20 câu Trắc nghiệm Định lí côsin và định lí sin (Chân trời sáng tạo 2023) có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

I. Nhận biết

Câu 1. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = c. Biết $\hat{C} = 120 ° .$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. c² = a² + b² – ab;

B. c² = a² + b² + ab;

C. c² = a² + b² – 3ab;

D. c² = a² + b² + 3ab.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Theo định lí côsin ta có: c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Mà $\hat{C} = 120 °$ nên cosC = $\frac{1}{2}$

Do đó c² = a² + b² – 2ab. $(- \frac{1}{2})$ = c² = a² + b² + ab.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 2. Cho tam giác ABC có $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} > 0$ . Khi đó:

A. $\hat{A} < 90 °;$

B. $\hat{A} = 90 °;$

D. $\hat{A} > 90 °;$

D. Không thể kết luận được gì số đo của góc A.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Theo hệ quả định lí côsin ta có: $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ .

Mà $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} > 0$ nên cosA > 0.

Do đó $\hat{A} < 90 ° .$

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 3. Cho tam giác ABC bất kì có BC = a, AC = b và AB = c. Đẳng thức nào đúng?

A. b² = a² + c² – ac.cosB;

B. a² = b² + c² + 2bc.cosA;

C. c² = b² + a² + ab.cosC;

D. c² = b² + a² – 2ab.cosC.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Theo định lí côsin ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA;

b² = a² + c² – 2ac.cosB;

c² = b² + a² – 2ab.cosC.

Do đó phương án D là đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 4. Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a và AC = b. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\frac{a}{\sin A} = 2 R$

B. $b = \frac{a . \sin B}{\sin A}$ .

C. b = 2R.sinA;

D. c = 2R.sinC.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Theo định lí sin ta có: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R .$ Do đó A đúng.

Từ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ ta suy ra $b = \frac{a}{\sin A} . \sin B = \frac{a . \sin B}{\sin A} .$ Do đó B đúng.

Ta cũng có hệ quả định lí sin: b = 2R.sinB và c = 2R.sinC.

Do đó C sai và D đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 5. Cho tam giác ABC bất kì có BC = a, AC = b và AB = c. Công thức tính diện tích tam giác ABC nào sau đây là đúng:

A. S = $\frac{1}{2}$ bc.sinA;

B. S = $\frac{1}{2}$ ac.sinA;

C. S = $\frac{1}{2}$ bc.sinB;

D. S = $\frac{1}{2}$ ab.sinB.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có công thức tính diện tích tam giác ABC là:

$S = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} a c \sin B = \frac{1}{2} a b \sin C .$

Do đó ta chọn phương án A.

Câu 6. Cho tam giác ABC bất kì có BC = a, AC = b và AB = c. Gọi h_a, h_b, h_c độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB. Biết tam giác ABC có diện tích là S. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. h_a = $\frac{S}{a};$

B. h_b = $\frac{2 S}{b};$

C. h_c = $\frac{S}{2 c};$

D. h_a = $\frac{4 S}{a} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có công thức tính diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}$ ah_a = $\frac{1}{2}$ bh_b = $\frac{1}{2}$ ch_c

Do đó ta có: h_a = $\frac{2 S}{a};$ h_b = $\frac{2 S}{b};$ h_c = $\frac{2 S}{c} .$

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 7. Cho tam giác ABC bất kì có BC = a, AC = b và AB = c. Gọi R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác; p, S lần lượt là nửa chu vi và diện tích tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. S = $\frac{1}{2}$ abc;

B. $\frac{a}{\sin A} = R;$

C. $\cos B = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c};$

D. $r = \frac{S}{p} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Theo hệ quả định lí côsin ta có: $\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} .$ Do đó C sai.

Theo định lí sin ta có: $\frac{a}{\sin A} = 2 R .$ Do đó B sai.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác như sau:

• S = $\frac{a b c}{4 R} .$ Do đó A sai.

• S = pr, suy ra $r = \frac{S}{p} .$ Do đó D đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

II. Thông hiểu

Câu 1. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 1 cm và có đường chéo AC = $\sqrt{3}$ cm. Số đo $\hat{B A D}$ bằng:

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 120°.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

TOP 20 câu Bài tập Định lí côsin và định lí sin- Toán 10 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Vì ABCD là hình thoi có cạnh bằng 1 cm nên ta có AB = BC = 1 cm và AC = $\sqrt{3}$ cm.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho DABC, ta có:

$\cos \hat{B A C} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{2.1. \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Suy ra $\hat{B A C} = 30 °$ .

Vì ABCD là hình thoi nên đường chéo AC là tia phân giác của $\hat{B A D}$ .

Suy ra $\hat{B A D} = 2 \hat{B A C} = 2.30 ° = 60 °$ .

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 2. ∆ABC có AB = 5, AC = 8 và $\hat{B A C} = 60 °$ . Bán kính r của đường tròn nội tiếp ∆ABC bằng:

A. 1;

B. 2;

C. $\sqrt{3}$ ;

D. $2 \sqrt{3}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Áp dụng định lí côsin cho $∆$ ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

= 5² + 8² – 2.5.8.cos60°

= 49.

Suy ra BC = $\sqrt{49} = 7$ .

Diện tích ∆ABC là:

$S = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A = \frac{1}{2} .5.8. \sin 60 ° = 10 \sqrt{3}$ (đơn vị diện tích)

Nửa chu vi của ∆ABC là:

$p = \frac{A B + A C + B C}{2} = \frac{5 + 8 + 7}{2} = 10$

Ta có S = pr

$\Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{10 \sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}$ .

Vậy bán kính r của đường tròn nội tiếp của ∆ABC bằng $\sqrt{3}$ .

Do đó ta chọn phương án C.

Câu 3. Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 4 cm có diện tích bằng:

A. 13 cm²;

B. $13 \sqrt{2}$ cm²;

C. $12 \sqrt{3}$ cm²;

D. 15 cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Do ∆ABC đều nên $\hat{B A C} = 60 °$ .

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta có $\frac{B C}{\sin \hat{B A C}} = 2 R$

⇔ BC = 2R.sinA = 2.4.sin60° = $4 \sqrt{3}$ .

Vì ∆ABC đều nên ta có AB = AC = BC = $4 \sqrt{3}$ .

Diện tích ∆ABC là:

$S = \frac{A B . A C . B C}{4 R} = \frac{4 \sqrt{3} .4 \sqrt{3} .4 \sqrt{3}}{4.4} = 12 \sqrt{3}$ (cm²)

Do đó ta chọn phương án C.

Câu 4. ∆ABC có a = 21, b = 17, c = 10. Diện tích của tam giác ABC bằng:

A. 16;

B. 48;

C. 24;

D. 84.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Nửa chu vi của tam giác ABC là:

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{21 + 17 + 10}{2} = 24$ .

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{Δ A B C} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

$= \sqrt{24 (24 - 21) (24 - 17) (24 - 10)} = 84$ (đơn vị diện tích)

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 5. ∆ABC có a = 5, b = 6, c = 7. Bán kính r của đường tròn nội tiếp ∆ABC bằng:

A. $\frac{\sqrt{858}}{3}$ ;

B. $2 \sqrt{6}$ ;

C. $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ;

D. 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Nửa chu vi của ∆ABC là: $p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$

Diện tích của ∆ABC là:

$S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

$= \sqrt{9 (9 - 5) (9 - 6) (9 - 7)} = 6 \sqrt{6}$ (đơn vị diện tích)

Ta có S = p.r

$\Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{6 \sqrt{6}}{9} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 6. ∆ABC có AB = 3, AC = 6 và $\hat{A} = 60 °$ . Độ dài bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC bằng:

A. 3;

B. $3 \sqrt{3}$ ;

C. $\sqrt{3}$ ;

D. 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Áp dụng định lí côsin cho DABC, ta có:

BC² = AB² + AC² –2.AB.AC.cosA

= 3² + 6² – 2.3.6.cos60°

= 27.

Suy ra $B C = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$ .

Áp dụng định lí sin, ta có $\frac{B C}{\sin A} = 2 R$ .

Suy ra $R = \frac{B C}{2. \sin A} = \frac{3 \sqrt{3}}{2. \sin 60 °} = 3$ .

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 7. ∆ABC đều cạnh a nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Khi đó bán kính R bằng:

A. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ ;

B. $\frac{a \sqrt{2}}{3}$ ;

C. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$ ;

D. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có ∆ABC đều cạnh a.

Suy ra AB = AC = BC = a.

Nửa chu vi ∆ABC là: $p = \frac{a + a + a}{2} = \frac{3 a}{2}$ .

Diện tích ∆ABC là:

$S = \sqrt{p (p - A B) (p - A C) (p - B C)}$

$= \sqrt{\frac{3 a}{2} (\frac{3 a}{2} - a) (\frac{3 a}{2} - a) (\frac{3 a}{2} - a)}$

$= \sqrt{\frac{3 a}{2} . \frac{a}{2} . \frac{a}{2} . \frac{a}{2}} = \frac{a^{2} . \sqrt{3}}{4}$ (đơn vị diện tích)

Ta có $S = \frac{A B . A C . B C}{4 R}$ .

Suy ra $R = \frac{A B . A C . B C}{4 S} = \frac{a . a . a}{4. \frac{a^{2} . \sqrt{3}}{4}} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 8. ∆ABC có AB = 5, AC = 10, $\hat{A} = 60 °$ . Độ dài đường cao h_a của ∆ABC bằng:

A. $3 \sqrt{5}$

B. $\sqrt{5}$

C. 5;

D. $\frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Áp dụng định lí côsin cho DABC, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA

= 5² + 10² – 2.5.10.cos60°

= 75.

Suy ra BC = $\sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$ .

Diện tích ∆ABC là:

$S = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A = \frac{1}{2} .5.10. \sin 60 ° = \frac{25 \sqrt{3}}{2}$ (đơn vị diện tích)

Ta có $S = \frac{1}{2} B C . h_{a}$

Suy ra $h_{a} = \frac{2 S}{B C} = \frac{2.25 \sqrt{3}}{2.5 \sqrt{3}} = 5$ .

Vậy ta chọn phương án C.

III. Vận dụng

Câu 1. Cho ∆ABC. Nếu tăng cạnh AB lên 4 lần và tăng cạnh AC lên 5 lần và giữ nguyên độ lớn của $\hat{A}$ thì khi đó diện tích của tam giác mới S’ được tạo nên bằng:

A. 5S;

B. 10S;

C. 16S;

D. 20S.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Diện tích ∆ABC ban đầu là: $S = \frac{1}{2} . A B . A C . \sin A$ .

Khi tăng cạnh AB lên 4 lần và tăng cạnh AC lên 5 lần và giữ nguyên độ lớn của $\hat{A}$ thì diện tích ∆ABC lúc này là:

$S^{‘} = \frac{1}{2} . (4 A B) . (5 A C) . \sin A = 4.5. \frac{1}{2} A B . A C . \sin A = 20 S$ .

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 2. ∆ABC vuông cân tại A và nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC. Khi đó tỉ số $\frac{R}{r}$ bằng:

A. $1 + \sqrt{2}$

B. $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

D. $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Giả sử AB = AC = a.

∆ABC vuông cân tại A nên BC² = AB² + AC² (Định lí Pythagore)

Do đó BC² = a² + a² = 2a².

Suy ra $B C = a \sqrt{2}$ .

Diện tích ∆ABC là: $S = \frac{1}{2} . A B . A C = \frac{a^{2}}{2}$ (đơn vị diện tích)

Ta có $S = \frac{A B . A C . B C}{4 R}$

$\Leftrightarrow R = \frac{A B . A C . B C}{4 S} = \frac{a . a . a \sqrt{2}}{4. \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Nửa chu vi của ∆ABC là:

$p = \frac{A B + A C + B C}{2} = \frac{a + a + a \sqrt{2}}{2} = \frac{a (2 + \sqrt{2})}{2}$ .

Ta có S = p.r

$\Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{a^{2}}{2} : \frac{a (2 + \sqrt{2})}{2} = \frac{a^{2}}{2} . \frac{2}{a (2 + \sqrt{2})} = \frac{a}{2 + \sqrt{2}}$ .

Vì vậy tỉ số $\frac{R}{r} = \frac{a \sqrt{2}}{2} : \frac{a}{2 + \sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{2 + \sqrt{2}}{a} = 1 + \sqrt{2}$ .

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 3. ∆ABC có $A B = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ , $B C = \sqrt{3}$ , $C A = \sqrt{2}$ . Gọi D là chân đường phân giác trong của $\hat{A}$ . Khi đó số đo của $\hat{A D B}$ bằng:

A. 45°;

B. 60°;

C. 75°;

D. 90°.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

TOP 20 câu Bài tập Định lí côsin và định lí sin- Toán 10 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Áp dụng hệ quả của định lí côsin cho ∆ABC, ta có:

⦁ $\cos \hat{B A C} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2. A B . A C} = \frac{2 - \sqrt{3} + 2 - 3}{2. \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} . \sqrt{2}} = - \frac{1}{2}$ .

Suy ra $\hat{B A C} = 120 °$ .

⦁ $\cos \hat{A B C} = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C} = \frac{2 - \sqrt{3} + 3 - 2}{2. \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} . \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Suy ra $\hat{A B C} = 45 °$ hay $\hat{A B D} = 45 °$ .

Ta có AD là tia phân giác của $\hat{B A C}$ .

Suy ra $\hat{B A D} = \frac{1}{2} \hat{B A C} = \frac{1}{2} .120 ° = 60 °$ .

∆ABD có: $\hat{B A D} + \hat{A B D} + \hat{A D B} = 180 °$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

$\Leftrightarrow \hat{A D B} = 180 ° - (\hat{B A D} + \hat{A B D}) = 180 ° - (60 ° + 45 °) = 75 °$ .

Vậy $\hat{A D B} = 75 °$ .

Do đó ta chọn phương án C.

Câu 4. Cho ∆ABC và các khẳng định sau:

(I) b² – c² = a(b.cosC – c.cosB);

(II) (b + c)sinA = a(sinB + sinC);

(III) ha = 2R.sinB.sinC;

(IV) S = R.r.(sinA + sinB + sin C);

Số khẳng định đúng là:

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

⦁ Ta xét khẳng định (I):

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABC ta có:

b² – c² = c² + a² – 2ca.cosB – (a² + b² – 2ab.cosC)

= c² + a² – 2ca.cosB – a² – b² + 2ab.cosC

= c² – b² + 2a(b.cosC – c.cosB)

$\Rightarrow$ b² – c² = c² – b² + 2a(b.cosC – c.cosB)

$\Rightarrow$ 2(b² – c²) = 2a(b.cosC – c.cosB)

$\Rightarrow$ b² – c² = a(b.cosC – c.cosB).

Do đó khẳng định (I) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (II):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

(b + c)sinA = $(2 R . \sin B + 2 R . \sin C) . \frac{a}{2 R}$

$= (\sin B + \sin C) . \frac{2 R . a}{2 R}$

= a(sinB + sinC).

Vì vậy khẳng định (II) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (III):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

2R.sinB.sinC = $2 R . \frac{b}{2 R} . \frac{c}{2 R}$

$= \frac{b c}{2 R} = \frac{a b c}{4 R} . \frac{2}{a}$

$= \frac{2 S}{a} = h_{a}$ .

Vì vậy khẳng định (III) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (IV):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

R.r.(sinA + sinB + sin C) = $R . r . (\frac{a}{2 R} + \frac{b}{2 R} + \frac{c}{2 R})$

$= R . r . \frac{1}{R} (\frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2})$

$= r . \frac{a + b + c}{2} = r . p = S$ .

Vì vậy khẳng định (IV) đúng.

Vậy có 4 khẳng định đúng, ta chọn phương án D.

Câu 5. Hai tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 120°. Tàu 1 chạy với vận tốc 30 hải lí/giờ. Tàu 2 chạy với vận tốc 25 hải lí/giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau khoảng:

A. 47,7 hải lí;

B. 95,4 hải lí;

C. 2275 hải lí;

D. 9100 hải lí.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

TOP 20 câu Bài tập Định lí côsin và định lí sin- Toán 10 Chân trời sáng tạo (ảnh 1)

Giả sử sau hai giờ, tàu 1 đến vị trí điểm B, tàu 2 đến vị trí điểm C.

Sau hai giờ, tàu 1 đi được 2.30 = 60 (hải lí).

Suy ra AB = 60.

Sau hai giờ, tàu hai đi được 2.25 = 50 (hải lí).

Suy ra AC = 50.

Ta có BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

= 60² + 50² – 2.60.50.cos120°

= 9100

Suy ra BC = $\sqrt{9100} = 10 \sqrt{91} \approx 95, 4$ .

Vì vậy sau hai giờ, hai tàu cách nhau khoảng 95,4 hải lí.

Vậy ta chọn phương án B.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Trắc nghiệm Bài 2: Bài tập Định lí côsin và định lí sin

Trắc nghiệm Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Trắc nghiệm Ôn tập chương 4

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 1: Khái niệm vectơ

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy