30 câu Trắc nghiệm Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Kết nối tri thức 2023) có đáp án – Toán lớp 10

Trắc nghiệm Toán 10 Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

I. Nhận biết

Câu 1. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}2x+3y-1>0\\ 5x-y+4<0\end{array}\right.$

Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

A. Điểm A(– 1; 4) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

B. Điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

C. Điểm C(– 2; 4) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

D. Điểm D(– 3; 4) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Xét đáp án A: 2.(– 1) + 3.4 – 1 > 0 thoả mãn, 5.(–  1) – 4 + 4 < 0 thoả mãn, vậy điểm A thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Khẳng định A đúng.

Xét đáp án B: 2.0 + 3.0 – 1 < 0 không thoả mãn bất phương trình 2x + 3y – 1 > 0, vậy điểm B(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Khẳng định B sai.

Xét đáp án C: 2.(– 2) + 3.4 – 1 > 0 thoả mãn, 5.(– 2) – 4 + 4 < 0 thoả mãn, vậy điểm C thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Khẳng định C đúng.

Xét đáp án D: 2.(– 3) + 3.4 – 1 > 0 thoả mãn, 5.(– 3) – 4 + 4 < 0 thoả mãn, vậy điểm D thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Khẳng định D đúng.

Câu 2. Cho hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x-y-1\ge 0\\ -x-y\le 4\end{array}\right.$.

Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. Điểm A(2; 1) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

B. Điểm O(- 1; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

C. Điểm C(1; 3) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

D. Điểm D(- 3; – 4) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Xét đáp án A: 3.2 – 1 – 1 = 4 > 0 thoả mãn, – 2 – 1 = – 3 ≤ 4 thoả mãn, Vậy điểm A(2; 1) thuộc miền nghiệm của hệ phương trình. Khẳng định A đúng

Xét đáp án B: 3.(- 1) – 0 – 1 = – 4 < 0 không thoả mãn bất phương trình 3x – y – 1 ≥ 0, vậy điểm B(- 1; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Khẳng định B sai

Xét đáp án C: 3. 1 – 3 – 1 = – 1 < 0 không thoả mãn bất phương trình 3x – y – 1 ≥ 0, vậy điểm C(1; 3) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Khẳng định C sai

Xét đáp án D: – (- 3) – (- 4) = 7 > 4 không thoả mãn bất phương trình – x – y ≤ 4  vậy điểm D(- 3; – 4) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Khẳng định D sai.

Câu 3. Bất phương trình x – 2(y – 2x – 1) > 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây?

A. 3x – y – 2 > 0;

B. 5x – 2y + 2 > 0;

C. 5x – 2y + 1 > 0;

D. 3x – 2y – 2 > 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

x – 2(y – 2x – 1) > 0 $\iff$ x – 2y + 4x + 2 > 0 $\iff$5x – 2y + 2 > 0

Vậy đáp án đúng là B

Câu 4. Hệ bất phương trình sau đây hệ nào là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

A. $\left\{\begin{array}{l}x\ge 3^2\\ y<0\\ 2x-3y>2x-3\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-y>2\\ -x-3y\le 0\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x-2y^2>3\\ x>0\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x+y-z>3\\ 2x+1\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Xét đáp án A: $\left\{\begin{array}{l}x\ge 3^2\\ y<0\\ 2x-3y>2x-3\end{array}\right.$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Xét đáp án B: $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-y>2\\ -x-3y\le 0\end{array}\right.$ không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa x²;

Xét đáp án C: $\left\{\begin{array}{l}x-2y^2>3\\ x>0\end{array}\right.$ không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa y²;

Xét đáp án D: $\left\{\begin{array}{l}x+y-z>3\\ 2x+1\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$ không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có 3 ẩn

Câu 5. Cho hệ bất phương trình$\left\{\begin{array}{c}x+3y-1>0\\ x-y+4\le 0\end{array}\right.$

Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?

A. Điểm A(- 1; 4) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

B. Điểm O(0; 5) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

C. Điểm C(2; 3) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

D. Điểm D(- 3; 4) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Xét đáp án A: – 1 + 3.4 – 1 = 10 > 0 thoả mãn, – 1 – 4 + 4 = – 1 < 0 thoả mãn, vậy điểm A thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Khẳng định A đúng

Xét đáp án B: 0 + 3.2 – 1 = 5 > 0 thoả mãn, 0 – 4 + 4 = 0 thoả mãn, vậy điểm B(0; 4) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Khẳng định B đúng

Xét đáp án C: 2 + 3.3 – 1 = 10 > 0 thoả mãn,  2 – 3 + 4 = 3 > 0 không thoả mãn bất phương trình x – y + 4 ≤ 0 vậy điểm C không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Khẳng định C sai

Xét đáp án D: – 3 + 3.4 – 1 = 8 > 0 thoả mãn, – 3 – 4 + 4 =  – 3 < 0 thoả mãn, vậy điểm D (- 3; 4) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Khẳng định D đúng

Câu 6. Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình x  + 2y < 4

A. (– 2; 1);

B. (3; – 7);

C. (0; 5);

D. (0; 0).

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Xét đáp án A:  – 2 + 2.1 = 0 < 4, đáp án A đúng.

Xét đáp án B: 3 + 2.(– 7) = – 11 < 4, đáp án B đúng.

Xét đáp án C: 0 + 2.5 = 10 > 4, đáp án C sai.

Xét đáp án D: 0 + 2.0 = 0 < 4, đáp án D đúng.

Câu 7. Trong các điểm sau đây, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+3y-2>0\\ 2x+y+1\le 0\end{array}\right.$

A. (0; 0);

B. (– 1; 2);

C. (1; – 3);

D. (3; 4).

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Xét đáp A: Ta có 2.0 + 3.0 – 2 = – 2 < 0 không thoả mãn bất phương trình 2x – 3y – 2 > 0 nên (0 ; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Xét đáp án B: Ta có 2.(- 1) + 2 + 1 = 1 > 0  không thoả mãn bất phương trình 2x + y + 1 ≤ 0 nên (- 1 ; 2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình

Xét đáp án C: Ta có 2.1 + 3.(- 3) – 2 = – 9 < 0 không thoả mãn bất phương trình 2x – 3y – 2 > 0 nên (1 ; – 3) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình

Xét đáp án D: Ta có 2.3 + 3.4 – 2 = 16 > 0 thoả mãn, 2.3 + 4 + 1 = 11 > 0 thoả mãn nên (3 ; 4) thuộc miền nghiệm của bất phương trình

Vậy đáp án đúng là D

Câu 8. Trong các hệ sau đây hệ nào không phải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

A.  $\left\{\begin{array}{l}x+2y>3\\ -4x\le 0\end{array}\right.$;

B.  $\left\{\begin{array}{l}{x}^3+2y\le 3\\ -4x\le 0\end{array}\right.$;

C.  $\left\{\begin{array}{l}-2x+2y>0\\ x-2y\le 0\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 5x+y<0\\ y+2\ge 0\end{array}\right.$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án A, C, D là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Đáp án B không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có bất phương trình x³ + 2y ≤ 3 là bất phương trình bậc 3.

Vậy đáp án đúng là B.

Câu 9. Bất phương trình nào say đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn

A. 3x – 2y = 4;

B. x – 2y² < 3;

C. x – y + 1 ≥ 2x – 1;

D. 2x + y⁴ – 3 < 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Xét đáp án A: 3x – 2y = 4 là phương trình bậc nhất hai ẩn nên không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Xét đáp án B: x – 2y² < 3 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa y².

Xét đáp án C: x – y + 1 ≥ 2x – 1 $\iff$ – x – y + 2 ≥ 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Xét đáp án D: 2x + y⁴ – 3 < 0 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa y⁴.

Câu 10. Điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

A. $\left\{\begin{array}{l}5x-7y-1>0\\ x+y+2>0\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}5x+7y-3>0\\ 2x+y+4<0\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x+3y-6<0\\ x-3y+4>0\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x+3y-2<0\\ x+y+1<0\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Thay điểm O(0; 0) vào từng đáp án ta có :

Đáp án A sai vì 5.0 – 7.0 – 1 < 0 không thỏa mãn bất phương trình 5x – 7y – 1 > 0.

Đáp án B sai vì 5.0 + 7.0 – 3 < 0 không thỏa mãn bất phương trình 5x + 7y – 3 > 0.

Đáp án D sai vì 0 + 0 + 1 > 0 không thỏa mãn bất phương trình x + y + 1 < 0.

Đáp án C 0 + 3.0 – 6 < 0 thỏa mãn, 0 – 3.0 + 4 > 0 thỏa mãn

Vậy đáp án đúng là C

II. Thông hiểu

Câu 1. Miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2(y + 3) ≥ 4(x + 1) – y + 3 là phần không bị gạch của hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau (kể cả bờ)?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có: 3x + 2(y + 3) > 4(x + 1) – y + 3 $\iff$ 3x + 2y + 6 > 4x + 4 – y + 3

$\iff$– x + 3y > 1

Xét đường thẳng – x + 3y – 1 = 0 đi qua 2 điểm A(– 1; 0) và B$\left(0;\frac{1}{3}\right)$. Lấy điểm O(0; 0) ta có: – 0 + 3.0 = 0 < 1. Vậy miền nghiệm của bất phương trình – x + 3y > 1 là phần không bị gạch ở đáp án A.

Câu 2. Miền nghiệm của bất phương trình 4(x – 1) + 5(y – 3) > 2x – 9 là nửa mặt phẳng không chứa điểm nào sau đây

A. (0; 3);

B. (1; 2);

C. (- 1; 1);

D. (2; 5)

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: 4(x – 1) + 5(y – 3) > 2x – 9 $\iff$ 4x – 4 + 5y – 15 > 2x – 9 $\iff$ 2x + 5y > 10.

Xét điểm (0; 3), có: 2.0 + 5.3 = 15 > 10 thoả mãn bất phương trình 2x + 5y > 10, vậy điểm (0; 3) thuộc miền nghiệm của bất phương trình, đáp án A sai.

Xét điểm (1; 2), có: 2.1 + 5.2 = 12 > 10 thoả mãn bất phương trình 2x + 5y > 10, vậy điểm (1; 2) thuộc miền nghiệm của bất phương trình, đáp án B sai.

Xét điểm (–1; 1), có: 2.(– 1) + 5.1 = 3 < 10 không thoả mãn bất phương trình 2x + 5y > 10, vậy điểm (–1; 1) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình, đáp án C đúng.

Xét điểm (2; 5), có:  2.2 + 5.5 = 29 > 10 thoả mãn bất phương trình 2x + 5y > 10, vậy điểm (2; 5) thuộc miền nghiệm của bất phương trình, đáp án D sai.

Câu 3. Phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây (kể cả đường thẳng d) biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình.

A. – 2x + y ≥ 0;

B. 2x + y ≥ 0;

C. – 2x – y ≥ 1;

D. x + 2y ≥ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Giả sử đường thẳng (d) chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng có dạng:

y = ax + b. Dễ dàng nhận thấy đường thẳng (d) đi qua hai điểm có tọa độ là (0; 0) và (1; 2). Ta có hệ phương trình:

 $\left\{\begin{array}{l}0=a.0+b\\ 2=a.1+b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=0\end{array}\right.$$\Rightarrow$y = 2x.

Suy ra đường thẳng có phương trình – 2x + y = 0.

Xét điểm A(0; 2) thuộc vào phần tô màu thay vào phương trình đường thẳng ta được: – 2.0 + 2 = 2 > 0.

Vì điểm A(0; 2) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy phần tô đậm biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình – 2x + y ≥ 0 (kể cả đường thẳng d).

Câu 4. Cho hệ $\left\{\begin{array}{l}2x+3y<4\left(1\right)\\ x+\frac{3}{2}y<4\left(2\right)\end{array}\right.$. Gọi S₁ là tập nghiệm của bất phương trình (1), S₂ là tập nghiệm của bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì

A. $S_1\subset S_2$;

B. $S_2\subset S_1$;

C. S₂ = S;

D. S₁ ≠ S.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

(d₁): 2x + 3y = 4 đường thẳng d₁ đi qua hai điểm $\left(0;\frac{4}{3}\right)$ và (2; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 3.0 = 0 < 4, thoả mãn bất phương trình 2x + 3y < 4. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₁)

Vẽ đường thẳng (d₂): $x+\frac{3}{2}y=4$ đường thẳng d₂ đi qua hai điểm $\left(0;\frac{8}{3}\right)$ và (4;0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có $0+\frac{3}{2}.0=0<4$, thoả mãn bất phương trình $x+\frac{3}{2}y<4$. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₂).

Miền nghiệm được biểu diễn trong hình dưới đây

Từ đồ thị biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta có $S_1\subset S_2$; S₁ = S; S₂ $\ne$S. Vậy $S_1\subset S_2$.

Câu 5. Anh Trung có kế hoạch đầu tư 400 triệu đồng vào hai khoản X và Y. Để đạt được lợi nhuận thì khoản X phải đầu tư ít nhất 100 triệu đồng và số tiền đầu tư cho khoản Y không nhỏ hơn số tiền cho khoản X. Viết hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để mô tả hai khoản đầu tư đó.

A. $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 400\\ x\ge 100\\ x-y\le 0\end{array}\right.$.

B. $\left\{\begin{array}{l}x+y>400\\ x<100\\ x-y\le 0\end{array}\right.$.

C. $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge 400\\ x\ge 100\\ x-y\le 0\end{array}\right.$.

D. $\left\{\begin{array}{l}x+y\ge 400\\ x\ge 100\\ x-y\ge 0\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Gọi x (triệu đồng) là số tiền anh Trung đầu tư vào khoản X và y (triệu đồng) là số tiền anh Trung đầu tư vào khoản Y (x, y ≥ 0).

Vì anh Trung đầu tư 400 triệu đồng vào hai khoản X và Y nên ta có x + y ≤ 400.

Để đạt được lợi nhuận thì khoản X phải đầu tư ít nhất 100 triệu đồng nên ta có x ≥ 100 và số tiền đầu tư cho khoản Y không nhỏ hơn số tiền cho X nên ta cũng có y ≥ x hay x – y ≤ 0.

Từ đó ta có hệ bất phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 400\\ x\ge 100\\ x-y\le 0\end{array}\right.$.

Câu 6. Cặp số (2; – 3) không là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. –3x + 2y + 1 < 0;

B. 2x – y – 3 > 0;

C. x – 2y + 1 ≤ 0;

D. 4x – 2y – 14 ≥ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Xét đáp án A: – 3.2 – 2.(– 3) + 1 = – 11 < 0 Vậy cặp số (2 ; – 3) là nghiệm của bất phương trình.

Xét đáp án B: 2.2 – (– 3) – 3 = 7 > 0 Vậy cặp số (2 ; – 3) là nghiệm của bất phương trình.

Xét đáp án C: 2 – 2(– 3) + 1 = 9 > 0 Vậy cặp số (2 ; – 3) không là nghiệm của bất phương trình.

Xét đáp án D: 4.2 – 2.(– 3) – 14 = 0 Vậy cặp số (2 ; –3) là nghiệm của bất phương trình.

Câu 7. Nửa mặt phẳng là miền nghiệm của bất phương trình – x + 2 + 2(y – 2) < 2(1 – x) chứa điểm nào trong các điểm sau:

A. (0; 3);

B. (2; 1);     

C. (4; 2);

D. (1; – 1).

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có: – x + 2 + 2(y – 2) < 2(1 – x) $\iff$ – x + 2 + 2y – 4 < 2 – 2x $\iff$ x + 2y < 4.

Xét điểm (0; 3), có: 0 + 2.3 = 6 > 4, không thoả mãn bất phương trình x + 2y < 4, vậy điểm (0; 3) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình, đáp án A sai.

Xét điểm (2; 1), có: 2 + 2.1 = 4, không thoả mãn bất phương trình x + 2y < 4, vậy điểm (2; 1) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình, đáp án B sai.

Xét điểm (4; 2), có: 4 + 2.2 = 8 > 4, không thoả mãn bất phương trình x + 2y < 4, vậy điểm (4; 2) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình, đáp án C sai.

Xét điểm (1; – 1), có: 1 + 2.( – 1) = – 1 < 4, thoả mãn bất phương trình x + 2y < 4, vậy điểm (1; – 1) thuộc miền nghiệm của bất phương trình, đáp án D đúng.

Câu 8. Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ phương trình sau:

A. $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le -2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\le 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le -5\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Vẽ đường thẳng d₁: y – 2x = 2, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; 2) và (– 1; 0).

Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có  0 – 2.0 =  0 < 2.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₁ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₂: 2y – x = 4, đường thẳng d₂ qua hai điểm (0; 2) và (– 4; 0).

Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có  2.0 – 0 = 0 < 4 không thoả mãn bất phương trình 2y – x ≥ 4.

Do đó điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₂ không chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₃: x + y = 5, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; 5) và (5; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 = 0 < 5, thoả mãn bất phương trình x + y ≤ 5.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₃ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Miền nghiệm là phần không gạch chéo như hình vẽ.

Là miền nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$.

 

Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để cặp số (– 2m; 1) là nghiệm của bất phương trình 2x – y – 3 > 0?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Vì cặp số (– 2m; 1) là nghiệm của bất phương trình 2x – y – 3 > 0, nên ta có:

2.( – 2m) – 1 – 3 = – 4m – 4 > 0 ⇔ m < – 1

Mà m là số nguyên dương nên không tồn tại giá trị của m thỏa mãn điều kiện của phương trình.

Câu 10. Miền nghiệm của bất phương trình 3(x – 1) + 4(y – 2) < 5x – 3 là phần không bị gạch của hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau (không kể bờ)?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: 3(x – 1) + 4(y – 2) < 5x – 3 $\iff$ 3x – 3 + 4y – 8 < 5x – 3 $\iff$ – 2x + 4y < 8

Xét đường thẳng – 2x + 4y – 8 = 0 đi qua 2 điểm A(– 4; 0) và B(0; 2). Lấy điểm O(0; 0) ta có: – 2.0 + 4.0 = 0 < 8. Vậy miền nghiệm của bất phương trình – 2x + 4y < 8 là phần không bị gạch ở đáp án C.

Câu 11. Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ phương trình sau

A. $\left\{\begin{array}{l}y>0\\ 3x+2y<6\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}y>0\\ 3x+2y<-6\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ 3x+2y<6\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x>0\\ 3x+2y>-6\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: B

Giải thích:

Giả sử đường thẳng d₁ có phương trình d₁: y = ax + b

Dễ thấy đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; – 3) và (– 2; 0). Ta có hệ

 $\left\{\begin{array}{l}-3=a.0+b\\ 0=a.(-)2+b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{2}\\ b=-3\end{array}\right.$.

Vậy phương trình đường thẳng d: y = $-\frac{3}{2}$x – 3 $\iff$ 3x +  2y = – 6

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 3.0 + 2.0 = 0 > – 6. Mà  điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy bất phương trình có dạng 3x + 2y < – 6.

Miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía trên trục hoành: y > 0

Vậy phần không bị gạch trong hình vẽ biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}y>0\\ 3x+2y<-6\end{array}\right.$.

Câu 12. Cho hệ $\left\{\begin{array}{l}2x+y>2\left(1\right)\\ x+\frac{1}{2}y<1\left(2\right)\end{array}\right.$. Gọi S₁ là tập nghiệm của bất phương trình (1), S₂ là tập nghiệm của bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì:

A. $S_1\subset S_2$;

B. $S_2\subset S_1$;

C. S₂ = S₁ = S;

D. $S_1\cap S_2=\varnothing$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

(d₁): 2x + y = 2 đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; 2) và (1; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 0 = 0 < 2, không thoả mãn bất phương trình 2x + y > 2. Vậy O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm O và không kể đường thẳng d₁ được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch chéo (không kể biên) của (d₁)

Vẽ đường thẳng (d₂): $x+\frac{1}{2}y=1$ đường thẳng d₂ đi qua hai điểm (0; 2) và (1; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có $0+\frac{1}{2}.0=0<1$, thoả mãn bất phương trình $x+\frac{1}{2}y<1$. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng chứa điểm O và không kể đường thẳng d₂ được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch chéo(không kể biên) của (d₂).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình được biểu diễn trong hình dưới đây

Từ đồ thị biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta có d₁ trùng d₂ mà miền nghiệm của (1) được chia bởi d₁ và nửa mặt phẳng không chứa O(0; 0) (không kể d₁) ; miền nghiệm của (2) được chia bởi  d₂ và nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) (không kể d₂). Vậy $S_1\cap S_2=\varnothing$.

Câu 13. Miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là phần tô đậm của hình vẽ nào, trong các hình vẽ sau (kể cả bờ)?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Xét đường thẳng x + y – 2 = 0 đi qua 2 điểm A(2; 0) và B(0; 2). Lấy điểm O(0; 0) ta có: 0 + 0 = 0 < 2. Vậy miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 2 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x + y – 2 = 0 và có chứa điểm O cũng chính là phần tô đậm ở đáp án A.

Câu 14. Phần không bị gạch trong hình vẽ nào trong các hình sau biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}0\le y\le 4\\ x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}\right.$

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Vẽ đường thẳng d₁: x – y – 1 = 0, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; – 1) và (1; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 0 – 1 =  – 1 < 0. Thoả mãn bất phương trình x – y – 1 ≤ 0. Vậy O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₁ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₂: x + 2y – 10 = 0, đường thẳng d₂ qua hai điểm (0; 5) và (10; 0).

Xét điểm O(0; 0)  thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 2.0 – 10 = – 10 < 0. Thoả mãn bất phương trình x + 2y – 10 ≤ 0. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₂ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₃: y = 4.

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 < 4. Thoả mãn bất phương trình 0 ≤ y ≤ 4. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₃ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

x$\ge$0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

y$\ge$0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía trên trục hoành (kể cả trục hoành).

Miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ.

Câu 15. Phần không bị gạch trong hình vẽ nào trong các hình sau biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}2x-5y-1<0\\ 2x+y+5>0\\ x+y+1<0\end{array}\right.$

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

III. Vận dụng

Câu 1. Giá trị lớn nhất của biết thức F(x; y) = x – 2y với điều kiện $\left\{\begin{array}{c}0\le y\le 4\\ x\ge 0\\ x-y-1\le 0\\ x+2y-10\le 0\end{array}\right.$ là

A. – 6;

B. 2;

C. 1;

D. 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Vẽ đường thẳng d₁: x – y – 1 = 0, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; – 1) và (1; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 0 – 1=  – 1 < 0. Thoả mãn bất phương trình x – y – 1 ≤ 0. Do đó O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₁ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₂: x + 2y – 10 = 0, đường thẳng d₂ qua hai điểm (0; 5) và (10; 0).

Xét điểm O(0; 0)  thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 2.0 – 10 = – 10 < 0. Thoả mãn bất phương trình x + 2y – 10 ≤ 0. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₂ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₃: y = 4.

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 < 4. Thoả mãn bất phương trình 0 ≤ y ≤ 4. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d₃ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

x$\ge$0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

y$\ge$0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm phía trên trục hoành (kể cả trục hoành).

Miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ.

Miền nghiệm là ngũ giác ABCOE với A(4; 3), B(2; 4), C(0; 4), O(0; 0), E(1; 0).

Nhận thấy biểu thức F(x; y) = x – 2y chỉ đạt giá trị lớn nhất tại các điểm A, B, C, O; E.

F(x; y) = x – 2y suy ra F(4; 3)  = 4 – 2.3 = – 2;

F(x; y) = x – 2y suy ra F(0; 4) = 0 – 2.4 = – 8;

F(x; y) = x – 2y suy ra F(2; 4) = 2 – 2.4 = – 6;

F(x; y) = x – 2y suy ra F(1; 0) = 1 – 2.0 = 1;

F(x; y) = x – 2y suy ra F(0; 0) = 0 – 2.0 = 0.

Vậy giá trị lớn nhất của biết thức F(x; y) = x + 2y bằng 1.

Câu 2. Có bao nhiêu giá trị của m để phần nửa mặt phẳng không bị gạch (không kể đường thẳng d) ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình (m² – 3m + 2)x – y < – 2.

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án: C

Giải thích:

Giả sử đường thẳng (d) chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng có dạng:

y = ax + b. Dễ dàng nhận thấy đường thẳng (d) đi qua hai điểm có tọa độ là (1; 0) và (0; 2). Ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}0=a+b\\ 2=a.0+b\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=2\end{array}\right.$$\Rightarrow$y = – 2x + 2

Vậy đường thẳng có phương trình  2x + y = 2.

Xét điểm O(0; 0), ta có: 2.0 + 0 = 0 < 2.

Vì O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy phần nửa mặt phẳng không bị gạch biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình  2x + y > 2 $\iff$– 2x – y < – 2

Suy ra: m² – 3m + 2 = – 2 ⇔ m² – 3m + 4 = 0 có ∆ = (– 3)² – 4.4 = – 7 < 0. Do đó phương trình vô nghiệm.

Vậy không có giá trị của m thoả mãn

Câu 3. Giá trị lớn nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + y trên miền xác định bởi hệ: $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$là:

A. max F(x; y) = 1 khi x = 2, y = – 3;

B. max F(x; y) = 2 khi x = 0, y = 2;

C. max F(x; y) = 6 khi x = 1, y = 4;

D. max F(x; y) = 7 khi x = 2, y = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Ta tìm miền nghiệm xác định bởi hệ $\left\{\begin{array}{c}y-2x\le 2\\ 2y-x\ge 4\\ x+y\le 5\end{array}\right.$

Vẽ đường thẳng d₁: y – 2x = 2, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; 2) và (– 1; 0).

Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có  0 – 2.0 =  0 < 2.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₁ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₁ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₂: 2y – x = 4, đường thẳng d₂ qua hai điểm (0; 2) và (– 4; 0).

Ta xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có  2.0 – 0 = 0 < 4 không thoả mãn bất phương trình 2y – x ≥ 4.

Do đó điểm O(0; 0) không thuộc nềm nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₂ không chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Vẽ đường thẳng d₃: x + y = 5, đường thẳng d₁ qua hai điểm (0; 5) và (5; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 = 0 < 5, thoả mãn bất phương trình x + y ≤ 5.

Do đó điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy miền nghiệm D₃ là nửa mặt phẳng được chia bởi đường thẳng d₃ chứa gốc tọa độ O kể cả bờ.

Miền nghiệm là phần không gạch chéo như hình vẽ.

Miền nghiệm là tam giác ABC với A(1; 4), B(0; 2), C(2; 3).

Ta tính giá trị của F(x; y) = 2x + y tại các giao điểm:

Tính F(x; y) = 2x + y suy ra F(1; 4) = 2.1 + 4 = 6.

Tính F(x; y) = 2x + y suy ra F(0; 2) = 2.0 + 2 = 2.

Tính F(x; y) = 2x + y suy ra F(2; 3) = 2.2 + 3 = 7.

Vậy max F(x; y) = 7 khi x = 2, y = 3.

Câu 4. Phần nửa mặt phẳng không bị gạch (không kể đường thẳng d) ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình ax + by > c. Tính giá trị của biểu thức P = a² + b² – 2c ?

A. P = 3;

B. P = 5;

C. P = 7;

D. P = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: A

Giải thích:

Giả sử đường thẳng (d) chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng có dạng:

y = a’x + b’. Dễ dàng nhận thấy đường thẳng (d) đi qua hai điểm có tọa độ là $\left(\frac{1}{2};0\right)$ và (0; 1). Ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}0=\frac{1}{2}.a‘+b‘\\ 1=a‘.0+b‘\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a‘=-2\\ b‘=1\end{array}\right.$$\Rightarrow$y = – 2x + 1

Vậy đường thẳng có phương trình  2x + y = 1.

Xét điểm O(0; 0), có: 2.0 + 0 = 0 < 1.

Vì O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Vậy phần nửa mặt phẳng không bị gạch biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2x + y > 1

Suy ra: a = 2; b = 1; c = 1

⇒ P = a² + b² – 2c = 2² + 1² – 2.1 = 3.

Vậy P = 3.

Câu 5.  Một phân xưởng may áo vest và quần âu để chuẩn bị cho dịp cuối năm. Biết may 1 áo vest hết 2m vải và cần 20 giờ; 1 quần âu hết 1,5 m vải và cần 5 giờ. Xí nghiệp được giao sử dụng không quá 900 m vải và số giờ công không vượt quá 6 000 giờ. Theo khảo sát thị trường, số lượng quần bán ra không nhỏ hơn số lượng áo và không vượt quá 2 lần số lượng áo. Khi xuất ra thị trường, 1 chiếc áo lãi 350 nghìn đồng, 1 chiếc quần lãi 100 nghìn đồng. Phân xưởng cần may bao nhiêu áo vest và quần âu để thu được tiền lãi cao nhất (biết thị trường tiêu thụ luôn đón nhận sản phẩm của xí nghiệp).

A. 180 áo vest và 360 quần âu;

B. 250 áo vest và 360 quần âu;

C. 240 áo vest và 240 quần âu;

D. 225 áo vest và 300 quần âu.

Hướng dẫn giải

Đáp án: D

Giải thích:

Gọi số lượng áo bán ra là x (cái) (x ∈ ℕ)

Số lượng quần bán ra là y (cái) (y ∈ ℕ).

Số mét vải để may x áo và y quần là: 2x + 1,5y (m).

Vì xí nghiệp được giao sử dụng không quá 900 m vải nên ta có: 2x + 1,5y ≤ 900 (1).

Số giờ để may x áo và y quần là: 20x + 5y (giờ).

Vì số giờ công không vượt quá 6 000 giờ nên ta có: 20x + 5y ≤ 6000 hay 4x + y ≤ 1200 (2).

Theo khảo sát thị trường, ta có:

Số lượng quần bán ra không nhỏ hơn số lượng áo y ≥ x (4)

Số lượng quần không vượt quá 2 lần số lượng áo y ≤ 2x (5)

Từ (1), (2), (3) và (4) nên ta có hệ bất phương trình:$\left\{\begin{array}{l}2x+1,5y\le 900\\ 4x+y\le 1200\\ y\ge x\\ y\le 2x\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+1,5y\le 900\\ 4x+y\le 1200\\ x-y\le 0\\ 2x-y\ge 0\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$

 

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OABC với O(0; 0), A(180; 360), B(200; 250), C(240; 240).

Tiền lãi khi bán x cái áo và y cái quần là 350x + 100y (nghìn đồng).

Đặt T = 350x + 100y.

Ta có biểu thức T = 350x + 100y có giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OABC.

Tính giá trị biểu thức T tại các đỉnh của tứ giác:

Tại O(0; 0), với x = 0  và y = 0  thì T = 350.0 + 100.0 = 0;

Tại A(180; 360), với x = 180 và y = 360 thì T = 350.180 + 100.360 = 99 000;

Tại B(225; 300), với x = 225 và y = 300 thì T = 350.225 + 100.300 = 108 750;

Tại C(240; 240), với x = 240 và y = 240 thì T = 350.240 + 100.240 = 108 000;

Ta được T đạt giá trị lớn nhất bằng 108 750 000 đồng khi x = 225, y = 300.

Vậy để thu được tiền lãi là cao nhất thì phân xưởng cần may 225 cái áo vest, 300 cái quần âu.

Xem thêm các bài trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trắc nghiệm Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Trắc nghiệm Ôn tập cuối chương 2

Trắc nghiệm Bài 5: Giá trị lượng giác của 1 góc từ 0° đến 180°

Trắc nghiệm Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Trắc nghiệm Bài ôn tập cuối chương 3