Sách bài tập Toán 10 Bài 9 (Kết nối tri thức): Tích của một vectơ với một số

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Giải SBT Toán 10 trang 54 Tập 1

Bài 4.13 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ $\vec{A B}, \vec{B C}, \vec{C A}$ theo hai vectơ $\vec{A D}$ và $\vec{B E}$

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có:

+) D là trung điểm của BC nên $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A D}$

+) E là trung điểm của AC nên $\vec{A C} = 2 \vec{A E}$

Do đó

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

+) Vì $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A D}$ nên $\vec{A C} = 2 \vec{A D} - \vec{A B}$

Mà

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

+) $\vec{B C} = \vec{A C} - \vec{A B}$ (quy tắc hiệu)

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy $\vec{A B} = \frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E};$ $\vec{B C} = \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{4}{3} \vec{B E}$ và $\vec{C A} = - \frac{4}{3} \vec{A D} - \frac{2}{3} \vec{B E} .$

Bài 4.14 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau $\vec{O A} + \vec{O B},$ $\vec{O A} - \vec{O B},$ $\vec{O A} - \vec{O B},$ $2 \vec{O A} - 3 \vec{O B} .$

Lời giải:

Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành

Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông

Þ OC = AB

Mà AB² = OA² + OB²(định lí Pythagoras)

Þ AB² = a² + a² = 2a²

$\Rightarrow O C = A B = a \sqrt{2}$

+) Có: $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{O C}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow |\vec{O A} + \vec{O B}| = |\vec{O C}| = O C = a \sqrt{2}$

+) Có:

$\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{B O} = \vec{B O} + \vec{O A} = \vec{B A}$

$\Rightarrow |\vec{O A} + \vec{O B}| = |\vec{O C}| = O C = a \sqrt{2}$

+) Lấy điểm D sao cho $\vec{O D} = 2 \vec{O B}$ nên hai vectơ $\vec{O D}$ , $\vec{O B}$ cùng hướng và OD = 2OB.

Có: $\vec{O A} + 2 \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{O D}$

Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó $\vec{O A} + \vec{O D} = \vec{O E}$

$\Rightarrow |\vec{O A} + 2 \vec{O B}| = |\vec{O E}| = O E$

Mà OE² = OD² + DE² (định lí Pythagoras)

Þ OE² = (2OB)² + OA²

Þ OE² = (2a)² + a² = 5a²

$\Rightarrow O E = a \sqrt{5}$

Do đó $|\vec{O A} + 2 \vec{O B}| = a \sqrt{5}$

+) Lấy điểm G sao cho $\vec{O G} = 2 \vec{O A}, \vec{O H} = 3 \vec{O B}$

Khi đó: hai vectơ $\vec{O G}$ , $\vec{O A}$ cùng hướng và OG = 2OA;

Và hai vectơ $\vec{O H}$ , $\vec{O B}$ cùng hướng và OH = 3OB.

Có: $2 \vec{O A} - 3 \vec{O B} = \vec{O G} - \vec{O H}$

$= \vec{O G} + \vec{H O}$ $= \vec{H O} + \vec{O G}$

$= \vec{H G}$

$\Rightarrow |2 \vec{O A} - 3 \vec{O B}| = |\vec{H G}| = H G$

Mà HG² = OG² + OH² (định lí Pythagoras)

Þ HG² = (2OA)² + (3OB)²

Þ HG² = (2a)² + (3a)²

Þ HG² = 13a²

$\Rightarrow H G = a \sqrt{13}$

Do đó $|2 \vec{O A} - 3 \vec{O B}| = a \sqrt{13} .$

Vậy $|\vec{O A} + \vec{O B}| = a \sqrt{2};$ $|\vec{O A} - \vec{O B}| = a \sqrt{2};$ $|\vec{O A} + 2 \vec{O B}| = a \sqrt{5}$ và $|2 \vec{O A} - 3 \vec{O B}| = a \sqrt{13} .$

Bài 4.15 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng $\vec{A H} = 2 \vec{O M} .$

b) Chứng minh rằng $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O H} .$

c) Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.

Lời giải:

a) Kẻ đường kính AD.

Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên $\hat{A B D} = \hat{A C D} = 90 °$

Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC

Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH ⊥ AC, CH ⊥ AB

Þ BH /// CD và CH // BD

Þ BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Þ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)

Mà M là trung điểm của BC

Þ M là trung điểm của HD

Mà O là trung điểm của AD

Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD

Þ OM // AH và $A H = 2. O M$ (tính chất đường trung bình)

Do đó hai vectơ $\vec{A H}$ và $\vec{O M}$ có:

+ Cùng phương, cùng hướng

+ Độ dài: $|\vec{A H}| = 2 |\vec{O M}|$

$\Rightarrow \vec{A H} = 2 \vec{O M} .$

Vậy $\vec{A H} = 2 \vec{O M} .$

b) Vì M là trung điểm của BC nên $\vec{O B} + \vec{O C} = 2 \vec{O M}$

Mà $\vec{A H} = 2 \vec{O M}$ (câu a)

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Vậy $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O H} .$

c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 3 \vec{O G} .$

Mà $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{O H}$ (câu b)

Suy ra $\vec{O H} = 3 \vec{O G}$

Khi đó $\vec{O H}$ và $\vec{O G}$ cùng phương, cùng hướng

Þ O, H, G thẳng hàng.

