Giải SGK Toán 10 (Chân trời sáng tạo) Bài tập cuối chương 8

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 8

Giải toán lớp 10 trang 36 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 36 Toán lớp 10: Một nhóm tình nguyện viên gồm 4 học sinh lớp 10A, 5 học sinh lớp 10B và 6 học sinh lớp 10C. Để tham gia một công việc tình nguyện, nhóm có bao nhiêu cách cử ra

a) 1 thành viên của nhóm?

b) 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau?

c) 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau?

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tổ hợp, chọn 1 bạn từ 15 bạn học sinh

b) Chọn 3 bạn. Trong đó, mỗi lớp 1 bạn học sinh

c) Sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân

Lời giải:

a) Số cách chọn 1 bạn từ nhóm 15 bạn là tổ hợp chập 1 của 15 $C_{15}^1=15$ cách

b) Việc chọn 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau gồm 3 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 1 bạn từ lớp 10A có 4 cách

Công đoạn 2: Chọn 1 bạn từ lớp 10B có 5 cách

Công đoạn 3: Chọn 1 bạn từ lớp 10C có 6 cách

Áp dụng quy tắc nhân, ta có $\mathrm{4.5.6}=120$ cách chọn 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau

c) Việc chọn 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau có 3 trường hợp:

TH1: 2 bạn đang học ở lớp 10A và 10B có $4.5=20$ cách

TH2: 2 bạn đang học ở lớp 10A và 10C có $4.6=24$ cách

TH3: 2 bạn đang học ở lớp 10C và 10B có $6.5=30$ cách

 Áp dụng quy tắc cộng, ta có $20+24+30=74$ cách chọn 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau

Bài 2 trang 36 Toán lớp 10: Một khóa số có 3 vòng số (mỗi vòng gồm 10 số, từ 0 đến 9) như hình 1. Người dùng cần đặt mật mã cho khóa là một dãy số có 3 chữ số. Để mở khóa cần xoay các vòng số để dãy số phía trước trùng với mật mã đã chọn. Có bao nhiêu cách chọn mật mã cho khóa?

Lời giải:

Mỗi cách chọn 1 chữ số cho mật mã là 1 trong 10 cách chọn các chữ số từ 0 đến 9. Vậy có tổng cả 10 cách chọn cho mỗi chữ số

Dãy mật mã có 3 chữ số nên có ${10}^3$ cách chọn mật mã cho khóa

Bài 3 trang 36 Toán lớp 10: Từ 6 thẻ số như hình 2, có thể ghép để tạo thành bao nhiêu

a) số tự nhiên có 6 chữ số?

b) Số tự nhiên lẻ có 6 chữ số

c) Số tự nhiên có 5 chữ số

d) Số tự nhiên có 5 chữ số lớn hơn 50 000?

Lời giải:

a) Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số được tạo ra từ 6 thẻ số trên là mỗi cách sắp xếp 6 tấm thẻ số

Vậy có $6!$ số tự nhiên có 6 chữ số được tạo thành từ 6 tấm thẻ số đã cho

b) Để số tạo thành là số lẻ thì chữ số tận cùng là chữ số lẻ (1, 3, 5) có 3 cách chọn

Sắp xếp 5 chữ số còn lại có $5!$ cách

Áp dụng quy tắc nhân, ta có $3.5!$ số lẻ có 6 chữ số được tạo thành từ 6 tấm thẻ số

c) Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số được tạo thành từ 6 thẻ số là mỗi cách chọn 5 tấm thẻ và sắp xếp chúng.

Vậy có $A_6^5$ số có 5 chữ số được tạo thành từ 6 thẻ số đã cho

d) Để số tạo thành lớn hơn 50 000 thì chữ số đầu tiên phải là 6 hoặc 5

Sắp xếp 4 chữ số còn lại có $A_5^4$ cách

Vậy có $2.A_5^4$ số có 5 chữ số được tạo ra từ 6 thẻ số đã cho và lớn hơn 50 000

Bài 4 trang 36 Toán lớp 10: Thực đơn tại một quán cơm văn phòng có 6 món mặn, 5 món rau và 3 món canh. Tại đây, một nhóm khách muốn chọn bữa trưa gồm cơm, 2 món mặn, 2 món rau và 1 món canh. Nhóm khách có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

Để chọn được bữa cơm đủ món theo yêu cầu cần thực hiện 3 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn 2 món mặn từ 6 món mặn có $C_6^2$ cách

Công đoạn 2: Chọn 2 món rau từ 5 món có $C_5^2$ cách

Công đoạn 3: Chọn 1 món canh từ 3 món canh có 3 cách

Áp dụng quy tắc nhân, ta có $3.C_5^2.C_6^2=450$ cách chọn bữa cơm gồm cơm, 2 món mặn, 2 món rau và 1 món canh

Bài 5 trang 36 Toán lớp 10: Cho 9 điểm nằm trên hai đường thẳng song song như hình 3. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là ba điểm trong các điểm đã cho?

