Giải hệ phương trình  x3+4y=y3+16×1+y2=5(1+x2)

Câu hỏi:

Giải hệ phương trình  $\left\{\begin{array}{l}{x}^3+4y=y^3+16x\\ 1+y^2=5(1+x^2)\end{array}\right.$

Trả lời:

$\left\{\begin{array}{l}{x}^3+4y=y^3+16x\\ 1+y^2=5(1+x^2)\end{array}\right.\left(1\right)$– Xét x = 0, hệ (I) trở thành $\left\{\begin{array}{l}4y=y^3\\ y^2=4\end{array}\right.<=>y=\pm 2$– Xét x ≠ 0, đặt $\frac{y}{x}=t<=>y=xt$. Hệ (I) trở thành$\left\{\begin{array}{l}{x}^3+4xt=x^3{t}^3+16x\\ 1+x^2{t}^2=5(1+x^2)\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}{x}^3(t^3-1)=4xt-16x\\ x^2(t^2-5)=4\end{array}\right.<=>\left\{\begin{array}{l}{x}^3(t^3-1)=4x(t-4)\left(1\right)\\ 4=x^2(t^2-5)\left(2\right)\end{array}\right.$ Nhân từng vế của (1) và (2), ta được phương trình hệ quả$\begin{array}{l}4x^3(t^3-1)=4x^3(t-4)(t^2-5)\\ <=>t^3-1=t^3-4t^2-5t+20\text{ (Do x}\ne \text{0)}\\ {\text{<=>4t}}^2+5t-21=0\\ <=>\left[\begin{array}{l}t=-3\\ t=\frac{7}{4}\end{array}\right.\end{array}$+ Với t = – 3, thay vào (2) được x² = 1 ⇔ x = ±1.x = 1 thì y = –3, thử lại (1;–3) là một nghiệm của (I)x = –1 thì y = 3, thử lại (–1;3) là một nghiệm của (I) + Với t = 7/4 , thay vào (2) được $x^2=-\frac{64}{31}$ (loại) Vậy hệ (I) có các nghiệm (0;2), (0;–2), (1;–3), (–1;3).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Rút gọn biểu thức: A=1x+x−2xx−1+1x−x
   
   

   Câu hỏi:
   

   Rút gọn biểu thức: $A=\frac{1}{x+\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}}{x-1}+\frac{1}{x-\sqrt{x}}$

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}A=\frac{1}{x+\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}}{x-1}+\frac{1}{x-\sqrt{x}}\\ =\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}-\frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}+\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\\ =\frac{(\sqrt{x}-1)-2\sqrt{x}\sqrt{x}+(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\\ =\frac{-2x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\\ =\frac{-2\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\\ =\frac{-2}{\sqrt{x}+1}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tính giá trị biểu thức: B=85+6273+85−6273
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính giá trị biểu thức: $B=\sqrt[3]{85+62\sqrt{7}}+\sqrt[3]{85-62\sqrt{7}}$

   Trả lời:

   $B=\sqrt[3]{85+62\sqrt{7}}+\sqrt[3]{85-62\sqrt{7}}$Đặt $a=\sqrt[3]{85+62\sqrt{7}};b=\sqrt[3]{85-62\sqrt{7}}=>a+b=B$Mặt khác $a^3+b^3=(85+62\sqrt{7})+(85-62\sqrt{7})=170ab=\sqrt[3]{85+62\sqrt{7}}\sqrt[3]{85-62\sqrt{7}}=\sqrt[3]{{85}^2-{\left(62\sqrt{7}\right)}^2}=\sqrt[3]{-19683}=-27$Ta có: $\begin{array}{l}{B}^3={\left(a+b\right)}^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\\ =170-\mathrm{3.27.}B\\ =>B^3+81B-170=0\\ =>(B-2)\left(\underset{>0}{\underbrace{B^2+2B+85}}\right)=0\\ =>B=2\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình x+2y=2m+14x+2y=5m−1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+2y=2m+1\\ 4x+2y=5m-1\end{array}\right.$

   Trả lời:

   $\left\{\begin{array}{l}x+2y=2m+1\\ 4x+2y=5m-1\end{array}\right.\left(1\right)\begin{array}{l}\left(1\right)<=>\left\{\begin{array}{l}m=\frac{x+2y-1}{2}\\ m=\frac{4x+2y+1}{5}\end{array}\right.=>\frac{x+2y-1}{2}=\frac{3x+2y+1}{5}\\ =>5(x+2y-1)=2(4x+2y+1)=>3x-6y+7=0\end{array}$Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên (x₀; y₀) thì $3x_0-6y_0+7=0=>6y_0-7=3x_0⋮3=>7⋮3$ (vô lý) Vậy hệ phương trình không có nghiệm nguyên ∀ m.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho parabol (P): y = x2 cắt đường thẳng d: y = mx – 2 tại 2 điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) thỏa mãn y1+y2=2(x1+x2)−1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho parabol (P): y = x² cắt đường thẳng d: y = mx – 2 tại 2 điểm phân biệt A(x₁;y₁) và B(x₂;y₂) thỏa mãn $y_1+y_2=2(x_1+x_2)-1$

   Trả lời:

   Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d: $x^2-mx+2=0$ (1)P) cắt d tại hai điểm phân biệt A(x₁;y₁) và B(x₂;y₂) ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt⇔ ∆ = m² – 4.2 > 0 ⇔ m² > 8 ⇔ m > $2\sqrt{2}$ hoặc m<-$2\sqrt{2}$Khi đó x₁, x₂ là nghiệm của (1). Áp dụng định lí Vi–ét ta có x₁ + x₂ = m; x₁x₂ = 2.Do A, B ∈ d nên y₁ = mx₁ – 2 và y₂ = mx₂ – 2.Ta có: $\begin{array}{l}{y}_1+y_2=2(x_1+x_1)-1\\ <=>m{x}_1-2+m{x}_2-2=2(x_1+x_2)-1\\ <=>(m-2)(x_1+x_2)-3=0\\ <=>m(m-2)-3=0\\ <=>m^2-2m-3=0\end{array}$⇔ m = –1 (loại) hoặc m = 3 (thỏa mãn) Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Giải phương trình x2−9−x2−16=1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình $\sqrt{x^2-9}-\sqrt{x^2-16}=1$

   Trả lời:

   $\sqrt{x^2-9}-\sqrt{x^2-16}=1 \left(1\right)$ĐK: x² ≥ 16 ⇔ x ≥ 4 hoặc x ≤ –4.$\begin{array}{l}\left(I\right)<=>\sqrt{x^2-9}=\sqrt{x^2-16}+1\\ <=>x^2-9=x^2-16+2\sqrt{x^2-16}+1\\ <=>6=2\sqrt{x^2-16}\\ <=>3=\sqrt{x^2-16}\\ <=>x^2-25=0\\ <=>x=\pm 5\end{array}$(thỏa mãn điều kiện)Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S={–5;5}.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====