Trường hợp 1, 2 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B và 1 học sinh lớp 12C

Trường hợp này có $C_4^2.C_3^1.C_2^1$ = 36 cách

Trường hợp 2, 2 học sinh lớp 12A, 2 học sinh lớp 12B và 0 học sinh lớp 12C

Trường hợp này có $C_4^2.C_3^2.C_2^0$ = 18 cách

Trường hợp 3, 2 học sinh lớp 12A, 0 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C

Trường hợp này có $C_4^2.C_3^0.C_2^2$ = 6 cách

Áp dụng quy tắc cộng ta có 36 + 18 + 6 = 60 cách chọn.

Câu 3.Trong hộp có 5 quả cầu đỏ và 7 quả cầu xanh kích thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp. Hỏi có bao nhiêu khả năng lấy được số quả cầu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh.

A. 245;

B. 3480;

C. 246;

D. 3360.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì lấy quả cầu đỏ nhiều hơn quả cầu xanh nên ta có các trường hợp sau

Trường hợp 1. Lấy được 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu xanh: số cách lấy là $C_5^3.C_7^2$ = 210

Trường hợp 2. Lấy được 4 quả cầu đỏ, 1 quả cầu xanh: số cách lấy là $C_5^4.C_7^1$ = 35

Trường hợp 3. Lấy được 5 quả cầu đỏ, 0 quả cầu xanh: số cách lấy là $C_5^5.C_7^0$ = 1

Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách lấy là: 210 + 35 + 1 = 246.

Câu 4.Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

A. 5;

B. 6;

C. 7;

D. 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đa giác có n cạnh $\left(n\in \mathbb{N},n\ge 3\right)$.

Số đường chéo trong đa giác là: $C_n^2-n$.

Vì số đường chéo gấp đôi số cạnh nên ta có

$C_n^2-n=2n\iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!.2!}=3n$

⇒ n(n – 1) = 6n

⇒ n = 7 hoặc n = 0

Kết hợp với điều kiện n = 7 thoả mãn.

Câu 5. Cho k, n là các số nguyên dương, k ≤ n. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. $A_n^k=n\left(n-1\right)\mathrm{\dots }\left(n-k+1\right)$;

B. P_n = n(n – 1)(n – 2)…2.1;

C. P_n = n!;

D. $A_n^k=\frac{n!}{k!}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

Ta có $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n\left(n-1\right)\mathrm{\dots }\left(n-k+1\right)$. Do đó A đúng và D sai.

Ta lại có: P_n = n! = n(n – 1)(n – 2)…2.1.

Câu 6.Tên 15 quả bóng khác nhau để vào trong hộp. Có bao nhiêu cách chọn ra 4 quả bóng.

A. 4!;

B. 15!;

C. 1 365;

D. 32 760.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mỗi cách chọn ra 4 quả bóng trong 15 quả bóng là một tổ hợp chập 4 của 15 phần tử. Vậy số cách chọn ra 4 quả bóng là: $C_{15}^4$ = 1 365 (cách).

Câu 7. Số tập con gồm ba phần tử khác nhau của một tập hợp gồm bảy phần tử khác nhau?

A. $\frac{7!}{3!}$;

B. $C_7^3$;

C. $A_7^3$;

D. 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mỗi tập con gồm ba phần tử khác nhau của một tập hợp gồm bảy phần tử khác nhau là một tổ hợp chập 3 của 7.

Số tập con gồm ba phần tử khác nhau của một tập hợp gồm bảy phần tử khác nhau là$C_7^3$.

Câu 8.Từ 6 điểm phân biệt thuộc đường thẳng ∆ và một điểm không thuộc đường thẳng ∆ ta có thể tạo được tất cả bao nhiêu tam giác?

A.210;

B.30;

C.15;

D.35;

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta lấy 2 điểm trong 6 điểm trên đường thẳng ∆ kết hợp với 1 điểm không thuộc ∆ tạo ra một tam giác, có $C_6^2=15$ cách lấy ra 2 điểm thuộc ∆

Vậy số tam giác được lập theo yêu cầu bài toán là: 15 tam giác.

Câu 9.Nếu $C_n^k=10$ và $A_n^k=60$. Thì k bằng

A. 3;

B. 5;

C. 6;

D. 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $C_n^k=10\iff \frac{n!}{(n-k)!k!}=10$,$A_n^k=60\iff \frac{n!}{(n-k)!}=60$

Vậy $\frac{A_n^k}{C_n^k}=6$ $\iff \frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{\frac{n!}{k!(n-k)!}}=6$

Suy ra k! = 6 ⇒ k = 3.

Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của n thỏa mãn $A_n^2-3C_n^2=15-5n$

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện n ≥ 2; n $\in$ ℕ.

$A_n^2-3C_n^2=15-5n$ $\iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!}-3.\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}=15-5n$

$\iff \left(n-1\right)n-\frac{3\left(n-1\right)n}{2}=15-5n$

$\iff$ – n² + 11n – 30 = 0

$\iff$n = 5 hoặc n = 6.

Vậy có 2 giá trị của n thoả mãn.

Câu 11. Giá trị của n bằng bao nhiêu, biết $\frac{5}{C_5^n}-\frac{2}{C_6^n}=\frac{14}{C_7^n}$

A. n = 2 hoặc n = 4;

B. n = 5;

C. n = 4;

D. n = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: 0 ≤ n ≤ 5; n $\in$ℕ.

$\frac{5}{C_5^n}-\frac{2}{C_6^n}=\frac{14}{C_7^n}$$\iff \frac{5}{\frac{5!}{\left(5-n\right)!n!}}-\frac{2}{\frac{6!}{\left(6-n\right)!n!}}=\frac{14}{\frac{7!}{\left(7-n\right)!n!}}$

$\iff \frac{5.\left(5-n\right)!n!}{5!}-\frac{2.\left(6-n\right)!n!}{6!}=\frac{14.\left(7-n\right)!n!}{7!}$

$\iff$ 5.6.7 – 2.7.(6 – n) = 14.(6 – n)(7 – n)

$\iff$14n² – 196n + 462 = 0

$\iff$n = 11 hoặc n = 3

Kết hợp với điều kiện n = 3 thoả mãn.

Câu 12. Cho đa giác đều n đỉnh, n $\in$ ℕ; n ≥ 3. Tìm giá trị của n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo.

A. 15;

B. 27;

C. 8;

D. 18.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số đường chéo là $C_n^2-n$.

+ Đa giác đã cho có 135 đường chéo nên $C_n^2-n=135$.

$\iff$ $\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}-n=135$

$\iff$n(n – 1) – 2n = 270

$\iff$n² – 3n – 270 = 0

$\iff$n = 18 hoặc n = – 15

Kết hợp với điều kiện n = 18 thoả mãn.

Câu 13.Trong không gian cho 2n điểm phân biệt n $\in$ ℕ; n ≥ 3, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên mặt phẳng. Biết rằng có đúng 505 mặt phẳng phân biệt được tạo thành từ 2n điểm đã cho. Tìm n?

A.n = 9;

B.n = 7;

C. Không có n thỏa mãn;

D.n = 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì trong 2n điểm đã cho không có 3 điểm nào thẳng hàng nên cứ 3 điểm tạo thành một mặt phẳng, thế thì ta có $C_{2n}^3$ mặt phẳng.

Tuy nhiên vì trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên mặt phẳng nên n điểm này có duy nhất 1 mặt phẳng.

Vậy số mặt phẳng có được là $\left(C_{2n}^3-C_n^3+1\right)$.

Theo đề bài ta có: $C_{2n}^3-C_n^3+1=505$ $\iff \frac{\left(2n\right)!}{3!\left(2n-3\right)!}-\frac{n!}{3!\left(n-3\right)!}=504$

$\iff$2n(2n – 1)(2n – 2) – n(n – 1)(n – 2) = 3024

$\iff$7n³ – 9n² + 2n – 3024 = 0

$\iff$ n = 8 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy n = 8.

Câu 14.Trong một giải cờ vua gồm nam và nữ vận động viên. Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với mỗi động viên còn lại. Cho biết có 2 vận động viên nữ và cho biết số ván các vận động viên chơi nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với hai vận động viên nữ là 84. Hỏi số ván tất cả các vận động viên đã chơi?

A.168;

B.156;

C.132;

D.182.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi số vận động viên nam là n.

Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là $2.C_n^2=n\left(n-1\right)$.

Số ván các vận động viên nam chơi với các vận động viên nữ là $\mathrm{2.2.}n=4n$

Vậy ta có n(n – 1) – 4n = 84

$\iff$ n² – 5n – 84 = 0

$\iff$n = 12 hoặc n = – 7.

Kết hợp với điều kiện n = 12 thoả mãn

Vậy số ván các vận động viên chơi là $2C_{14}^2=182$.

Câu 15.Có 14 người gồm 8 nam và 6 nữ. Số cách chọn 6 người trong đó có đúng 2 nữ là

A.1078;

B. 1414;

C. 1050;

D. 1386.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cách chọn 6 người trong đó có đúng 2 nữ vậy số nam chọn là 4

Số cách chọn là: $C_6^2.C_8^4=1050$ cách.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3: Tổ hợp

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4: Nhị thức Newton

Trắc nghiệm Ôn tập chương 5

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1: Số gần đúng. Sai số