Sách bài tập Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 2 trang 64

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2 trang 64

A. TRẮC NGHIỆM

Câu 1 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n), biết $u_n=\frac{1}{n}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. Dãy số (u_n) có $u_3=\frac{1}{6}$

B. Dãy số (u_n) là dãy số tăng.

C. Dãy số (u_n) là dãy số không tăng không giảm.

D. Dãy số (u_n) là dãy số giảm.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

$u_1=\frac{1}{1}=1; u_2=\frac{1}{2}; u_3=\frac{1}{3};$

Ta thấy u₁ > u₂ > u₃.

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

Câu 2 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào bị chặn?

A. $u_n=\frac{1}{9^n}$

B. u_n = 9ⁿ.

C. $u_n=\sqrt{9n+1}$

D. u_n = n⁹.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $u_n=\frac{1}{9^n}<1$ với ∀n ∈ ℕ^*, suy ra (u_n) bị chặn trên.

Câu 3 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào là dãy số tăng?

A. $u_n=\frac{1}{2^n}$

B. $u_n=\frac{1}{n}$

C. $u_n=\frac{n+5}{3n+1}$

D. $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

⦁ Xét (u_n) với $u_n=\frac{1}{2^n}$ có $u_{n+1}=\frac{1}{2^{n+1}}$, suy ra $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{1}{2^{n+1}}:\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}<1$

Do đó u_n+1 < u_n nên dãy số này giảm.

⦁ Xét (u_n) với $u_n=\frac{1}{n}$ có $u_{n+1}=\frac{1}{n+1}$, suy ra $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{1}{n+1}:\frac{1}{n}=\frac{n}{n+1}<1.$

Do đó u_n+1 < u_n nên dãy số này giảm.

⦁ Xét (u_n) với $u_n=\frac{n+5}{3n+1}$ có $u_{n+1}=\frac{n+1+5}{3\left(n+1\right)+1}=\frac{n+6}{3n+4}$

Suy ra $u_{n+1}-u_n=\frac{n+6}{3n+4}-\frac{n+5}{3n+1}=\frac{\left(n+6\right)\left(3n+1\right)-\left(3n+4\right)\left(n+5\right)}{\left(3n+4\right)\left(3n+1\right)}$

$=\frac{3n^2+19n+6-\left(3n^2+19n+20\right)}{\left(3n+4\right)\left(3n+1\right)}=\frac{-14}{\left(3n+4\right)\left(3n+1\right)}<0$

Do đó u_n+1 < u_n nên dãy số này giảm.

⦁ Xét (u_n) với $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$ có $u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)-1}{\left(n+1\right)+1}=\frac{2n+1}{n+2}$

Suy ra $u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1}=\frac{\left(2n+1\right)\left(n+1\right)-\left(2n-1\right)\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

$=\frac{2n^2+3n+1-\left(2n^2+3n-2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{3}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>0$

Do đó u_n+1 > u_n nên dãy số này tăng.

Vậy $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$ là dãy số tăng.

Câu 4 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n), biết u₁ = 3 và u₂ = ‒1. Số hạng thứ ba của cấp số cộng đó là

A. u₃ = 4.

B. u₃ = 2.

C. u₃ = ‒5.

D. u₃ = 7.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Công sai d = u₂ – u₁ = ‒1 ‒ 3 = ‒4.

Số hạng thứ 3 của cấp số cộng là: u₃ = u₂ + d = ‒1 + (‒4) = ‒5.

Câu 5 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 3, công sai d = 5. Số hạng thứ tư của cấp số cộng đó là

A. u₄ = 23.

B. u₄ = 18.

C. u₄ = 8.

D. u₄ = 14.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Số hạng thứ tư của cấp số cộng đó là: u₄ = u₁ + 3d = 3 + 3.5 = 18.

Câu 6 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n) có u₄ = ‒12, u₁₄ = 18. Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là

A. S₁₆ = ‒24.

B. S₁₆ = 26.

C. S₁₆ = ‒25.

D. S₁₆ = 24.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{u}_4=-12\\ u_{14}=18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+3d=-12\\ u_1+13d=18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-21\\ d=3\end{array}\right.$

Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là:

$S_{16}=\frac{16\left[2\cdot \left(-21\right)+\left(16-1\right)\cdot 3\right]}{2}=24$

Câu 7 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng: ‒2; ‒5; ‒8; ‒11; ‒14. Công sai d và tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó lần lượt là

A. d = 3; S₂₀ = 510.

B. d = ‒3; S₂₀ = ‒610.

C. d = ‒3; S₂₀ = 610.

D. d = 3; S₂₀ = ‒610.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Công sai d = ‒5 ‒ (‒2) = ‒3.

Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó

$S_{20}=\frac{20\left[2\cdot \left(-2\right)+19\cdot \left(-3\right)\right]}{2}=-610.$

Câu 8 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Một cấp số nhân có sáu số hạng, số hạng đầu là 2 và số hạng thứ sáu bằng 486. Gọi q là công bội của cấp số nhân đó. Giá trị của q là

A. 3.

B. ‒3.

C. 2.

D. ‒2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có u₆ = u₁.q⁵, suy ra 486 = 2.q⁵

Do đó q⁵ = 243 = 3⁵ nên q = 3.

Câu 9 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Một cấp số nhân có bốn số hạng, số hạng đầu là 3 và số hạng thứ tư là 192. Gọi S là tổng các số hạng của cấp số nhân đó. Giá trị của S là

A. 390.

B. 255.

C. 256.

D. ‒256.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có u₄ = u₁.q³, suy ra 192 = 3.q³,

Do đó q³ = 64 = 4³ nên q = 4

Tổng số hạng các cấp số nhân là:

$S_4=\frac{u_1\left(1-q^4\right)}{1-q}=\frac{3\left(1-4^4\right)}{1-4}=255.$

Câu 10 trang 64 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) được cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. u_n = 7 ‒ 3n.

B. u_n = 7 ‒ 3ⁿ.

C. $u_n=\frac{7}{3n}$

D. u_n = 7.3ⁿ.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

⦁ Xét (u_n) với u_n = 7 ‒ 3n có u₁ = 4; u₂ = 1; u₃ = −2.

Suy ra $\frac{u_2}{u_1}\ne \frac{u_3}{u_2}$ nên (u_n) có u_n = 7 ‒ 3n không phải cấp số nhân.

⦁ Xét (u_n) với 7 ‒ 3ⁿ có u₁ = 4; u₂ = −2; u₃ = −20.

Suy ra $\frac{u_2}{u_1}\ne \frac{u_3}{u_2}$ nên (u_n) có u_n = 7 ‒ 3ⁿ không phải cấp số nhân.

⦁ Xét (u_n) với $u_n=\frac{7}{3n}$ có $u_1=\frac{7}{3};u_2=\frac{7}{6};u_3=\frac{7}{9}$

Suy ra $\frac{u_2}{u_1}\ne \frac{u_3}{u_2}$ nên (u_n) có $u_n=\frac{7}{3n}$ không phải cấp số nhân.

⦁ Xét (u_n) với u_n = 7.3ⁿ có u_n+1 = 7.3ⁿ⁺¹

Suy ra $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{7\cdot 3^{n+1}}{7\cdot 3^n}=3$

Vậy u_n = 7.3ⁿ là cấp số nhân.

B. TỰ LUẬN

Bài 1 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết

a) $u_n=\frac{2n+9}{n+3};$

b) $u_n=\frac{1}{\sqrt{2024+n}};$

c) $u_n=\frac{n!}{2^n}.$

Lời giải:

a) Ta có:

⦁ $u_n=\frac{2n+9}{n+3}=2+\frac{3}{n+3}$, suy ra 2 < u_n < 3, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số bị chặn.

⦁ $u_{n+1}-u_n=\frac{2\left(n+1\right)+9}{n+1+3}-\frac{2n+9}{n+3}$$=\frac{2n+11}{n+4}-\frac{2n+9}{n+3}=\frac{-3}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}<0.$

Suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số giảm.

Do đó, (u_n) là dãy số giảm và bị chặn.

b) Ta có:

⦁ $0<\frac{1}{\sqrt{2024+n}}<\mathrm{1,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ suy ra 0 < u_n < 1, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số bị chặn.

⦁$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2024+n+1}}}{\frac{1}{\sqrt{2024+n}}}=\frac{\sqrt{2024+n}}{\sqrt{2025+n}}<\mathrm{1,}$ suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số giảm.

Do đó, (u_n) là dãy số giảm và bị chặn.

c) Ta có

⦁$u_n=\frac{n!}{2^n}>\mathrm{0,}$ ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

⦁$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\left(n+1\right)!2^n}{n!2^{n+1}}=\frac{n+1}{2}\ge \mathrm{1,}$ ∀n ∈ ℕ^* suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^* nên (u_n) là dãy số tăng.

Do đó,(u_n) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Bài 2 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành cấp số cộng. Tính độ dài các cạnh của tam giác đó.

Lời giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng và các cạnh có độ dài lần lượt là: a ‒ d, a, a + d với 0 < d < a.

Vì tam giác có chu vi bằng 3 nên a ‒ d + a + a + d = 3a = 3, suy ra a = 1.

Vì đây là tam giác vuông nên cạnh lớn nhất là cạnh huyền, theo định lí Pythagore, ta có: (1 + d)² = (1 ‒ d)² + 1²

Suy ra 1 + 2d + d² = 1 – 2d + d² + 1

Do đó 4d = 1

Suy ra $d=\frac{1}{4}\text{. }$

Khi đó $a-d=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ và $a+d=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}.$

Vậy ba cạnh của tam giác có độ dài là $\frac{3}{4};1;\frac{5}{4}$

Bài 3 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Chu vi của một đa giác là 213 cm, số đo các cạnh của nó lập thành cấp số cộng với công sai d = 7 cm và cạnh lớn nhất bằng 53 cm. Tính số cạnh của đa giác đó.

Lời giải:

Gọi số cạnh của đa giác là n (n ∈ ℕ*).

Số đo các cạnh của đa giác là u₁, u₂, u₃, …, u_n (với 0 < u₁ < u₂ < … < u_n).

Khi đó ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_2+\dots +u_n=S_n=213\\ u_n=53\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{n}{2}\left(u_1+u_n\right)=213\\ u_1+\left(n-1\right)d=53\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}n\left(u_1+53\right)=426\left(1\right)\\ u_1+7\left(n-1\right)=53\left(2\right)\end{array}\right.\right.$

Từ (2) suy ra u₁ = 53 – 7(n – 1), thay vào (1) ta được

n[53 ‒ 7(n ‒ 1) + 53] = 426

⇔ n(113 ‒ 7n) = 426

⇔ 7n² – 113n + 426 = 0

⇔ n = 6 (chọn) hoặc $n=\frac{71}{7}$ (loại)

Vậy đa giác có 6 cạnh.

Bài 4 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh: a₂ ‒ c₂ = 2ab ‒ 2bc.

Lời giải:

Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi: b ‒ a = c ‒ b

⇔ (b ‒ a)² = (c ‒ b)²

⇔ b² ‒ 2ab + a² = c² ‒ 2bc + b²

⇔ a² ‒ c² = 2ab ‒ 2bc.

Bài 5 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un) có $\left\{\begin{array}{l}{u}_3-u_1=24\\ u_6-u_4=3000\end{array}.\right.$

Lời giải:

Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u₁ và công bội là q.

Theo giả thiết, ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{u}_3-u_1=24\\ u_6-u_4=3000\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\cdot q^2-u_1=24\\ u_1\cdot q^5-u_1\cdot q^3=3000\end{array}\right.\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\cdot \left(q^2-1\right)=24\left(*\right)\\ u_1\cdot q^3\cdot \left(q^2-1\right)=3000\end{array}\right.$

Suy ra $\frac{1}{q^3}=\frac{24}{3000}\Rightarrow q^3=125\iff q=5$

Thay q = 5 vào biểu thức (*) ta có: u₁(5² – 1) = 24 ⇔ u₁ = 1

Vậy u₁ = 1, q = 5.

Bài 6 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n), biết $u_1=\mathrm{12,}\frac{u_3}{u_8}=243$. Tìm u₉.

Lời giải:

Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n).

Ta có u₃ = u₁.q², u₈ = u₁.q⁷, suy ra $\frac{u_3}{u_8}=\frac{u_1\cdot q^2}{u_1\cdot q^7}=\frac{1}{q^5}=243$, suy ra $q=\frac{1}{3}$

Do đó $u_9=u_1\cdot q^8=12\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^8=\frac{4}{2187}$

Bài 7 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân: $-\frac{1}{5};a;-\frac{1}{125}$. Tính giá trị của a.

Lời giải:

Vì 3 số $-\frac{1}{5};a;-\frac{1}{125}$ lập thành cấp số nhân nên ta có:

$a^2=\left(-\frac{1}{5}\right)\cdot \left(-\frac{1}{125}\right)=\frac{1}{625}$, suy ra $a=-\frac{1}{25}$ hoặc $a=\frac{1}{25}$

Bài 8 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 3, công bội q = 2. Biết S_n = 765. Tìm n.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, ta có:

$S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{3\cdot \left(1-2^n\right)}{1-2}=765$

⇔ 2ⁿ – 1 = 255 ⇔ 2ⁿ = 256 = 2⁸

⇒ n = 8.

Bài 9 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Một tháp 10 tầng có diện tích sàn của tầng dưới cùng là 6 144 m². Tính diện tích mặt sàn tầng trên cùng, biết rằng diện tích mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt sàn tầng ngay bên dưới.

Lời giải:

Diện tích mặt sàn tầng dưới cùng là: u₁ = 6 144 m²

Diện tích mặt sàn tầng 2 là: $u_2=6144\cdot \frac{1}{2}=3072{\text{ m}}^2$

….

Gọi diện tích mặt sàn tầng n là u_n với n ∈ ℕ*.

Dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân là u₁ = 6 144 và công bội $q=\frac{1}{2}$, có số hạng tổng quát là: $u_n=6144\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$

Diện tích mặt tháp trên cùng chính là mặt tháp thứ 10 nên ta có:

$u_{10}=u_1\cdot q^9=6144\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^9=12\left({\text{m}}^2\right)$.

Bài 10 trang 65 SBT Toán 11 Tập 1: Một khay nước có nhiệt độ 20°C được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Cho biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm đi 25%. Tính nhiệt độ khay nước đó sau 4 giờ.

Lời giải:

Gọi u_n là nhiệt độ của khay nước đó sau n – 1 giờ (đơn vị độ C) với n ∈ ℕ*.

Ta có:

u₁ = 20;

u₂ = 20 – 20.25% = 20.(1 – 25%) = 20.75%;

u₃ = 20.75%.75% = 20.(75%)²; …

Suy ra dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 20 và công bội q = 75% có số hạng tổng quát u_n = 20.(75%)^{n – 1} độ C.

Vậy sau 4 giờ thì nhiệt độ của khay là u₅ = 20.(75%)⁴ ≈ 6,33°C.