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

Bài 4.16 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm O bất kì đều có

$\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 4 \vec{O I} .$

Lời giải:

Với điểm O bất kì ta có:

+) $\vec{O A} + \vec{O B} = 2 \vec{O M}$ (do M là trung điểm của AB)

+) $\vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{O N}$ (do N là trung điểm của CD)

+) $\vec{O M} + \vec{O N} = 2 \vec{O I}$ (do I là trung điểm của MN)

Þ $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 2 \vec{O M} + 2 \vec{O N}$

$= 2 (\vec{O M} + \vec{O N}) = 2.2 \vec{O I} = 4 \vec{O I}$

Vậy với điểm O bất kì đều có: $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = 4 \vec{O I} .$

Bài 4.17 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Lời giải:

+) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Þ MN // AC và $M N = \frac{1}{2} A C$ (tính chất đường trung bình)

Do đó $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{A C}$ (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có: $\vec{P Q} = \frac{1}{2} \vec{C E}$ (2)

Và $\vec{R S} = \frac{1}{2} \vec{E A}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R S} = \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{C E} + \frac{1}{2} \vec{E A}$

$= \frac{1}{2} (\vec{A C} + \vec{C E} + \vec{E A})$

$= \frac{1}{2} (\vec{A E} + \vec{E A})$ (quy tắc ba điểm)

$= \frac{1}{2} \vec{AA}$ (quy tắc ba điểm)

$= \frac{1}{2} . \vec{0} = \vec{0}$

Do đó $\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R S} = \vec{0}$

+) Giả sử G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và tam giác NQS.

Khi đó ta có: $\vec{M G} + \vec{P G} + \vec{R G} = \vec{0}$ và $\vec{N G^{‘}} + \vec{Q G^{‘}} + \vec{S G^{‘}} = \vec{0}$ hay $\vec{G^{‘} N} + \vec{G^{‘} Q} + \vec{G^{‘} S} = \vec{0}$

Mặt khác: theo quy tắc ba điểm ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

$\Rightarrow \vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R S} = \vec{M G} + \vec{P G} + \vec{R G} + 3. \vec{G G^{‘}} + \vec{G^{‘} N} + \vec{G^{‘} Q} + \vec{G^{‘} S}$

$= (\vec{M G} + \vec{P G} + \vec{R G}) + 3. \vec{G G^{‘}} + (\vec{G^{‘} N} + \vec{G^{‘} Q} + \vec{G^{‘} S})$

$= \vec{0} + 3. \vec{G G^{‘}} + \vec{0}$

$= 3. \vec{G G^{‘}}$

+) Lại có $\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R S} = \vec{0}$ (chứng minh trên)

Nên $3 \vec{G G^{‘}} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{G G^{‘}} = \vec{0}$

Suy ra G và G’ trùng nhau.

Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Bài 4.18 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.

Chứng minh rằng $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O} .$

Lời giải:

Qua M, kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.

Tam giác ABC đều nên $\hat{A B C} = \hat{A C B} = 60 °$

Mà PQ // AB nên $\hat{M Q K} = \hat{A B C} = 60 °,$

HK // AC nên $\hat{M K Q} = \hat{A C B} = 60 °$

Tam giác MQK có: $\hat{M Q K} = \hat{M K Q} = 60 °$ nên là tam giác đều.

Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của QK

$\Rightarrow \vec{M Q} + \vec{M K} = 2 \vec{M D}$ (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) $\vec{M H} + \vec{M I} = 2 \vec{M F}$ (2)

+) $\vec{M P} + \vec{M J} = 2 \vec{M E}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\vec{M Q} + \vec{M K} + \vec{M H} + \vec{M I} + \vec{M P} + \vec{M J} = 2 \vec{M D} + 2 \vec{M F} + 2 \vec{M E}$

$\Rightarrow 2 (\vec{M D} + \vec{M F} + \vec{M E}) = (\vec{M Q} + \vec{M I})$ $+ (\vec{M K} + \vec{M J}) + (\vec{M H} + \vec{M P})$

Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành

$\Rightarrow \vec{M I} + \vec{M Q} = \vec{M B}$

Tương tự ta có $\vec{M K} + \vec{M J} = \vec{M C}; \vec{M H} + \vec{M P} = \vec{M A}$

Khi đó

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên $\vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M A} = 3 \vec{M O}$

$\Rightarrow \vec{M D} + \vec{M F} + \vec{M E} = \frac{1}{2} .3 \vec{M O} = \frac{3}{2} \vec{M O} .$

Vậy $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O} .$

Bài 4.19 trang 54 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm M sao cho $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} .$

b) Xác định điểm N thoả mãn $4 \vec{N A} - 2 \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0} .$

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của AB.

Khi đó: $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$

$\Rightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} =$ $2 \vec{M I} + 2 \vec{M C} = 2 (\vec{M I} + \vec{M C})$

Gọi K là trung điểm của IC, khi đó: $\vec{M I} + \vec{M C} = 2 \vec{M K}$

$\Rightarrow \vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = 2.2 \vec{M K} = 4 \vec{M K} .$

Mà $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} .$

Do đó $4 \vec{M K} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{M K} = \vec{0}$

Suy ra M ≡ K.

Vậy M là trung điểm của IC (với I là trung điểm của AB).

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm của AC, khi đó

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Giả sử P là điểm thỏa mãn $\vec{P A} + 2. \vec{P H} = \vec{0}$

Khi đó

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Mà $4 \vec{N A} - 2 \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0} .$

Nên

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi Q là điểm nằm trên cạnh AB sao cho $\vec{A Q} = \frac{2}{3} \vec{A B}$

$\Rightarrow \vec{N P} = \vec{A Q}$

Do đó tứ giác AQPN là hình bình hành

Vậy điểm N cần tìm là đỉnh của hình bình hành AQPN (với Q thỏa mãn $\vec{A Q} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ và P thỏa mãn $\vec{P A} + 2. \vec{P H} = \vec{0}$ , H là trung điểm của AC).

Giải SBT Toán 10 trang 55 Tập 1

Bài 4.20 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm K thoả mãn $\vec{K A} + 2 \vec{K B} + 3 \vec{K C} = \vec{0} .$

b) Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn $|\vec{M A} + \vec{2 M B} + 3 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M C}| .$

Lời giải:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của AC, H là trung điểm của BC.

Khi đó $\vec{K A} + \vec{K C} = 2 \vec{K I}$ và $\vec{K B} + \vec{K C} = 2 \vec{K H}$

$\Rightarrow \vec{K A} + 2 \vec{K B} + 3 \vec{K C}$ $= (\vec{K A} + \vec{K C}) + 2 (\vec{K B} + \vec{K C})$

$= 2 \vec{K I} + 2.2 \vec{K H}$ $= 2 \vec{K I} + 4 \vec{K H}$

Mà $\vec{K A} + 2 \vec{K B} + 3 \vec{K C} = \vec{0} .$

Nên

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Khi đó $\vec{K I}$ và $\vec{K H}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng và $|\vec{K I}| = 2 |\vec{K H}|$

Do đó điểm K nằm giữa hai điểm I và H sao cho KI = 2KH.

Vậy ta có điểm K thỏa mãn $\vec{K A} + 2 \vec{K B} + 3 \vec{K C} = \vec{0}$ như hình vẽ.

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Chứng minh tương tự câu a ta có:

Sách bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số - Kết nối tri thức (ảnh 1)

Mà $2 \vec{K I} + 4 \vec{K H} = \vec{0}$ (câu a)

Nên $\vec{M A} + \vec{2 M B} + 3 \vec{M C} = 6 \vec{M K}$

Lại có: $\vec{M B} - \vec{M C} = \vec{C B}$

Do đó $|\vec{M A} + \vec{2 M B} + 3 \vec{M C}| = |\vec{M B} - \vec{M C}| .$

$\Leftrightarrow |6 \vec{M K}| = |\vec{C B}|$

Û 6MK = CB

$\Leftrightarrow K M = \frac{B C}{6}$

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm K, bán kính bằng $\frac{B C}{6}$ như hình vẽ.

Bài 4.21 trang 55 SBT Toán 10 Tập 1: Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng. Tìm mối liên hệ giữa trọng lực $\vec{P}$ của vật và lực đẩy Archimedes $\vec{F}$ mà chất lỏng tác động lên vật. Tính tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng.

Lời giải:

Trọng lực $\vec{P}$ của vật và lực đẩy Archimedes $\vec{F}$ mà chất lỏng tác động lên vật được mô tả như hình vẽ trên.

Do vật ở trạng thái cân bằng nên hai lực $\vec{P}$ và $\vec{F}$ ngược hướng nhau và có cường độ bằng nhau.

$\Rightarrow |\vec{P}| = |\vec{F}|$

Gọi d và d’ là trọng lượng riêng của vật và chất lỏng;

V là thể tích của vật

Khi thả vật vào cốc chất lỏng thì ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng nên thể tích chất lỏng bị chiếm chỗ là $\frac{V}{2} .$

Khi đó trọng lượng của vật là: P = d.V

Và lực đẩy Archimedes mà chất lỏng tác động lên vật là: $F_{A} = d^{‘} . \frac{V}{2} .$

Do đó

$|\vec{P}| = |\vec{F}| \Leftrightarrow d . V = d^{‘} . \frac{V}{2} \Leftrightarrow d = \frac{d^{‘}}{2} \Leftrightarrow \frac{d}{d^{‘}} = \frac{1}{2} .$

Vậy tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng bằng $\frac{1}{2}$

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy