Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải Toán 10 trang 26 Tập 1 Kết nối tri thức

Câu hỏi mở đầu trang 26 Toán lớp 10: Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hoà điều hoà hai chiều và điều hoà một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỷ đồng.

 

Điều hòa hai chiều

Điều hòa một chiều

Giá mua vào

20 triệu đồng/1 máy

10 triệu đồng/1 máy

Lợi nhuận dự kiến

3,5 triệu đồng/1 máy

2 triệu đồng/1 máy

 Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại. Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy đề lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Lời giải:

Gọi x và y lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. $x,y\in \mathbb{N}$

Do nhu cầu thị trường không quá 100 máy cả 2 loại nên $x+y\le 100$

Do chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên: $20x+10y\le 1200$

Tổng số tiền lãi là 3,5x+2y (triệu đồng).

 

+) x = 0, y = 100 thì tiền lãi là 200 triệu đồng

+) x = 50, y = 0 thì tiền lãi là 175 triệu đồng

+) x = 20, y = 80 thì tiền lãi là 230 triệu đồng

Vậy cửa hàng cần nhập 20 máy điều hoà loại hai chiều và 80 máy một chiều thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.

1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

HĐ1 trang 26 Toán lớp 10: Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Tính số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại máy điều hoà theo x và y.

a) Do nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên x và y cần thoả mãn điều kiện gì?

b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên x và y phải

thoả mãn điều kiện gì?

c) Tính số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được theo x và y.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính số tiền mua x chiếc điều hòa hai chiều.

Bước 2: Tính số tiền mua y chiếc điều hòa một chiều.

Bước 3: Số tiền vốn bằng tổng số tiền mua x điều hòa hai chiều và y chiếc điều hòa một chiều.

a) Nhu cầu thị trường không quá 100 máy cả 2 loại có nghĩa là tổng số điều hòa nhập vào cũng không quá 100 máy.

b) Lập bất phương trình thể hiện số vốn không vượt quá 1,2 tỉ đồng.

c) Dựa vào lợi nhuận dự kiến của mỗi loại điều hòa, lập công thức thể hiện số tiền lãi.

Bước 1: Tính số tiền lãi khi bán x chiếc điều hòa hai chiều.

Bước 2: Tính số tiền lãi khi bán y chiếc điều hòa một chiều.

Bước 3: Số tiền lãi của cửa hàng bằng tổng số tiền lãi x điều hòa hai chiều cộng với số tiền lãi khi bán y chiếc điều hòa một chiều.

Lời giải:

Bước 1:

Số tiền mua x chiếc điều hòa hai chiều là 20x (triệu đồng)

Bước 2:

Số tiền mua y chiếc điều hòa một chiều là 10y (triệu đồng).

Bước 3:

Số tiền khi mua x chiếc điều hòa hai chiều và y chiếc điều hòa một chiều là 20x+10y (triệu đồng).

a) Nhu cầu thị trường không quá 100 máy cả 2 loại có nghĩa là tổng số điều hòa nhập vào cũng không quá 100 máy.

Tổng số máy mua vào là x+y.

Khi đó do nhu cầu thị trường không quá 100 máy cả 2 loại nên $x+y\le 100$

b)

1,2 tỉ đồng =1200 (triệu đồng)

Số vốn mua x điều hòa hai chiều và y chiếc điều hòa một chiều là 20x+10y (triệu đồng).

Do chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên ta có:

$20x+10y\le 1200$

$\iff 2x+y\le 120$

c)

Bước 1:

Số tiền lãi bán 1 chiếc điều hòa hai chiều là 3,5 triệu đồng nên số tiền lãi khi bán x chiếc điều hòa hai chiều là 3,5x (triệu đồng)

Bước 2:

Số tiền lãi bán 1 chiếc điều hòa một chiều là 2 triệu đồng nên số tiền lãi khi bán y chiếc điều hòa một chiều là 2y (triệu đồng)

Bước 3:

Tổng số tiền lãi là 3,5x+2y (triệu đồng).

Chú ý:

Cửa hàng nhập x chiếc điều hòa hai chiều và y chiếc điều hòa một chiều có nghĩa là cửa hàng đã mua vào x máy điều hòa hai chiều với giá 20 triệu đồng/máy và y máy với giá 10 triệu đồng/máy.

Giải Toán 10 trang 27 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 1 trang 27 Toán lớp 10: Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình hai ẩn x, y và chỉ ra một nghiệm của hệ này.

Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Tính số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại

máy điều hoà theo x và y.

a) Do nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên x và y cần thoả mãn điều kiện gì?

b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên x và y phải

thoả mãn điều kiện gì?

c) Tính số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được theo x và y.

Phương pháp giải:

– Lập hệ:

+ Số điều hòa nhập vào phải là số tự nhiên

+ Nêu rõ các bất phương trình có ở HĐ 1. 

– Tìm nghiệm của hệ: Thử các cặp số (x;y) ngẫu nhiên vào hệ, nếu cặp số nào thỏa mãn hết các bất phương trình thì cặp số đó là nghiệm của hệ.

Lời giải:

– Lập hệ:

Do số lượng máy nhập vào phải là số tự nhiên nên ta có $x\ge 0,y\ge 0$.

Từ HĐ 1 ta có hai bất phương trình là $x+y\le 100$ và $2x+y\le 120$

Vậy hệ bất phương trình từ HĐ 1 là

$\{\begin{array}{l}x+y\le 100\\ 2x+y\le 120\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$.

– Tìm nghiệm:

Thay cặp số (x;y)=(50;10) vào hệ ta được:  

$\{\begin{array}{l}50+10\le 100\text{(Đúng)}\\ 2.50+10\le 120\text{(Đúng)}\\ 50\ge 0\text{(Đúng)}\\ 10\ge 0\text{(Đúng)}\end{array}$

Ta thấy các bất phương trình trên đều đúng hết nên (50;10) là một nghiệm của hệ.

Chú ý:

Ta có thể chọn cặp số khác (50;10), nếu sau khi thay cặp số đã chọn vào và thấy thỏa mãn cả 4 bất phương trình thì cặp số mà ta chọn là một nghiệm của hệ.

2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải Toán 10 trang 28 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ2 trang 28 Toán lớp 10: Cho đường thẳng d: x+y=150 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đường thẳng này cắt hai trục tọa độ Ox và Oy tại hai điểm A và B.

a) Xác định miền nghiệm $D_1,D_2,D_3$ của các bất phương trình tương ứng $x\ge 0;y\ge 0$ và $x+y\le 150$.

b) Miền tam giác OAB (H.2.5) có phải là giao điểm của các miền $D_1,D_2$ và $D_3$ hay không?

c) Lấy một điểm trong tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;2)) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;149)) và kiểm tra xem tọa độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không:

$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$

Phương pháp giải:

a) Biểu diễn các miền nghiệm của từng bất phương trình $x\ge 0;y\ge 0$ và $x+y\le 150$

Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) $ax+by=c$.

Bước 2: Lấy điểm một điểm không thuộc đường thẳng $ax+by=c$ và thay vào bất phương trình cần xác định miền nghiệm.

Bước 3: Nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm của bất phương trình chứa điểm đó.

b) Vẽ tất cả các miền miền $D_1,D_2$ và $D_3$ lên cùng một mặt phẳng.

Lời giải:

a)

Miền nghiệm của bất phương trình $x\ge 0$

Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) $x=0$. Đây là trục Oy.

Bước 2: Lấy điểm A(150;0) không thuộc trục Oy và thay vào biểu thức $x$, ta được: $x=150\ge 0$.

Bước 3: Do điểm A thỏa mãn bất phương trình nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có chứa điểm A.

Minh họa (phần không bị gạch chéo):

Miền nghiệm của bất phương trình $y\ge 0$

Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) $y=0$. Đây là trục Ox.

Bước 2: Lấy điểm B(0;150) không thuộc trục Ox và thay vào biểu thức $y$, ta được: $y=150\ge 0$.

Bước 3: Do điểm B thỏa mãn bất phương trình nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có chứa điểm B.

Minh họa (phần không bị gạch chéo):

 

Miền nghiệm của bất phương trình $y\ge 0$

Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) $y=0$. Đây là trục Ox.

Bước 2: Lấy điểm B(0;150) không thuộc trục Ox và thay vào biểu thức $y$, ta được: $y=150\ge 0$.

Bước 3: Do điểm B thỏa mãn bất phương trình nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có chứa điểm B.

Minh họa (phần không bị gạch chéo):

 

Miền nghiệm của bất phương trình $x+y\le 150$:

Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) $x+y=150$.

Bước 2: Lấy điểm O(0;0) không thuộc đường thẳng $x+y=150$ và thay vào $x+y$, ta được: $0+0=0\le 150$

Bước 3: Do điểm O thỏa mãn bất phương trình nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có chứa điểm O.

Minh họa (phần không bị gạch chéo):

 

Vậy $D_1$ là nửa trên mặt phẳng có bờ là trục Oy, $D_2$ là nửa bên phải mặt phẳng có bờ là trục Ox và $D_3$ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x+y=150 chứa điểm O.

b) Vẽ tất cả các miền miền $D_1,D_2$ và $D_3$ lên cùng một mặt phẳng.

=>Miền tam giác OAB (H.2.5) có phải là giao điểm của các miền $D_1,D_2$ và $D_3$

c) Lấy một điểm trong tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;2)) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;149)) và kiểm tra xem tọa độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không:

$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$

Lấy điểm (1;2) trong tam giác OAB, thay vào hệ $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$

Ta được:

$\{\begin{array}{l}1\ge 0\\ 2\ge 0\\ 1+2\le 150\end{array}$ (luôn đúng)

Vậy điểm (1;2) là nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$

Lấy điểm (1;149), thay vào hệ $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$

Ta được: 

$\{\begin{array}{l}1\ge 0\\ 149\ge 0\\ 1+149\le 150\end{array}$ (luôn đúng)

Vậy điểm (1;149) là nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$

Luyện tập 2 trang 28 Toán lớp 10: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ:  $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y>0\\ x+y\le 100\\ 2x+y<120\end{array}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x\ge 0$

Bước 2: Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y>0$

Bước 3: Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x+y\le 100$

Bước 4: Xác định miền nghiệm của bất phương trình $2x+y<120$

Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Lời giải:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x\ge 0$

Miền nghiệm của bất phương trình $x\ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

Bước 2: Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y>0$

Miền nghiệm của bất phương trình $y>0$ là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) không kể trục Ox.

Bước 3: Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x+y\le 100$

+ Vẽ đường thẳng d: x+y=100

+ Vì 0+0=0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x+y\le 100$ là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Bước 4: Xác định miền nghiệm của bất phương trình $2x+y<120$

Tương tự miền nghiệm của bất phương trình $2x+y<120$ là nửa mặt phẳng bờ d’ chúa gốc tọa độ O. (không kể đường thẳng d’).

Khi đó miền không bị gạch là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho (Không kể đoạn thẳng OC và CD).

3. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

HĐ3 trang 28 Toán lớp 10: Xét biểu thức F(x, y) = 2x + 3y với (x; y) thuộc miền tam giác OAB ở HĐ2. Toạ độ ba đình là O(0, 0), A(150, 0) và B(0; 150) (H.2.5). 

 

a) Tính giá trị của biểu thức F(x; y) tại mỗi đỉnh O, A và B.

b) Nêu nhận xét về dấu của hoành độ x và tung độ y của điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB.

c) Nêu nhận xét về tổng x + y của điểm (X; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của F(x, y) trên miền tam giác OAB.

Phương pháp giải:

a) Thay tọa độ điểm O, A, B vào F(x;y) và tính giá trị.

b) Lấy một điểm bất kì trong miền tam giác OAB.

Xác định dấu:

+ So sánh x với 0

+ So sánh y với 0

Đánh giá biểu thức F(x;y) dựa vào dấu của x và y, từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

c)

Dựa vào biểu thức

Giá trị lớn nhất: Tách 2x+3y =2.(x+y)+y và dựa vào việc đánh giá x+y và y ở bước trên để tìm giá trị lớn nhất.

Lời giải:

a) Thay tọa độ điểm O, A, B vào F(x;y) ta được:

F(0;0)=2.0+3.0=0

F(150;0)=2.150+3.0=300

F(0;150)=2.0+3.150=450.

b) Lấy một điểm bất kì trong miền tam giác OAB.

Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$ nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn $x\ge 0$.

Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$ nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn $y\ge 0$.

Vậy $x\ge 0$ và $y\ge 0$.

=> $F\left(x;y\right)=2x+3y\ge 2.0+3.0=0$

Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x;y) trên miền OAB là 0.

c) Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}$ nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn $x+y\le 150$

Như vậy với mỗi điểm trong miền tam giác OAB thì đều có tổng $x+y\le 150$

Quan sát miền OAB ta thấy điểm B(0;150) là điểm có tung độ lớn nhất nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB đều có $y\le 150$.

Vậy ta có: $F\left(x;y\right)=2x+3y$$=2.\left(x+y\right)+y$$\le 2.150+150=450$

Dấu “=” xảy ra khi x+y=150 và y=150. Hay x=0, y=150.

Giá trị lớn nhất trên miền OAB là 450 tại điểm B.

Giải Toán 10 trang 30 Tập 1 Kết nối tri thức

Vận dụng trang 30 Toán lớp 10: Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương

trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó đề lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Phương pháp giải:

a)

Bước 1: Lập bảng thể hiện vốn và lợi nhuận của mỗi loại máy.

Bước 2: Dựa vào các điều kiện sau để lập bất phương trình:

+ Số lượng là số tự nhiên

+ Điều kiện vốn ban đầu

+ Nhu cầu hàng tháng

Bước 3: Xác định miền nghiệm.

b) Lợi nhuận hàng tháng bằng lợi nhuận bán x máy loại A và y máy loại B.

c)

Bước 1: Xác định giá trị của F tại các điểm thuộc miền đa giác biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ở câu a.

Bước 2: Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các số tìm được ở bước 1.

Lời giải:

a)

Bước 1: Ta có:

 

Loại A

Loại B

Giá mua vào

10 triệu đồng/1 máy

20 triệu đồng/1 máy

Lợi nhuận

2,5 triệu đồng/1 máy

4 triệu đồng/1 máy

Bước 2: Lập hệ bất phương trình

Vì số lượng máy là số tự nhiên nên ta có $x\ge 0;y\ge 0$

Vốn nhập vào x máy loại A và y máy loại B là $10x+20y$(triệu đồng)

4 tỉ đồng=4000 (triệu đồng)

Vì số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng nên ta có bất phương trình

$10x+20y\le 4000$ $\iff x+2y\le 400$

Vì tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy nên ta có $x+y\le 250$.

Vậy ta có hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+2y\le 400\\ x+y\le 250\end{array}$

Bước 3: Xác định miền nghiệm

Miền nghiệm là tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh này là O(0;0), A(250;0), B(100;150), C(0;200)

b) Lợi nhuận hàng tháng là F(x;y)=2,5x+4y(triệu đồng)

c) Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) khi (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+2y\le 400\\ x+y\le 250\end{array}$

Ta có F(0;0)=0, F(250;0)=2,5.250+4.0=625

F(100;150)=2,5.100+4.150=850

F(0;200)=2,5.0+4.200=800

Giá trị lớn nhất là F(100;150)=850.

Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh 100 máy A và 150 máy B.

Bài tập

Bài 2.4 trang 30 Toán lớp 10: Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $\{\begin{array}{l}x<0\\ y\ge 0\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}x+y^2<0\\ y-x>1\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}x+y+z<0\\ y<0\end{array}$

d) $\{\begin{array}{l}-2x+y<3^2\\ 4^{2}x+3y<1\end{array}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định số lượng các ẩn của từng bất phương trình, nếu số ẩn vượt quá 2 ẩn thì đó không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bước 2: Nếu bất phương trình có số mũ ở một ẩn lớn hơn 1 thì hệ đó không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Lời giải:

a) Ta thấy hệ $\{\begin{array}{l}x<0\\ y\ge 0\end{array}$ gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn là $x<0$ và $y\ge 0$

=> Hệ trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Ta thấy hệ $\{\begin{array}{l}x+y^2<0\\ y-x>1\end{array}$ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì $x+y^2<0$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (chứa $y^2$)

c) Ta thấy hệ $\{\begin{array}{l}x+y+z<0\\ y<0\end{array}$ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì $x+y+z<0$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có 3 ẩn)

d) Ta có:

 $\{\begin{array}{l}-2x+y<3^2\\ 4^{2}x+3y<1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-2x+y<9\\ 16x+3y<1\end{array}$

Đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn là $-2x+y<9$ và $16x+3y<1$

Chú ý:

Bất phương trình dạng ax<0 cũng là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì ở đây ta có hệ số b=0.

Bài 2.5 trang 30 Toán lớp 10: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $\{\begin{array}{l}y-x<-1\\ x>0\\ y<0\end{array}$

b) $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+y\le 4\end{array}$

c) $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x+y>5\\ x-y>0\end{array}$

Phương pháp giải:

Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Lời giải:

a)

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y-x<-1$

+ Vẽ đường thẳng d: $-x+y=-1$

+ Vì $-0+0=0>-1$ nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình $y-x<-1$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $y-x<-1$ là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.

Miền nghiệm của bất phương trình $x>0$ là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) không kể trục Oy.

Miền nghiệm của bất phương trình $y<0$ là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;-1) không kể trục Ox.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền màu vàng (Không kể đoạn thẳng AB và các trục tọa độ).

 

b)

Miền nghiệm của bất phương trình $x\ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) kể cả trục Oy.

Miền nghiệm của bất phương trình $y\ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) kể cả trục Ox.

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $2x+y\le 4$

+ Vẽ đường thẳng d: $2x+y=4$

+ Vì $2.0+0=0<4$ nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình $2x+y\le 4$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $2x+y\le 4$ là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác OAB (kể cả các đoạn thẳng OA, OB, AB).

 

c)

Miền nghiệm của bất phương trình $x\ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) kể cả trục Oy.

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x+y>5$

+ Vẽ đường thẳng d: $x+y=5$

+ Vì $0+0=0<5$ nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình $x+y>5$.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x+y>5$ là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O.

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x-y<0$

+ Vẽ đường thẳng d: $x-y=0$

+ Vì $1-0=1>0$ nên tọa độ điểm (1;0) không thỏa mãn bất phương trình $x-y<0$

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x-y<0$ là nửa mặt phẳng bờ d’ không chứa điểm (1;0).

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền màu nâu (không kể d và d’)

Bài 2.6 trang 30 Toán lớp 10: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn, giá tiền 1 kg thịt bò là 250 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.

a,

Phương pháp giải:

Dựa vào:

+ Số đơn vị tối thiểu của Protein

+ Số đơn vị tối thiểu của Lipit

+ Số kg tối đa thịt bò

+ Số kg tối đa thịt lợn.

Lời giải:

 

Thịt bò

Thịt lợn

Protein

800/1kg

600/1kg

Lipit

200/1kg

400/1kg

Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.

Số lượng thịt bò và thịt lợn phải là một số không âm nên ta có: $x\ge 0,y\ge 0$.

Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein trong thức ăn mỗi ngày nên ta có: $800x+600y\ge 900\iff 8x+6y\ge 9$

Một gia đình cần ít nhất 400 đơn vị protein trong thức ăn mỗi ngày nên ta có: $200x+400y\ge 400\iff x+2y\ge 2$

Vì gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn nên ta có:

$x\le 1,6$ và $y\le 1,1$.

Vậy ta có hệ: $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 8x+6y\ge 9\\ x+2y\ge 2\\ x\le 1,6\\ y\le 1,1\end{array}$

Miền nghiệm của hệ là tứ giác ABCD với

A(1,6;0,2) (giao của d’ và đường thẳng x=1,6)

B(1,6;1,1) (giao của đường thẳng x=1,6 và đường thẳng y=1,1)

C(0,3;1,1) (giao của d và đường thẳng y=1,1)

D(0,6;0,7) (giao của d và d’)

Vì số tiền mỗi kg thịt bò và thịt lợn lần lượt là 250 nghìn đồng và 160 nghìn đồng nên ta có

$F\left(x;y\right)=250x+160y$(nghìn đồng)

 

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) khi (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 8x+6y\ge 9\\ x+2y\ge 2\\ x\le 1,6\\ y\le 1,1\end{array}$

Ta có F(1,6;0,2)=250.1,6+160.0,2=432.

F(1,6;1,1)=250.1,6+160.1,1=576

F(0,3;1,1)=251

F(0,6;0,7)=262

Giá trị nhỏ nhất là F(0,3;1,1)=251.

Vậy để chi phí ít nhất thì cần mua 0,3kg thịt bò và 1,1 thịt lợn.

Chú ý:

Đơn vị của F phải là nghìn đồng.

b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn F theo x và y.

Phương pháp giải:

Dựa vào số tiền mỗi kg thịt lợn và thịt bò để lập biểu thức.

Lời giải:

Vì số tiền mỗi kg thịt bò và thịt lợn lần lượt là 250 nghìn đồng và 160 nghìn đồng nên ta có

$F\left(x;y\right)=250x+160y$(nghìn đồng)

c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định giá trị của F tại các điểm thuộc miền đa giác biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ở câu a.

Bước 2: Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các số tìm được ở bước 1.

Lời giải:

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) khi (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 8x+6y\ge 9\\ x+2y\ge 2\\ x\le 1,6\\ y\le 1,1\end{array}$

Ta có F(1,6;0,2)=250.1,6+160.0,2=432.

F(1,6;1,1)=250.1,6+160.1,1=576

F(0,3;1,1)=251

F(0,6;0,7)=262

Giá trị nhỏ nhất là F(0,3;1,1)=251.

Vậy để chi phí ít nhất thì cần mua 0,3kg thịt bò và 1,1 thịt lợn.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương 2

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

====== ****&**** =====