Bài 6: Cộng, trừ phân thức - Trang Học trực tuyến

Giải SBT Toán 8 Bài 6: Cộng, trừ phân thức

Bài 1 trang 22 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{a - 3 b}{a + b} - \frac{5 a + b}{a + b}$ ;

b) $\frac{7 a - b}{2 a^{3}} + \frac{b - 3 a}{2 a^{3}}$ ;

c) $\frac{a^{2}}{{(a - b)}^{2}} - \frac{b^{2}}{{(b - a)}^{2}}$ ;

d) $\frac{a^{2} + 3}{a - 2} - \frac{3 a}{a - 2} + \frac{a - 1}{2 - a}$ .

Lời giải:

a) $\frac{a - 3 b}{a + b} - \frac{5 a + b}{a + b} = \frac{a - 3 b - (5 a + b)}{a + b}$

$= \frac{a - 3 b - 5 a - b}{a + b} = \frac{- 4 a - 4 b}{a + b}$

$= \frac{- 4 (a + b)}{a + b} = - 4$ .

b) $\frac{7 a - b}{2 a^{3}} + \frac{b - 3 a}{2 a^{3}} = \frac{7 a - b + b - 3 a}{2 a^{3}} = \frac{4 a}{2 a^{3}} = \frac{2 a . 2}{2 a . a^{2}} = \frac{2}{a^{2}}$ .

c) $\frac{a^{2}}{{(a - b)}^{2}} - \frac{b^{2}}{{(b - a)}^{2}} = \frac{a^{2}}{{(a - b)}^{2}} - \frac{b^{2}}{{(a - b)}^{2}}$

$= \frac{a^{2} - b^{2}}{{(a - b)}^{2}} = \frac{(a - b) (a + b)}{{(a - b)}^{2}} = \frac{a + b}{a - b}$ .

d) $\frac{a^{2} + 3}{a - 2} - \frac{3 a}{a - 2} + \frac{a - 1}{2 - a} = \frac{a^{2} + 3}{a - 2} - \frac{3 a}{a - 2} + \frac{1 - a}{a - 2}$

$= \frac{a^{2} + 3 - 3 a + 1 - a}{a - 2} = \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a - 2} = \frac{{(a - 2)}^{2}}{a - 2} = a - 2$ .

Bài 2 trang 22 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức của các phân thức sau:

a) $\frac{3 x}{2 x - 1}$ và $\frac{3}{2 x + 1}$ ;

b) $\frac{1}{x y + x}$ và $\frac{y}{x y - x}$ ;

c) $\frac{x y}{2 x + 2 y}$ và $\frac{x - y}{{(x + y)}^{2}}$ ;

d) $\frac{1}{x - 1}$ ; $\frac{2 x}{x + 1}$ và $\frac{1 - 2 x}{x^{2} - 1}$ .

Lời giải:

a) Mẫu thức chung là (2x + 1)(2x – 1).

$\frac{3 x}{2 x - 1} = \frac{3 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}; \frac{3}{2 x + 1} = \frac{3 (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$ .

b) Ta có xy + x = x(y + 1) và xy ‒ x = x(y ‒ 1),nên mẫu thức chung là x(y + 1)(y ‒ 1).

$\frac{1}{x y + x} = \frac{1}{x (y + 1)} = \frac{y - 1}{x (y + 1) (y - 1)}$ ;

$\frac{y}{x y - x} = \frac{y}{x (y - 1)} = \frac{y (y + 1)}{x (y + 1) (y - 1)}$ .

c) Ta có 2x + 2y = 2(x + y) và (x + y)² = (x + y)(x+ y)

Do đó, mẫu thức chung là 2(x + y)².

$\frac{x y}{2 x + 2 y} = \frac{x y}{2 (x + y)} = \frac{x y (x + y)}{2 (x + y) (x + y)} = \frac{x y (x + y)}{2 {(x + y)}^{2}}$ ;

$\frac{x - y}{{(x + y)}^{2}} = \frac{2 (x - y)}{2 {(x + y)}^{2}}$ .

d) Ta có x² ‒ 1 = (x + 1)(x ‒ 1). Do đó, mẫu thức chung là (x + 1)(x ‒ 1).

$\frac{1}{x - 1} = \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$ ;

$\frac{2 x}{x + 1} = \frac{2 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ ;

$\frac{1 - 2 x}{x^{2} - 1} = \frac{1 - 2 x}{(x + 1) (x - 1)}$ .

Bài 3 trang 22 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{x}{x + 2} - \frac{x}{x - 2}$ ;

b) $\frac{3 x}{2 y} + \frac{5 x}{3 y}$ ;

c) $\frac{y - 1}{5 y} - \frac{3 x - 1}{15 x}$ ;

d) $\frac{1 - x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}}$ ;

e) $\frac{x - 2 y}{x y^{2}} - \frac{y - 2 x}{x^{2} y}$ ;

g) $\frac{1 - y^{2}}{3 x y} + \frac{2 y^{3} - 1}{6 x y^{2}}$ .

Lời giải:

a) $\frac{x}{x + 2} - \frac{x}{x - 2} = \frac{x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

$= \frac{x^{2} - 2 x - x^{2} - 2 x}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{- 4 x}{(x + 2) (x - 2)}$ .

b) $\frac{3 x}{2 y} + \frac{5 x}{3 y} = \frac{3 x . 3}{2 y . 3} + \frac{5 x . 2}{3 y . 2} = \frac{9 x + 10 x}{6 y} = \frac{19 x}{6 y}$ .

c) $\frac{y - 1}{5 y} - \frac{3 x - 1}{15 x} = \frac{(y - 1) . 3 x}{5 y . 3 x} - \frac{(3 x - 1) . y}{15 x . y}$

$= \frac{3 x y - 3 x - (3 x y - y)}{15 x y} = \frac{3 x y - 3 x - 3 x y + y}{15 x y} = \frac{y - 3 x}{15 x y}$ .

d) $\frac{1 - x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{2}} = \frac{1 - x}{x^{3}} + \frac{1 . x}{x^{2} . x} = \frac{1 - x + x}{x^{3}} = \frac{1}{x^{3}}$ .

e) $\frac{x - 2 y}{x y^{2}} - \frac{y - 2 x}{x^{2} y} = \frac{(x - 2 y) . x}{x y^{2} . x} - \frac{(y - 2 x) . y}{x^{2} y . y}$

$= \frac{x^{2} - 2 x y - y^{2} + 2 x y}{x^{2} y^{2}} = \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} y^{2}}$ .

g) $\frac{1 - y^{2}}{3 x y} + \frac{2 y^{3} - 1}{6 x y^{2}} = \frac{(1 - y^{2}) . 2 y}{3 x y . 2 y} + \frac{2 y^{3} - 1}{6 x y^{2}}$

$= \frac{2 y - 2 y^{3} + 2 y^{3} - 1}{6 x y^{2}} = \frac{2 y - 1}{6 x y^{2}}$ .

Bài 4 trang 22 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{b}{a - b} + \frac{a^{2} - 3 a b}{a^{2} - b^{2}}$ ;

b) $\frac{a + 3}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a^{2} + a}$ ;

c) $\frac{2 a}{a^{2} - 4 a + 4} + \frac{4}{2 - a}$ ;

d) $\frac{a + 1}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a^{2} + a + 1}$ .

Lời giải:

a) $\frac{b}{a - b} + \frac{a^{2} - 3 a b}{a^{2} - b^{2}}$

$= \frac{b (a + b)}{(a - b) (a + b)} + \frac{a^{2} - 3 a b}{(a - b) (a + b)}$

$= \frac{a b + b^{2} + a^{2} - 3 a b}{(a - b) (a + b)} = \frac{a^{2} - 2 a b + b^{2}}{(a - b) (a + b)}$

$= \frac{{(a - b)}^{2}}{(a - b) (a + b)} = \frac{a - b}{a + b}$ .

b) $\frac{a + 3}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a^{2} + a}$

$= \frac{a + 3}{(a + 1) (a - 1)} - \frac{1}{a (a + 1)}$

$= \frac{a (a + 3)}{a (a + 1) (a - 1)} - \frac{a - 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

$= \frac{a^{2} + 3 a - a + 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

$= \frac{a^{2} + 2 a + 1}{a (a + 1) (a - 1)}$

$= \frac{{(a + 1)}^{2}}{a (a + 1) (a - 1)} = \frac{a + 1}{a (a - 1)}$ .

c) $\frac{2 a}{a^{2} - 4 a + 4} + \frac{4}{2 - a}$

$= \frac{2 a}{{(a - 2)}^{2}} - \frac{4}{a - 2} = \frac{2 a}{{(a - 2)}^{2}} - \frac{4 (a - 2)}{{(a - 2)}^{2}}$

$= \frac{2 a - 4 a + 8}{{(a - 2)}^{2}} = \frac{8 - 2 a}{{(a - 2)}^{2}}$ .

d) $\frac{a + 1}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a^{2} + a + 1}$

$= \frac{a + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a^{2} + a + 1}$

$= \frac{a + 1 - (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} = \frac{a + 1 - a + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} = \frac{2}{a^{3} - 1}$ .

Bài 5 trang 22 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Tính:

a) $x - \frac{2 x - y}{4} + \frac{x + 4 y}{12}$ ;

b) $\frac{y}{x} - \frac{x}{y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x y}$ ;

c) $\frac{4}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} + \frac{12}{x^{2} - 4}$ ;

d) $\frac{x + y}{x^{2} - x y} - \frac{4 x}{x^{2} - y^{2}} - \frac{x - y}{x^{2} + x y}$ .

Lời giải:

a) $x - \frac{2 x - y}{4} + \frac{x + 4 y}{12}$

$= \frac{x . 12}{12} - \frac{3 (2 x - y)}{12} + \frac{x + 4 y}{12}$

$= \frac{12 x - 6 x + 3 y + x + 4 y}{12} = \frac{7 x + 7 y}{12}$ .

b) $\frac{y}{x} - \frac{x}{y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x y}$

$= \frac{y . y}{x y} - \frac{x . x}{x y} - \frac{x^{2} + y^{2}}{x y} = \frac{y^{2} - x^{2} - x^{2} - y^{2}}{x y}$

$= \frac{- 2 x^{2}}{x y} = \frac{- 2 x}{y}$ .

c) $\frac{4}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} + \frac{12}{x^{2} - 4} = \frac{4}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} + \frac{12}{(x - 2) (x + 2)}$

$= \frac{4 (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{3 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{12}{(x + 2) (x - 2)}$

$= \frac{4 x - 8 - 3 x - 6 + 12}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{1}{x + 2}$ .

d) $\frac{x + y}{x^{2} - x y} - \frac{4 x}{x^{2} - y^{2}} - \frac{x - y}{x^{2} + x y}$

$= \frac{x + y}{x (x - y)} - \frac{4 x}{(x + y) (x - y)} - \frac{x - y}{x (x + y)}$

$= \frac{(x + y) (x + y)}{x (x - y) (x + y)} - \frac{4 x^{2}}{x (x + y) (x - y)} - \frac{(x - y) (x - y)}{x (x - y) (x + y)}$

$= \frac{{(x + y)}^{2} - 4 x^{2} - {(x - y)}^{2}}{x (x + y) (x - y)}$

$= \frac{x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x^{2} - (x^{2} - 2 x y + y^{2})}{x (x + y) (x - y)}$

$= \frac{- 3 x^{2} + 2 x y + y^{2} - x^{2} + 2 x y - y^{2}}{x (x + y) (x - y)} = \frac{- 4 x^{2} + 4 x y}{x (x + y) (x - y)}$

$= \frac{- 4 x (x - y)}{x (x + y) (x - y)} = \frac{- 4}{x + y}$ .

Bài 6 trang 22 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Tính:

a) $\frac{1}{a b} + \frac{1}{a c} + \frac{1}{b c}$ ;

b) $\frac{b - a}{a b} + \frac{c - b}{b c} - \frac{c - a}{a c}$ .

Lời giải:

a) $\frac{1}{a b} + \frac{1}{a c} + \frac{1}{b c} = \frac{1 . c}{a b c} + \frac{1 . b}{a b c} + \frac{1 . a}{a b c} = \frac{a + b + c}{a b c}$ .

b) $\frac{b - a}{a b} + \frac{c - b}{b c} - \frac{c - a}{a c}$

$= \frac{c (b - a)}{a b c} + \frac{a (c - b)}{a b c} - \frac{b (c - a)}{a b c}$

$= \frac{b c - a c + a c - a b - b c + a b}{a b c}$

$= \frac{(b c - b c) + (- a c + a c) + (- a b + a b)}{a b c}$

$= \frac{0}{a b c} = 0$ .

Bài 7 trang 23 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) $P = \frac{5}{a + b} + \frac{6}{a - b} - \frac{12 b}{a^{2} - b^{2}}$ tại a = 0,12 và b = – 0,11;

b) $Q = \frac{a^{2} + 2 a}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a^{2} + a + 1}$ tại a = 1,25.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định: a² ‒ b² ≠ 0.

Rút gọn phân thức đã cho:

$P = \frac{5}{a + b} + \frac{6}{a - b} - \frac{12 b}{a^{2} - b^{2}}$

$= \frac{5}{a + b} + \frac{6}{a - b} - \frac{12 b}{(a - b) (a + b)}$

$= \frac{5 (a - b)}{(a - b) (a + b)} + \frac{6 (a + b)}{(a - b) (a + b)} - \frac{12 b}{(a - b) (a + b)}$

$= \frac{5 a - 5 b + 6 a + 6 b - 12 b}{(a - b) (a + b)} = \frac{11 a - 11 b}{(a - b) (a + b)}$

$= \frac{11 (a - b)}{(a - b) (a + b)} = \frac{11}{a + b}$ .

Với a = 0,12 và b = ‒0,11, ta có a² ‒ b²≠ 0 (điều kiện xác định được thoả mãn).

Khi đó, $P = \frac{11}{0, 12 + (- 0, 11)} = \frac{11}{0, 01} = 1100$ .

b) Điều kiện xác định: a³ ‒ 1 ≠ 0.

Rút gọn phân thức đã cho:

$Q = \frac{a^{2} + 2 a}{a^{3} - 1} - \frac{1}{a^{2} + a + 1}$

$= \frac{a^{2} + 2 a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{1}{a^{2} + a + 1}$

$= \frac{a^{2} + 2 a}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{a - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

$= \frac{a^{2} + 2 a - a + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

$= \frac{a^{2} + a + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} = \frac{1}{a - 1}$ .

Với a = 1,25, ta có a³ ‒ 1 ≠ 0 (điều kiện xác định được thoả mãn).

Khi đó, $Q = \frac{1}{1, 25 - 1} = \frac{1}{0, 25} = 4$ .

Bài 8 trang 23 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cô Xuân đi bộ quãng đường dài 3 km với tốc độ trung bình x (km/h). Sau đó, cô đi tiếp quãng đường dài 2 km với tốc độ trung bình x – 1 (km/h). Tính tổng thời gian mà cô Xuân đã đi bộ theo x.

Lời giải:

Thời gian cô Xuân đi bộ quãng đường dài 3 km với tốc độ trung bình x (km/h) là: $\frac{3}{x}$ (giờ).

Thời gian cô đi tiếp quãng đường dài 2 km với tốc độ trung bình x – 1 (km/h) là: $\frac{2}{x - 1}$ (giờ).

Vậy tổng thời gian mà cô Xuân đã đi bộ là:

$\frac{3}{x} + \frac{2}{x - 1} = \frac{3 (x - 1)}{x (x - 1)} + \frac{2 x}{x (x - 1)} = \frac{3 x - 3 + 2 x}{x (x - 1)} = \frac{5 x - 3}{x (x - 1)}$ (giờ).

Bài 9 trang 23 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Một đội công nhân cần sửa x (m) đường. Dự kiến đội sửa được trung bình y (m) đường mỗi ngày. Tuy nhiên, do thời tiết không thuận lợi nên đội chỉ sửa được trung bình z (m) đường mỗi ngày (z < y). Dự án hoàn thành muộn hơn bao lâu so với kế hoạch ban đầu?

Lời giải:

Thời gian dự kiến đội công nhân sửa được là: $\frac{x}{y}$ (ngày).

Thời gian thực tế đội công nhân sửa được là: $\frac{x}{z}$ (ngày).

Vậy dự án hoàn thành muộn hơn so với kế hoạch ban đầu là:

$\frac{x}{z} - \frac{x}{y} = \frac{x y}{z y} - \frac{x z}{y z} = \frac{x y - x z}{z y}$ (ngày).

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy