Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tói đường tròn (M, N là hai tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O; R) tại B và C (AB < AC). Gọi I là trung điểm BCa, Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc một đường trònb, Chứng minh AM2=AB.ACc, Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN tại E. Chúng minh IE song song MCd, Chứng minh khi d thay đổi quanh quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC luôn nằm trên một đường tròn cố định

Câu hỏi:

Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tói đường tròn (M, N là hai tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O; R) tại B và C (AB < AC). Gọi I là trung điểm BCa, Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc một đường trònb, Chứng minh $A{M}^2=AB.AC$c, Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN tại E. Chúng minh IE song song MCd, Chứng minh khi d thay đổi quanh quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC luôn nằm trên một đường tròn cố định

Trả lời:

a, Chú ý: $\widehat{AMO}=\widehat{AIO}=\widehat{ANO}={90}^0$b, $\widehat{AMB}=\widehat{MCB}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{MB}$=> DAMB ~ DACM (g.g)=> Đpcmc, AMIN nội tiếp => $\widehat{AMN}=\widehat{AIN}$BE//AM => $\widehat{AMN}=\widehat{BEN}$=>  $\widehat{BEN}=\widehat{AIN}$ => Tứ giác BEIN nội tiếp => $\widehat{BIE}=\widehat{BNM}$Chứng minh được: $\widehat{BIE}=\widehat{BCM}$ => IE//CMd, G là trọng tâm DMBC Þ G Î MIGọi K là trung điểm AO Þ MK = IK = $\frac{1}{2}$AOTừ G kẻ GG’//IK (G’ Î MK)=> $\frac{GG‘}{IK}=\frac{MG}{MI}=\frac{MG‘}{MK}=\frac{2}{3}IK=\frac{1}{3}AO$ không đổi   (1)MG’ = $\frac{2}{3}$MK => G’ cố định (2). Từ (1) và (2) có G thuộc (G’;$\frac{1}{3}$AO)

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK  ^ AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh:a, Tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếpb, AH.AB = AD2c, Tam giác ACE là tam giác cân
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK  ^ AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh:a, Tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếpb, AH.AB = $A{D}^2$c, Tam giác ACE là tam giác cân

   Trả lời:

   a, Học sinh tự chứng minhb, DADB vuông tại D, có đường cao DH Þ $A{D}^2$ = AH.ABc, $\widehat{EAC}=\widehat{EDC}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{EC}$; $\widehat{EAC}=\widehat{KHC}$ (Tứ giác AKCH nội tiếp)=> $\widehat{EDC}=\widehat{KHC}$ => DF//HK (H là trung điểm DC nên K là trung điểm FC) => Đpcm

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M Î OA (M không trùng O và A). Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON &gt; R. Nối NB cắt (O) tại C. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d). Chứng minh: a, Bốn điểm O, E, M, N cùng thuộc một đường tròn b, NE2=NC.NB c, NEH^=NME^ (H là giao điểm của AC và d) d, NF là tiếp tuyến (O) với F là giao điểm của HE và (O)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M Î OA (M không trùng O và A). Qua M vẽ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nối NB cắt (O) tại C. Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d). Chứng minh:
   a, Bốn điểm O, E, M, N cùng thuộc một đường tròn
   b, $N{E}^2=NC.NB$
   c, $\widehat{NEH}=\widehat{NME}$ (H là giao điểm của AC và d)
   d, NF là tiếp tuyến (O) với F là giao điểm của HE và (O)

   Trả lời:

   
   a, Học sinh tự chứng minh
   b, $\widehat{NEC}=\widehat{CBE}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{CE}$
   => DNEC ~ DNBE (g.g) => ĐPCM
   c, DNCH ~ DNMB (g.g)
   => NC.NB = NH.NM = $N{E}^2$
   DNEH ~ DNME (c.g.c)
   => $\widehat{NEH}=\widehat{EMN}$
   d, $\widehat{EMN}=\widehat{EOM}$ (Tứ giác NEMO nội tiếp)
   => $\widehat{NEH}=\widehat{NOE}$ => EH ^ NO
   => DOEF cân tại O có ON là phân giác => $\widehat{EON}=\widehat{NOF}$
   => DNEO = DNFO vậy $\widehat{NFO}=\widehat{NEO}={90}^0$ => ĐPCM

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I là trung điểm của OA, dây CD vuông góc với AB tại I.  Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại Ha, Chứng minh tứ giác BIHK là tứ giác nội tiếpb, Chứng minh AHAK có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm Kc, Kẻ DN ^ CB, DM ^ AC. Chứng minh các đường thẳng MN, AB, CD đồng quy
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I là trung điểm của OA, dây CD vuông góc với AB tại I.  Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại Ha, Chứng minh tứ giác BIHK là tứ giác nội tiếpb, Chứng minh AHAK có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm Kc, Kẻ DN ^ CB, DM ^ AC. Chứng minh các đường thẳng MN, AB, CD đồng quy

   Trả lời:

   a, $\widehat{HIB}=\widehat{HKB}={180}^0$=> Tứ giác BIHK nội tiếpb, Chứng minh được: DAHI ~ DABK (g.g)=> AH.AK = AI.AB = $R^2$ (không đổi)c, Chứng minh được MCND là hình chữ nhật từ đó => Đpcm

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====