Tích vô hướng của hai vecto

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

1. Góc giữa hai vectơ

Giải Toán 10 trang 66 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ1 trang 66 Toán lớp 10: Trong hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Hãy tìm số đo các góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$.

Lời giải:

Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là góc CBD và số đo $\widehat{CBD}={30}^o$.

Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$ là góc ADB.

 Ta có: $\widehat{ACB}=\widehat{CBD}+\widehat{CDB}$ (tính chất góc ngoài)

$\begin{array}{l}\iff \widehat{CDB}={80}^o-{30}^o={50}^o\\ \iff \widehat{ADB}={50}^o\end{array}$

Vậy số đo góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DB}$ lần lượt là ${30}^o,{50}^o$

Câu hỏi trang 66 Toán lớp 10: Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng $0^o$, bằng ${180}^o?$

Phương pháp giải:

Cách xác định góc giữa hai vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$

Lấy điểm A bất kì vẽ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$, khi đó $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\widehat{BAC}$

Lời giải:

Góc giữa hai vectơ bằng $0^o$ nếu chúng cùng hướng

Góc giữa hai vectơ bằng ${180}^o$ nếu chúng ngược hướng.

Luyện tập 1 trang 66 Toán lớp 10: Cho tam giác đều ABC. Tính $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)$.

Phương pháp giải:

Lấy D sao cho: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

Khi đó: $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}$

Lời giải:

Lấy điểm D sao cho: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$

Khi đó ta có: $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{BAD}$

Dễ thấy ABCD là hình bình hành (hơn nữa còn là hình thoi) nên $\widehat{BAD}={180}^o-\widehat{ABC}={120}^o$

Vậy số đo góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)$ là ${120}^o$.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Giải Toán 10 trang 67 Tập 1 Kết nối tri thức

Câu hỏi 1 trang 67 Toán lớp 10: Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ là một số dương? Là một số âm?

Phương pháp giải:

+) Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

Nhận xét: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ cùng dấu với $\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

Lời giải:

Dễ thấy: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ cùng dấu với $\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ (do $\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|>0$). Do đó:

+) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}>0$  $\iff \cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)>0$ hay $0^o\le \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)<{90}^o$

+) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}<0$ $\iff \cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)<0$ hay ${90}^o<\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\le {180}^o$

Vậy $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}>0$  nếu $0^o\le \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)<{90}^o$ và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}<0$ nếu 

Câu hỏi 2 trang 67 Toán lớp 10: Khi nào thì ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\left(\overrightarrow{u}\right)}^2.{\left(\overrightarrow{v}\right)}^2$?

Phương pháp giải:

+) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

+) ${\overrightarrow{u}}^2={\left|\overrightarrow{u}\right|}^2$ với mọi vectơ $\overrightarrow{u}$

Lời giải:

${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\left(\overrightarrow{u}\right)}^2.{\left(\overrightarrow{v}\right)}^2$$\iff {\left[\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\right]}^2={\left|\overrightarrow{u}\right|}^2.{\left|\overrightarrow{v}\right|}^2$

$\begin{array}{l}\iff {\left[\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\right]}^2=1\\ \iff [\begin{array}{l}\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=1\\ \cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=-1\end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{l}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=0^o\\ \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)={180}^o\end{array}$ 

Hay hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng phương.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng phương thì ${\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)}^2={\left(\overrightarrow{u}\right)}^2.{\left(\overrightarrow{v}\right)}^2$

Luyện tập 2 trang 67 Toán lớp 10: Cho tam giác AB C có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ theo a,b,c.

Phương pháp giải:

+) Tích vô hướng: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

Mà $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}$$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\cos \widehat{BAC}$

Lại có: $\cos \widehat{BAC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$(suy ra từ định lí cosin)

$\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=c.b.\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}\end{array}$

3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

Giải Toán 10 trang 68 Tập 1 Kết nối tri thức

HĐ2 trang 68 Toán lớp 10: Cho hai vectơ cùng phương $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(kx;ky\right)$. Hãy kiểm tra công thức $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(x^2+y^2\right)$ theo từng trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$

b) $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và $k\ge 0$

c) $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và $k<0$

Phương pháp giải:

Tính tích vô hướng bằng công thức: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

Lời giải:

a) Vì $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ nên $\overrightarrow{u}$ vuông góc với mọi $\overrightarrow{v}$.

Như vậy $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

Mặt khác: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\iff x=y=0$

$\Rightarrow k\left(x^2+y^2\right)=0=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$

b) Vì $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và $k\ge 0$ nên $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$cùng hướng.

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=0^o\iff \cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=1$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{{\left(kx\right)}^2+{\left(ky\right)}^2}\\ =\sqrt{x^2+y^2}.\left|k\right|.\sqrt{x^2+y^2}=k\left(x^2+y^2\right)\end{array}$

(|k|= k do k > 0)

c) Vì $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và $k<0$ nên $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ngược hướng.

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)={180}^o\iff \cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=-1$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|=-\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{{\left(kx\right)}^2+{\left(ky\right)}^2}\\ =-\sqrt{x^2+y^2}.\left|k\right|.\sqrt{x^2+y^2}=k\left(x^2+y^2\right).\end{array}$

HĐ3 trang 68 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$.

a) Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}.$

b) Tính $A{B}^2,O{A}^2,O{B}^2$ theo tọa độ của A và B.

c) Tính $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}$ theo tọa độ của A, B.

Lời giải:

a) Vì $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}=(x;y)$ nên A(x; y).

Tương tự: do $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v}=\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ nên B (x’; y’)

b) Ta có: $\overrightarrow{OA}=(x;y)\Rightarrow O{A}^2={\left|\overrightarrow{OA}\right|}^2=x^2+y^2.$

Và $\overrightarrow{OB}=(x^{\prime };y^{\prime })\Rightarrow O{B}^2={\left|\overrightarrow{OB}\right|}^2=x{}^{\prime 2}+y{}^{\prime 2}.$

Lại có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)-\left(x;y\right)=\left(x^{\prime }-x;y^{\prime }-y\right)$

$\Rightarrow A{B}^2={\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2={\left(x^{\prime }-x\right)}^2+{\left(y^{\prime }-y\right)}^2.$

c) Theo định lí cosin trong tam giác OAB ta có:

$\cos \hat{O}=\frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2.OA.OB}$

Mà $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\left|\overrightarrow{OA}\right|.\left|\overrightarrow{OB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)=OA.OB.\cos \hat{O}$

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=OA.OB.\frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2.OA.OB}=\frac{O{A}^2+O{B}^2-A{B}^2}{2}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\frac{x^2+y^2+x{}^{\prime 2}+y{}^{\prime 2}-{\left(x^{\prime }-x\right)}^2-{\left(y^{\prime }-y\right)}^2}{2}\\ \iff \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\frac{-\left(-2x^{\prime }.x\right)-\left(-2y^{\prime }.y\right)}{2}=x^{\prime }.x+y^{\prime }.y\end{array}$

Luyện tập 3 trang 68 Toán lớp 10: Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(0;-5\right),\overrightarrow{v}=\left(\sqrt{3};1\right)$

Phương pháp giải:

Cho $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$, khi đó: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x.x^{\prime }+y.y^{\prime }$

Lời giải:

 Ta có: $\overrightarrow{u}=\left(0;-5\right),\overrightarrow{v}=\left(\sqrt{3};1\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0.\sqrt{3}+\left(-5\right).1=-5.$

HĐ4 trang 68 Toán lớp 10: Cho ba vectơ $\overrightarrow{u}=(x_1;y_1),\overrightarrow{v}=(x_2;y_2),\overrightarrow{w}=(x_3;y_3).$

a) Tính $\overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right),\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$ theo tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}.$

b) So sánh $\overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)$ và $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$

c) So sánh $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$

Phương pháp giải:

Cho $\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$, khi đó: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x.x^{\prime }+y.y^{\prime }$

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{u}=(x_1;y_1),\overrightarrow{v}=(x_2;y_2),\overrightarrow{w}=(x_3;y_3).$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=(x_2;y_2)+(x_3;y_3)=\left(x_2+x_3;y_2+y_3\right)\\ \Rightarrow \overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=x_1.\left(x_2+x_3\right)+y_1.\left(y_2+y_3\right)\end{array}$

Và: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}=\left(x_1.x_2+y_1.y_2\right)+\left(x_1.x_3+y_1.y_3\right)$$=x_1.x_2+y_1.y_2+x_1.x_3+y_1.y_3.$

b) Vì $x_1.x_2+y_1.y_2+x_1.x_3+y_1.y_3$$=\left(x_1.x_2+x_1.x_3\right)+\left(y_1.y_2+y_1.y_3\right)$$=x_1.\left(x_2+x_3\right)+y_1.\left(y_2+y_3\right)$

Nên $\overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$

c) Ta có: $\overrightarrow{u}=(x_1;y_1),\overrightarrow{v}=(x_2;y_2)$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=x_1.x_2+y_1.y_2\\ \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=x_2.x_1+y_2.y_1\end{array}$$\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$

Giải Toán 10 trang 70 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 4 trang 70 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a)  $\overrightarrow{u}\mathrm{\perp }\overrightarrow{v}\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

b) Lập hệ PT biết $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$.

c) Nếu vectơ $\overrightarrow{AB}(x;y)$ thì $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$

Lời giải:

a) $AH\mathrm{\perp }BC$ và $BH\mathrm{\perp }CA$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC}\right)={90}^o\iff \cos \left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC}\right)=0$ . Do đó $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$

Tương tự suy ra $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$.

b) Gọi H có tọa độ (x; y)

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}=(x-(-1);y-2)=(x+1;y-2)\\ \overrightarrow{BH}=(x-8;y-(-1))=(x-8;y+1)\end{array}$

Ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{BC}=(8-8;8-(-1))=(0;9)$

$(x+1).0+(y-2).9=0\iff 9.(y-2)=0\iff y=2.$

Lại có: $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{CA}=(-1-8;2-8)=(-9;-6)$

$\begin{array}{l}(x-8).(-9)+(y+1).(-6)=0\\ \iff -9x+72+3.(-6)=0\\ \iff -9x+54=0\\ \iff x=6.\end{array}$

Vậy H có tọa độ (6; 2)

c) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(8-(-1);-1-2)=(9;-3)$$\Rightarrow AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{9^2+{(-3)}^2}=3\sqrt{10}$

Và  $\overrightarrow{BC}=(0;9)\Rightarrow BC=\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{0^2+9^2}=9$;

$\overrightarrow{CA}=(-9;-6)$$\Rightarrow AC=\left|\overrightarrow{CA}\right|=\sqrt{{(-9)}^2+{(-6)}^2}=3\sqrt{13}.$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\cos \hat{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{{\left(3\sqrt{13}\right)}^2+{\left(3\sqrt{10}\right)}^2-{\left(9\right)}^2}{2.3\sqrt{13}.3\sqrt{10}}\approx 0,614$$\Rightarrow \hat{A}\approx 52,{125}^o$

$\cos \hat{B}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{{\left(9\right)}^2+{\left(3\sqrt{10}\right)}^2-{\left(3\sqrt{13}\right)}^2}{\mathrm{2.9.3}\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$$\Rightarrow \hat{B}\approx 71,{565}^o$

$\Rightarrow \hat{C}\approx 56,{31}^o$

Vậy tam giác ABC có: $a=9;b=3\sqrt{13};c=3\sqrt{10}$; $\hat{A}\approx 52,{125}^o;\hat{B}\approx 71,{565}^o;\hat{C}\approx 56,{31}^o.$

Vận dụng trang 70 Toán lớp 10: Một lực $\overrightarrow{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực $\overrightarrow{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần là $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ $(\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}).$

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$.

b) Giả sử các lực thành phần $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ và lực $\overrightarrow{F_1}$.

Phương pháp giải:

Khi lực $\overrightarrow{F}$ không đổi tác dụng lên một vật và điểm đặt chuyển dời một đoạn s theo hướng hợp với hướng của lực góc α thì công sinh bởi lực đó là: $A=F.s.\cos \alpha$

Lời giải:

a)

 

Gọi $A,A_1,A_2$ lần lượt là công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$, $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$.

Ta cần chứng minh: $A=A_1+A_2$

Xét lực $\overrightarrow{F}$, công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ là: $A=\left|\overrightarrow{F}\right|.\mathrm{A}\mathrm{B}.\cos \left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{AB}$

Tương tự, ta có: $A_1=\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{AB}$, $A_2=\overrightarrow{F_2}.\overrightarrow{AB}$

Áp dụng tính chất của tích vô hướng ta có:

$A_1+A_2=\overrightarrow{F_1}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{F_2}.\overrightarrow{AB}=\left(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right).\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{AB}=A$

b)

 

Vì $\overrightarrow{F_2}$tương ứng vuông góc với phương chuyển động nên $\overrightarrow{F_2}\mathrm{\perp }\overrightarrow{AB}$

Do đó: công sinh bởi lực $\overrightarrow{F_2}$ là: $A_2=\overrightarrow{F_2}.\overrightarrow{AB}=0$

Mà $A=A_1+A_2$

$\Rightarrow A=A_1$

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ bằng công sinh bởi lực $\overrightarrow{F_1}$.

Bài tập

Bài 4.21 trang 70 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{a}=(-3;1),\overrightarrow{b}=(2;6)$

b) $\overrightarrow{a}=(3;1),\overrightarrow{b}=(2;4)$

c) $\overrightarrow{a}=(-\sqrt{2};1),\overrightarrow{b}=(2;-\sqrt{2})$

Phương pháp giải:

Tính góc giữa hai vectơ dựa vào tích vô hướng: $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}$

Lời giải:

a) 

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(-3).2+1.6=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}\mathrm{\perp }\overrightarrow{b}$ hay $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)={90}^o$.

b)

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=3.2+1.4=10\\ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10};|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{10}{\sqrt{10}.2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)={45}^o\end{array}$

c) Dễ thấy: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương do $\frac{-\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{-\sqrt{2}}$

Hơn nữa: $\overrightarrow{b}=\left(2;-\sqrt{2}\right)=-\sqrt{2}.\left(-\sqrt{2};1\right)=-\sqrt{2}.\overrightarrow{a}$; $-\sqrt{2}<0$

Do đó: $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)={180}^o$

Chú ý:

Khi tính góc, ta kiểm tra các trường hợp dưới đây trước:

+  $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)={90}^o$: nếu $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

+ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương: 

$\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0^o$ nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng

$\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=0^o$ nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng

Nếu không thuộc các trường hợp trên thì ta tính góc dựa vào công thức $\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}$

Bài 4.22 trang 70 Toán lớp 10: Tìm điều kiện của $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ để:

a) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|$

b) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|$

Phương pháp giải:

Tích vô hướng $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$

Lời giải:

a) 

Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|$

$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=1\iff \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=0^o$

Nói cách khác: $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng hướng.

b)

Ta có: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|.\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=-\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|$

$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=-1\iff \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)={180}^o$

Nói cách khác: $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ ngược hướng.

Bài 4.23 trang 70 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2), B(-4; 3). Gọi M (t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}$ theo t.

b) Tính t để $\widehat{AMB}={90}^o$

Phương pháp giải:

+) Nếu vecto $\overrightarrow{AM}(x;y)$ và $\overrightarrow{BM}(a;b)$ thì $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=xa+yb$

+) $\widehat{AMB}={90}^o\iff AM\mathrm{\perp }BM$

Lời giải:

 

a) 

Ta có: A (1; 2), B(-4; 3) và M (t; 0)

$\begin{array}{l}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=(t-1;-2),\overrightarrow{BM}=(t+4;-3)\\ \Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=(t-1)(t+4)+(-2)(-3)\\ =t^2+3t+2.\end{array}$

b)

Để $\widehat{AMB}={90}^o$ hay $AM\mathrm{\perp }BM$ thì $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0$

$\begin{array}{l}\iff t^2+3t+2=0\\ \iff [\begin{array}{l}t=-1\\ t=-2\end{array}\end{array}$

Vậy t = -1 hoặc t = -2 thì $\widehat{AMB}={90}^o$

Bài 4.24 trang 70 Toán lớp 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2)

a) Giải tam giác

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) Độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}(x;y)$ là $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{x^2+y^2}$

b) Chỉ ra $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$ từ đó tìm tọa độ của H.

Lời giải:

a) Ta có:

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=(2-(-4);4-1)=(6;3)\\ \overrightarrow{BC}=(2-2;-2-4)=(0;-6)\\ \overrightarrow{AC}=(2-(-4);-2-1)=(6;-3)\end{array}$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}\\ BC=\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{0^2+{(-6)}^2}=6\\ AC=\left|\overrightarrow{CA}\right|=\sqrt{6^2+{(-3)}^2}=3\sqrt{5}.\end{array}$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

$\cos \hat{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{{\left(3\sqrt{5}\right)}^2+{\left(3\sqrt{5}\right)}^2-{\left(6\right)}^2}{2.3\sqrt{5}.3\sqrt{5}}=\frac{3}{5}$$\Rightarrow \hat{A}\approx 53,{13}^o$

$\cos \hat{B}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{{\left(6\right)}^2+{\left(3\sqrt{5}\right)}^2-{\left(3\sqrt{5}\right)}^2}{\mathrm{2.6.3}\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$$\Rightarrow \hat{B}\approx 63,{435}^o$

$\Rightarrow \hat{C}\approx 63,{435}^o$

Vậy tam giác ABC có: $a=6;b=3\sqrt{5};c=3\sqrt{5}$; $\hat{A}\approx 53,{13}^o;\hat{B}=\hat{C}\approx 63,{435}^o.$

b)

Gọi H có tọa độ (x; y)

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}=(x-(-4);y-1)=(x+4;y-1)\\ \overrightarrow{BH}=(x-2;y-4)\end{array}$

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

$\Rightarrow AH\mathrm{\perp }BC$ và $BH\mathrm{\perp }AC$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC}\right)={90}^o\iff \cos \left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC}\right)=0$ và $\left(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{AC}\right)={90}^o\iff \cos \left(\overrightarrow{BH},\overrightarrow{AC}\right)=0$

 

Do đó $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$.

Mà:  $\overrightarrow{BC}=(0;-6)$

$\Rightarrow (x+4).0+(y-1).(-6)=0\iff -6.(y-1)=0\iff y=1.$

Và $\overrightarrow{AC}=(6;-3)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow (x-2).6+(y-4).(-3)=0\\ \iff 6x-12+(-3).(-3)=0\\ \iff 6x-3=0\\ \iff x=\frac{1}{2}.\end{array}$

Vậy H có tọa độ $\left(1;\frac{1}{2}\right)$

Bài 4.25 trang 70 Toán lớp 10: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^2.{\overrightarrow{AC}}^2-{\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)}^2}.$

Phương pháp giải:

Biến đổi vế trái, đưa về công thức $S_{ABC}=\frac{1}{2}bc.\sin A$

+) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

+) ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$ với mọi $\alpha$.

Lời giải:

Đặt $A=\frac{1}{2}\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^2.{\overrightarrow{AC}}^2-{\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)}^2}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow A=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^2.A{C}^2-{\left(AB.AC.\cos A\right)}^2}\\ \iff A=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^2.A{C}^2\left(1-{\cos }^{2}A\right)}\end{array}$

Mà $1-{\cos }^{2}A={\sin }^{2}A$

$\Rightarrow A=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^2.A{C}^2.{\sin }^{2}A}$

$\iff A=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A$ (Vì $0^o<\hat{A}<{180}^o$ nên $\sin A>0$)

Do đó $A=S_{ABC}$ hay $S_{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{{\overrightarrow{AB}}^2.{\overrightarrow{AC}}^2-{\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)}^2}.$ (đpcm)

Bài 4.26 trang 70 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

$M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=3M{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$

Phương pháp giải:

+) $M{A}^2={\overrightarrow{MA}}^2$

+) Với 3 điểm M, A, G bất kì ta có: $\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{MA}$

+) G là trọng tâm tam giác ABC thì: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Lời giải:

Ta có:

 $\begin{array}{l}M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2={\overrightarrow{MA}}^2+{\overrightarrow{MB}}^2+{\overrightarrow{MC}}^2\\ ={\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)}^2\\ ={\overrightarrow{MG}}^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{MG}}^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{MG}}^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}+{\overrightarrow{GC}}^2\\ =3{\overrightarrow{MG}}^2+2\overrightarrow{MG}.\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2\\ =3{\overrightarrow{MG}}^2+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{0}+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2\end{array}$

( do G là trọng tâm tam giác ABC)

$\begin{array}{l}=3{\overrightarrow{MG}}^2+{\overrightarrow{GA}}^2+{\overrightarrow{GB}}^2+{\overrightarrow{GC}}^2\\ =3M{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2\end{array}$ (đpcm)

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài tập cuối chương 4

Bài 12: Số gần đúng và sai số

Bài 13: Các số đặc trưng đo trung tâm xu thế

====== ****&**** =====