Sách bài tập Toán 11 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Đường thẳng và mặt phẳng song song

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Giải SBT Toán 11 trang 121

Bài 1 trang 121 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi G₁ và G₂ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ACD. Chứng minh G₁G₂ song song với các mặt phẳng (ABC) và (BCD).

Lời giải:

Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và ACD

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DB, DC.

Xét ∆DBC có M, N lần lượt là trung điểm của DB, DC nên MN là đường trung bình của ∆DBC, suy ra MN // BC.

Do G₁ là trọng tâm ∆ABD nên $\frac{A G_{1}}{A M} = \frac{2}{3}$ ;

G₂ là trọng tâm ∆ACD nên $\frac{A G_{2}}{A N} = \frac{2}{3}$ .

Do đó $\frac{A G_{1}}{A M} = \frac{A G_{2}}{A N} = \frac{2}{3}$ .

Trong tam giác AMN, ta có $\frac{A G_{1}}{A M} = \frac{A G_{2}}{A N} = \frac{2}{3}$ nên G₁G₂ // MN (định lí Thalès đảo)

Mà MN // BC (chứng minh trên)

Suy ra G₁G₂ // MN // BC, mà BC ⊂ (ABC), MN ⊂ (BCD).

Suy ra G₁G₂ song song với các mặt phẳng (ABC) và (BCD).

Bài 2 trang 121 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là O và O’.

a) Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh AF, AD sao cho AM = $\frac{1}{3}$ AF, AN = $\frac{1}{3}$ AD Chứng minh MN // (DCEF).

Lời giải:

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng

a) Do O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O là trung điểm của BD, AC và O’ là trung điểm của BF, AE.

Xét trong ∆BDF có: O, O’ lần lượt là trung điểm của BD, BF nên OO’ là đường trung bình của ∆BDF, suy ra OO’ // DF (1)

Tương tự, trong ∆ACE ta cũng có OO’ // CE (2)

Từ (1) và (2) suy ra OO’ // DF // CE, mà DF ⊂ (ADF), CE ⊂ (BCE)

Suy ra OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) Do AM = $\frac{1}{3}$ AF, AN = $\frac{1}{3}$ AD nên $\frac{A M}{A F} = \frac{A N}{A D} = \frac{1}{3}$

Xét ∆ADF có $\frac{A M}{A F} = \frac{A N}{A D}$ suy ra MN // DF (định lý Thalès đảo)

Mà DF ⊂ (DCEF), suy ra MN // (DCEF).

Giải SBT Toán 11 trang 122

Bài 3 trang 122 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, I là trung điểm của AB và M là điểm thuộc cạnh AD sao cho AM = $\frac{1}{3}$ AD. Đường thẳng đi qua M và song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh:

a) NG // (SCD);

b) MG // (SCD).

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi G là trọng tâm

a) Gọi F là giao điểm của MN và BC.

Ta có MN // AB, suy ra NF // BI (vì F ∈ MN, I ∈ AB).

Trong ∆CIB có NF // BI, nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{I N}{I C} = \frac{B F}{B C}$ (1)

Mặt khác, AM = $\frac{1}{3}$ AD suy ra $\frac{A M}{A D} = \frac{1}{3}$

Lại có MF // AB // DC nên $\frac{B F}{C F} = \frac{A M}{A D} = \frac{1}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{N I}{C I} = \frac{B F}{B C} = \frac{1}{3}$

Trong ∆SAB, ta có G là trọng tâm nên $\frac{I G}{I S} = \frac{1}{3}$ .

Trong ∆SIC, ta có $\frac{G I}{S I} = \frac{N I}{C I} = \frac{1}{3},$ suy ra GN // SC (định lí Thalès đảo).

Mà SC ⊂ (SDC), do đó NG // (SDC).

b) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của MI và DC.

Trong ∆OCI có MN // OC (do O ∈ DC), suy ra $\frac{I M}{I O} = \frac{I N}{I C} = \frac{1}{3}$ (theo định lí Thalès).

Mà $\frac{I G}{I S} = \frac{1}{3}$ (G là trọng tâm của ∆SAB).

Do đó, trong ∆SOI có $\frac{I M}{I O} = \frac{I G}{I S} = \frac{1}{3}$ , suy ra MG // OS (định lí Thalès đảo).

Mà OS ⊂ (SDC), do đó MG // (SDC).

Bài 4 trang 122 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD, P là trung điểm của SA. Chứng minh:

a) MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD);

b) SB song song với (MNP);

c) SC song song với (MNP).

d) Gọi G₁ và G₂ theo thứ tự là trọng tâm của hai tam giác ABC và SBC. Chứng minh G₁G₂ song song với (SAD).

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm

a) Hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD nên MN // AD // BC

Ta có MN // BC và BC ⊂ (SBC), suy ra MN // (SBC);

MN // AD và AD ⊂ (SAD), suy ra MN // (SAD).

Vậy MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).

b) Trong ∆SAB, có P, M lần lượt là trung điểm của SA, AB nên PM là đường trung bình, suy ra PM // SB

Mà PM ⊂ (MNP), suy ra SB // (MNP).

c) Trong mặt phẳng (SAB) vẽ đường thẳng d đi qua S và song song AB.

Gọi E là giao điểm của MP và d.

Ta có d // AB hay ES // AB, mà AB // CD nên ES // DC, tức là ES // NC (1)

Ta cũng có ES // MB và EM // SB nên MBSE là hình bình hành, suy ra ES = MB

Mà MB = NC (do M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC và AB = DC)

Suy ra ES = NC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ESCN là hình bình hành nên SC // NE.

Lại có NE ⊂ (MNP), suy ra SC // (MNP).

d) Gọi I là trung điểm của BC.

Do G₁ và G₂ theo thứ tự là trọng tâm của ∆ABC và ∆SBC nên $\frac{I G_{1}}{I A} = \frac{I G_{2}}{I S} = \frac{1}{3}$

Trong ∆SIA, ta có $\frac{I G_{1}}{I A} = \frac{I G_{2}}{I S} = \frac{1}{3}$ , suy ra G₁G₂ // SA (định lí Thalès đảo)

Mà SA ⊂ (SAD), nên G₁G₂ // (SAD).

Bài 5 trang 122 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt của hình chóp.

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi (alpha) là mặt phẳng đi qua trung điểm

Gọi N, P, R lần lượt là trung điểm của AD, SD, SB.

Xét ∆ABD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MN là đường trung bình của tam giác. Do đó MN // BD.

Xét ∆SBD có P, R lần lượt là trung điểm của SD, SB nên PR là đường trung bình của tam giác. Do đó PR // BD.

Từ các kết quả trên ta có: MN // PR (do cùng song song với BD).

Suy ra bốn điểm M, N, P, R tạo thành một mặt phẳng (MNPR).

Ta có MN // BD và MN ⊂ (MNPR) nên BD // (MNPR)

Tương tự, ta cũng có SA // (MNPR)

Ta thấy (MNPR) đi qua M và song song với BD, và SA nên chính là mp(α).

Trong mặt phẳng (SAB) vẽ đường thẳng d đi qua S và d // AB // CD.

Khi đó, giả sử MR cắt d tại I, PI cắt SC tại Q.

Lúc này, mặt phẳng (α) là (MNPI).

Ta có MN ⊂ (ABCD), MN ⊂ (MNPI) nên (MNPI) ∩ (ABCD) = MN hay (α) ∩ (ABCD) = MN.

Tương tự, (α) ∩ (SAD) = NP, (α) ∩ (SCD) = PQ, (α) ∩ (SBC) = QR, (α) ∩ (SAB) = MR.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Hai đường thẳng song song

Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 5: Phép chiếu song song

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy