Giải SGK Toán 10 Bài 5 (Cánh diều): Phương trình đường tròn

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 5: Phương trình đường tròn

Giải Toán 10 trang 87 Tập 2

Câu hỏi khởi động trang 87 Toán lớp 10 Tập 2: Ở một số công viên, người ta dựng vòng quay có bán kính rất lớn đặt theo phương thẳng đứng như Hình 42. Khi vòng quay hoạt động, một người ngồi trong cabin sẽ chuyển động theo đường tròn.

Làm thế nào để xác định được phương trình quỹ đạo chuyển động của người đó?

Lời giải:

Để xác định được phương trình quỹ đạo chuyển động của người đó, ta cần lập được phương trình đường tròn chuyển động của vòng quay, để lập phương trình đường tròn này, ta cần biết tọa độ tâm và bán kính của đường tròn.

I. Phương trình đường tròn

Hoạt động 1 trang 87 Toán lớp 10 Tập 2:

a) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O(0; 0) đến điểm M(3; 4) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Cho hai điểm I(a; b) và M(x; y) trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Nêu công thức tính độ dài đoạn thẳng IM.

Lời giải:

a) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến M là OM = $\sqrt{{\left(3-0\right)}^2+{\left(4-0\right)}^2}=5$.

b) Công thức tính độ dài đoạn thẳng IM là IM = $\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2}$.

Hoạt động 2 trang 87 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nêu mối liên hệ giữa x và y để:

a) Điểm M(x; y) nằm trên đường tròn tâm O(0; 0) bán kính 5.

b) Điểm M(x; y) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b) bán kính R.

Lời giải:

a) Điểm M(x; y) nằm trên đường tròn tâm O bán kính 5 khi và chỉ khi OM = 5 ⇔ OM² = 5² ⇔${\left(\sqrt{{\left(x-0\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2}\right)}^2=25$⇔ x² + y² = 25.

b) Điểm M(x; y) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b) bán kính R khi và chỉ khi IM = R

⇔ IM² = R² $\iff {\left(\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2}\right)}^2=R^2$⇔ (x – a)² + (y – b)² = R².

Giải Toán 10 trang 88 Tập 2

Luyện tập 1 trang 88 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình đường tròn tâm I(6; – 4) đi qua điểm A(8; – 7).

Lời giải:

Đường tròn tâm I đi qua điểm A nên bán kính của đường tròn là

R = IA = $\sqrt{{\left(8-6\right)}^2+{\left(\left(-7\right)-\left(-4\right)\right)}^2}=\sqrt{13}$.

Vậy phương trình đường tròn cần lập là (x – 6)² + [y – (– 4)]² = ${\left(\sqrt{13}\right)}^2$ hay (x – 6)² + (y + 4)² = 13.

Hoạt động 3 trang 88 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình đường tròn (C):

(x – a)² + (y – b)² = R² về dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.

Lời giải:

Ta có: (x – a)² + (y – b)² = R²

⇔ x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = R²

⇔ x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R² = 0.

Đặt a² + b² – R² = c.

Khi đó phương trình đường tròn được đưa về dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.

Giải Toán 10 trang 89 Tập 2

Luyện tập 2 trang 89 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm k sao cho phương trình: x² + y² + 2kx + 4y + 6k – 1 = 0 là phương trình đường tròn.

Lời giải:

Ta có: x² + y² + 2kx + 4y + 6k – 1 = 0

⇔ (x² + 2kx + k²) + (y² + 4y + 4) – k² + 6k – 1 – 4 = 0

⇔ (x + k)² + (y + 2)² = k² – 6k + 5

Do đó, phương trình trên là phương trình đường tròn khi và chỉ khi k² – 6k + 5 > 0.

Giải phương trình k² – 6k + 5 > 0.

Tam thức bậc hai k² – 6k + 5 có ∆’ = (– 3)² – 1 . 5 = 4 > 0 nên tam thức có hai nghiệm phân biệt k₁ = 1, k₂ = 5. Do hệ số a > 0 nên tam thức cùng dấu với a khi k ∈ (– $\infty$; 1) ∪ (5; + $\infty$). Vậy k² – 6k + 5 > 0 khi k ∈ (– $\infty$; 1) ∪ (5; + $\infty$).

Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn khi k ∈ (– $\infty$; 1) ∪ (5; + $\infty$).

Luyện tập 3 trang 89 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(1; 2), B(5; 2), C(1; – 3).

Lời giải:

Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a; b).

Ta có IA = IB = IC ⇔ IA² = IB² = IC².

Vì IA² = IB², IB² = IC² nên

Đường tròn tâm I bán kính R = IA = $=\sqrt{{\left(1-3\right)}^2+{\left(2-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}^2}=\sqrt{\frac{41}{4}}$.

Phương trình đường tròn là ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}^2={\left(\sqrt{\frac{41}{4}}\right)}^2$.

Vậy phương trình đường tròn là ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{41}{4}$.

II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Giải Toán 10 trang 90 Tập 2

Hoạt động 4 trang 90 Toán lớp 10 Tập 2: Cho điểm M₀(x₀; y₀) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b) bán kính R.

Gọi ∆ là tiếp tuyến tại điểm M₀(x₀; y₀) thuộc đường tròn (Hình 44).

a) Chứng tỏ rằng $\overrightarrow{I{M}_0}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

b) Tính tọa độ của $\overrightarrow{I{M}_0}$.

c) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆.

Lời giải:

a) Vì đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) có tâm I tại điểm M₀ nên IM₀ vuông góc với ∆ tại M₀ (tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm).

Do đó, vectơ $\overrightarrow{I{M}_0}$ có giá là đường thẳng IM₀ vuông góc với đường thẳng ∆.

Vậy vectơ $\overrightarrow{I{M}_0}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

b) Ta có: $\overrightarrow{I{M}_0}=\left(x_0-a;y_0-b\right)$.

c) Đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀) và nhận $\overrightarrow{I{M}_0}$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là(x₀ – a)(x – x₀) + (y₀ – b)(y – y₀) = 0.

Luyện tập 4 trang 90 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm M₀(– 1; – 4) thuộc đường tròn (x – 3)² + (y + 7)² = 25.

Lời giải:

Đường tròn có tâm I(3; – 7).

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M₀(– 1; – 4) thuộc đường tròn (x – 3)² + (y + 7)² = 25 là

(– 1 – 3)(x + 1) + (– 4 + 7)(y + 4) = 0

⇔ – 4x – 4 + 3y + 12 = 0 ⇔ 4x – 3y – 8 = 0.

Bài tập

Giải Toán 10 trang 91 Tập 2

Bài 1 trang 91 Toán lớp 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

a) x² + y² – 2x + 2y – 7 = 0;

b) x² + y² – 8x + 2y + 20 = 0.

Lời giải:

a) x² + y² – 2x + 2y – 7 = 0

⇔ (x² – 2x + 1) + (y² + 2y + 1) – 1 – 1 – 7 = 0

⇔ (x – 1)² + (y + 1)² = 9

Đây là phương trình đường tròn với tâm I(1; – 1) và bán kính R = $\sqrt{9}$ = 3.

b) x² + y² – 8x + 2y + 20 = 0

⇔ (x² – 8x + 16) + (y² + 2y + 1) – 16 – 1 + 20 = 0

⇔ (x – 4)² + (y – 1)² = – 3

Do – 3 < 0 nên đây không phải là phương trình đường tròn.

Bài 2 trang 91 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường tròn có phương trình (x + 1)² + (y – 5)² = 9;

b) Đường tròn có phương trình x² + y² – 6x – 2y – 15 = 0.

Lời giải:

a) Ta có: (x + 1)² + (y – 5)² = 9 ⇔ (x – (– 1))² + (y – 5)² = 3².

Do đó, đường tròn đã cho có tâm I(– 1; 5) và bán kính R = 3.

b) Ta có: x² + y² – 6x – 2y – 15 = 0

⇔ (x² – 6x + 9) + (y² – 2y + 1) – 9 – 1 – 15 = 0

⇔ (x – 3)² + (y – 1)² = 25

Do đó, đường tròn đã cho có tâm I(3; 1) và bán kính R = $\sqrt{25}=5$.

Bài 3 trang 91 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường tròn có tâm O(– 3; 4) và bán kính R = 9;

b) Đường tròn có tâm I(5; – 2) và đi qua điểm M(4; – 1);

c) Đường tròn có tâm I(1; – 1) và có một tiếp tuyến là Δ: 5x – 12y – 1 = 0;

d) Đường tròn đường kính AB với A(3; – 4) và B(– 1; 6);

e) Đường tròn đi qua ba điểm A(1; 1); B(3; 1); C(0; 4).

Lời giải:

a) Phương trình đường tròn có tâm O(– 3; 4) và bán kính R = 9 là

(x – (– 3))² + (y – 4)² = 9² hay (x + 3)² + (y – 4)² = 81.

b) Đường tròn có tâm I và đi qua điểm M thì có bán kính là

R = IM = $\sqrt{{\left(4-5\right)}^2+{\left(\left(-1\right)-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{2}$.

Vậy phương trình đường tròn cần lập là (x – 5)² + (y – (– 2))² = ${\left(\sqrt{2}\right)}^2$ hay (x – 5)² + ( y + 2)² = 2.

c) Khoảng cách từ tâm I của đường tròn đến tiếp tuyến ∆ chính bằng bán kính của đường tròn.

Vậy phương trình đường tròn cần lập là ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-\left(-1\right)\right)}^2={\left(\frac{16}{13}\right)}^2$ hay ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=\frac{256}{169}$.

d) Ta có: AB = $\sqrt{{\left(-1-3\right)}^2+{\left(6-\left(-4\right)\right)}^2}=2\sqrt{29}$.

Gọi I là trung điểm của AB, ta có tọa độ của I là $x_I=\frac{3+\left(-1\right)}{2}=1,y_I=\frac{\left(-4\right)+6}{2}=1$ hay I(1; 1).

Đường tròn đường kính AB có tâm là trung điểm I của AB và có bán kính R =$\frac{AB}{2}=\sqrt{29}.$

Vậy phương trình đường tròn đường kính AB là (x – 1)² + (y – 1)² = 29.

e) Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a; b).

Ta có IA = IB = IC ⇔ IA² = IB² = IC².

Vì IA² = IB², IB² = IC² nên

Đường tròn tâm I(2; 3) bán kính R = IC = $\sqrt{a^2+{\left(4-b\right)}^2}$$=\sqrt{2^2+{\left(4-3\right)}^2}=\sqrt{5}$.

Phương trình đường tròn là ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2$.

Vậy phương trình đường tròn là (x – 2)² + (y – 3)² = 5.

Giải Toán 10 trang 92 Tập 2

Bài 4 trang 92 Toán lớp 10 Tập 2: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 3 thuộc đường tròn

(x + 2)² + (y + 7)² = 169.

Lời giải:

Ta có: (x + 2)² + (y + 7)² = 169 ⇔ (x – (–2))² + (y – (–7))² = 13².

Do đó, đường tròn đã cho có tâm I(– 2; – 7) và bán kính R = 13.

Hoành độ của tiếp điểm là 3 hay x = 3, thay vào phương trình đường tròn ta được:

(3 + 2)² + (y + 7)² = 169 ⇔ (y + 7)² = 144 ⇔ (y + 7)² = 12²

Suy ra y + 7 = 12 hoặc y + 7 = – 12

Suy ra y = 5 hoặc y = – 19.

Do đó ta tìm được các điểm thuộc đường tròn có hoành độ bằng 3 là A(3; 5) và B(3; – 19).

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(– 2; – 7) tại điểm A(3; 5) là

(3 + 2)(x – 3) + (5 + 7)(y – 5) = 0

⇔ 5x – 15 + 12y – 60 = 0

⇔ 5x + 12y – 75 = 0.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại B(3; – 19) là

(3 + 2)(x – 3) + (– 19 + 7)(y – (– 19)) = 0

⇔ 5x – 15 – 12y – 228 = 0

⇔ 5x – 12y – 243 = 0.

Vậy các phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là 5x + 12y – 75 = 0; 5x – 12y – 243 = 0.

Bài 5 trang 92 Toán lớp 10 Tập 2: Tìm m sao cho đường thẳng 3x + 4y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn

(x + 1)² + (y – 2)² = 4.

Lời giải:

Ta có: (x + 1)² + (y – 2)² = 4 ⇔ (x – (– 1))² + (y – 2)² = 2².

Đường tròn đã cho có tâm I(– 1; 2) và bán kính R = 2.

Gọi đường thẳng d có phương trình 3x + 4y + m = 0, đường thẳng này tiếp xúc với đường tròn đã cho khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I của đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn hay d(I, d) = R

Suy ra m + 5 = 10 hoặc m + 5 = – 10

Suy ra m = 5 hoặc m = – 15.

Vậy m = 5, m = – 15 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 6 trang 92 Toán lớp 10 Tập 2: Hình 46 mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí I có toạ độ (– 2; 1) trong mặt phẳng toạ độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét).

a) Lập phương trình đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng, biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng 3 km.

b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ (– 1; 3) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này không? Giải thích.

c) Tính theo đường chim bay, xác định khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có toạ độ (– 3; 4) di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

a) Đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng có tâm I(– 2; 1) và bán kính R = 3.

Do đó, phương trình đường tròn cần lập là (x + 2)² + (y – 1)² = 9.

b) Khoảng cách từ tâm I của đường tròn ranh giới tới vị trí có tọa độ (– 1; 3) là

d = $\sqrt{{\left(\left(-1\right)-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(3-1\right)}^2}=\sqrt{5}$.

Vì $\sqrt{5}<3$ nên d < R.

Do đó, vị trí có tọa độ (– 1; 3) nằm bên trong đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng.

Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ (– 1; 3) có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.

c) Gọi vị trí người đó đang đứng là B(– 3; 4).

Ta có: $\overrightarrow{BI}=\left(-2-\left(-3\right);1-4\right)=\left(1;-3\right)$, $BI=\sqrt{1^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{10}$.

BI > R nên B nằm ngoài đường tròn ranh giới, giả sử đường thẳng BI cắt đường tròn tại điểm A, khi đó AB là khoảng cách ngắn nhất từ B đến vùng phủ sóng.

Ta cần tìm tọa độ điểm A.

Đường thẳng BI có một vectơ chỉ phương là vectơ $\overrightarrow{BI}$ nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(3;1\right)$. Do đó, phương trình đường thẳng BI là 3(x + 3) + 1(y – 4) = 0 hay 3x + y + 5 = 0.

+ Với $A\left(\frac{-20+3\sqrt{10}}{10};\frac{10-9\sqrt{10}}{10}\right)$

Ta có: $AB=\sqrt{{\left(-3-\frac{-20+3\sqrt{10}}{10}\right)}^2+{\left(4-\frac{10-9\sqrt{10}}{10}\right)}^2}\approx 6,2$

+ Với $A\left(\frac{-20-3\sqrt{10}}{10};\frac{10+9\sqrt{10}}{10}\right)$

Ta có: $AB=\sqrt{{\left(-3-\frac{-20-3\sqrt{10}}{10}\right)}^2+{\left(4-\frac{10+9\sqrt{10}}{10}\right)}^2}\approx 0,2$

Do 0,2 < 6,2 nên ta chọn kết quả 0,2.

Vậy tính theo đường chim bay, khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có toạ độ (– 3; 4) di chuyển được tới vùng phủ sóng là 0,2 km.

Bài 7 trang 92 Toán lớp 10 Tập 2: Ném đĩa là một môn thể thao thi đấu trong Thế vận hội Olympic mùa hè. Khi thực hiện cú ném, vận động viên thường quay lưng lại với hướng ném, sau đó xoay ngược chiều kim đồng hồ một vòng rưỡi của đường tròn để lấy đà rồi thả tay ra khỏi đĩa. Giả sử đĩa chuyển động trên một đường tròn tâm $I\left(0;\frac{3}{2}\right)$ bán kính 0,8 trong mặt phẳng tọa độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét). Đến điểm $M\left(\frac{\sqrt{39}}{10};2\right)$, đĩa được ném đi (Hình 47). Trong những giây đầu tiên ngay sau khi được ném đi, quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa có phương trình như thế nào?

Lời giải:

Đĩa chuyển động trên một đường tròn tâm $I\left(0;\frac{3}{2}\right)$ bán kính 0,8; đến điểm $M\left(\frac{\sqrt{39}}{10};2\right)$, đĩa được ném đi, do đó trong những giây đầu tiên sau khi ném đi, đĩa chuyển động trên một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn tâm I, bán kính 0,8 tại tiếp điểm M.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I tại tiếp điểm M là

Vậy trong những giây đầu tiên ngay sau khi được ném đi, quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa có phương trình là $10\sqrt{39}x+50y-139=0$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Phương trình đường thẳng

Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 6: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7