Phương pháp giải:

Tam giác được tạo thành từ 3 điểm không thẳng hàng

=> chọn 2 điểm ở đường này và 1 điểm ở đường kia.

Lời giải:

Cách 1:

TH 1: Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng có 4 điểm

Chọn 2 điểm từ đường thẳng trên có $C_4^2$ cách

Chọn 1 điểm từ đường thẳng còn lại có 5 cách

=> Số tam giác tạo thành là $5.C_4^2=30$

TH 2: Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng có 5 điểm

Chọn 2 điểm từ đường thẳng dưới có $C_5^2$ cách

Chọn 1 điểm từ đường thẳng còn lại có 4 cách

=> Số tam giác tạo thành là $4.C_5^2=40$

Vậy có tất cả 70 tam giác được tạo thành.

Cách 2: 

Số cách chọn 3 điểm bất kì là:  $C_9^3=84$ cách

Số cách chọn 3 điểm thẳng hàng là: $C_4^3+C_5^3=14$ cách

=> Số cách chọn 3 điểm không thẳng hàng là: 84 – 14 = 70 (cách)

Do đó ta có thể có 70 tam giác.

Bài 6 trang 36 Toán lớp 10: Khai triển các biểu thức:

a) ${\left(a-\frac{b}{2}\right)}^4$

b) ${\left(2x^2+1\right)}^5$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nhị thức Newton ${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$

Lời giải:

a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l}{\left(a-\frac{b}{2}\right)}^4=a^4+C_4^1.a^3\left(-\frac{b}{2}\right)+C_4^2.a^2{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2+C_4^3.a{\left(-\frac{b}{2}\right)}^3+C_4^4.{\left(-\frac{b}{2}\right)}^4\\ =a^4-2a^{3}b+\frac{3}{2}{a}^2{b}^2-\frac{1}{2}a{b}^3+\frac{1}{16}{b}^4\end{array}$

b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l}{\left(2x^2+1\right)}^5={\left(2x^2\right)}^5+C_5^1.{\left(2x^2\right)}^4.1+C_5^2.{\left(2x^2\right)}^3{.1}^2+C_5^3.{\left(2x^2\right)}^2{.1}^3+C_5^4.\left(2x^2\right){.1}^4+1^5\\ =32x^{10}+80x^8+80x^6+40x^4+10x^2+1\end{array}$

Bài 7 trang 36 Toán lớp 10: Hãy khai triển và rút gọn biểu thức ${\left(1+x\right)}^4+{\left(1-x\right)}^4$

Sử dụng kết quả đó để tính gần đúng biểu thức $1,{05}^4+0,{95}^4$

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức nhị thức Newton ${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$

Lời giải:

a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l}{\left(1+x\right)}^4=1^4+C_4^1{.1}^{3}x+C_4^2{.1}^2{x}^2+C_4^3.1x^3+C_4^4{x}^4\\ =1+4x+6x^2+4x^3+x^4\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left(1-x\right)}^4=1^4+C_4^1{.1}^3\left(-x\right)+C_4^2{.1}^2{\left(-x\right)}^2+C_4^3.1{\left(-x\right)}^3+C_4^4{\left(-x\right)}^4\\ =1-4x+6x^2-4x^3+x^4\end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l}{\left(1+x\right)}^4+{\left(1-x\right)}^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4+1-4x+6x^2-4x^3+x^4\\ =2+12x^2+2x^4\end{array}$

Vậy ${\left(1+x\right)}^4+{\left(1-x\right)}^4=2+12x^2+2x^4$

Ta có: $1,{05}^4+0,{95}^4={\left(1+0,5\right)}^4+{\left(1-0,5\right)}^4$

Áp dụng biểu thức vừa chứng minh ${\left(1+x\right)}^4+{\left(1-x\right)}^4=2+12x^2+2x^4$ ta có:

 $\begin{array}{l}1,{05}^4+0,{95}^4={\left(1+0,5\right)}^4+{\left(1-0,5\right)}^4=2+12.0,5^2+2.0,5^4\\ =5,125\end{array}$

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Nhị thức Newton

Bài 1: Toạ độ của vecto

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