Sách bài tập Toán 11 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Bài 1 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu:

a) $\sin \alpha =-\frac{4}{5}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2};$

b) $cos\alpha =\frac{11}{61}$ và $0<\alpha <\frac{\pi }{2};$

c) $\tan \alpha =-\frac{15}{8}$ và $-90°<\alpha <90°;$

d) cotα = ‒2,4 và ‒180° < α < 0°.

Lời giải:

a) Ta có ${\text{cos}}^2\alpha =1-{\text{sin}}^2\alpha =1-{\left(-\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}$. Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2};$ nên cosα < 0.

Do đó $\text{cos}\alpha =-\frac{3}{5}.$

Suy ra $\text{tan}\alpha =\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }=\frac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$ và $\text{cot}\alpha =\frac{1}{\text{tan}\alpha }=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}.$

b) Ta có ${\text{sin}}^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{11}{61}\right)}^2={\left(\frac{60}{61}\right)}^2$ Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2};$ nên sinα > 0.

Do đó $\text{sin}\alpha =\frac{60}{61}.$

Suy ra $\text{tan}\alpha =\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\alpha }=\frac{\frac{60}{61}}{\frac{11}{61}}=\frac{60}{11}$ và $\text{cot}\alpha =\frac{1}{\text{tan}\alpha }=\frac{1}{\frac{60}{11}}=\frac{11}{60}.$

c) Ta có $\text{cot}\alpha =\frac{1}{\text{tan}\alpha }=\frac{1}{-\frac{15}{8}}=-\frac{8}{15};\frac{1}{{\text{cos}}^2\alpha }=1+{\text{tan}}^2\alpha =1+{\left(-\frac{15}{8}\right)}^2=\frac{289}{64}$

Suy ra ${\text{cos}}^2\alpha =\frac{64}{289}$. Vì $-90°<\alpha <90°;$ nên $\text{cos}\alpha >0$. Do đó $\text{cos}\alpha =\frac{8}{17}.$

Suy ra $\text{sin}\alpha =\text{tan}\alpha \text{cos}\alpha =-\frac{15}{8}\cdot \frac{8}{17}=-\frac{15}{17}.$

d) $\text{tan}\alpha =-\frac{5}{12},\text{sin}\alpha =-\frac{5}{13},\text{cos}\alpha =\frac{12}{13}$

Ta có $\text{tan}\alpha =\frac{1}{\text{cot}\alpha }=\frac{1}{-\mathrm{2,4}}=-\frac{5}{12};\frac{1}{{\text{sin}}^2\alpha }=1+{\text{cot}}^2\alpha =1+{\left(-\mathrm{2,4}\right)}^2=\frac{676}{100}$

Suy ra ${\text{sin}}^2\alpha =\frac{100}{676}$. Vì ‒180° < α < 0°  nên $\text{sin}\alpha <0$. Do đó $\text{sin}\alpha =-\frac{5}{13}.$

Suy ra $\text{cos}\alpha =\text{cot}\alpha \text{sin}\alpha =-\mathrm{2,4}\cdot \left(-\frac{5}{13}\right)=\frac{12}{13}.$

Bài 2 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến $\frac{\pi }{4}$ (hoặc từ 0° đến 45°).

a) sin(‒1693°);

b) $cos\frac{1003\pi }{3};$

c) tan 885°;

d) $\cot \left(-\frac{53\pi }{10}\right).$

Lời giải:

a) sin(‒1693°) = ‒sin(1693°)

= ‒sin(4.360° + 180° + 73°)

= sin73°

= cos(90° ‒ 73°) = cos17°.

b) $\text{cos}\frac{1003\pi }{3}=\text{cos}\left(334\pi +\frac{\pi }{3}\right)=\text{cos}\frac{\pi }{3}=\text{sin}\frac{\pi }{6}$

c) tan 885° = tan(180.4 + 165°) = tan165° = tan(180° ‒ 15°) = ‒tan15°.

d) $\cot \left(-\frac{53\pi }{10}\right)=-\cot \left(\frac{53\pi }{10}\right)=-\cot \left(\frac{50\pi }{10}+\frac{3\pi }{10}\right)$

$=-\cot \left(5\pi +\frac{3\pi }{10}\right)=-\cot \left(\frac{3\pi }{10}\right)$

$-\cot \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{5}\right)=-\tan \left(\frac{\pi }{5}\right).$

Bài 3 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}.$ Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:

a) cos(α + π);

b) $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right);$

c) $\tan \left(\alpha +\frac{3\pi }{2}\right);$

d) $\cot \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right);$

e) $\cos \left(2\alpha +\frac{\pi }{2}\right);$

g) sin(π ‒ 2α).

Lời giải:

a) cos(α + π) = ‒cosα > 0 vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$

b) $\text{sin}\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\text{cos}\alpha <0$ vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$

c) $\text{tan}\left(\alpha +\frac{3\pi }{2}\right)=-\text{cot}\alpha <0$ vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$

d) $\text{cot}\left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)=-\text{tan}\alpha <0$ vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$

e) $\text{cos}\left(2\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=-\text{sin}2\alpha <0$ vì $2\pi <2\alpha <3\pi$

g) sin (π ‒ 2α) = sin2α > 0 vì $2\pi <2\alpha <3\pi$.

Bài 4 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Biết $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi .$ Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=\frac{3\sin \alpha }{2cos\alpha -\tan \alpha };$

b) $B=\frac{{\cot }^2\alpha -\sin \alpha }{\tan \alpha +2cos\alpha }.$

Lời giải:

Vì $\text{sin}\alpha =\frac{3}{5}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\text{cos}\alpha =-\frac{4}{5},\text{tan}\alpha =-\frac{3}{4}$ và $\text{cot}\alpha =-\frac{4}{3}$.

a) $A=\frac{3\cdot \frac{3}{5}}{2\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)-\left(-\frac{3}{4}\right)}=\frac{\frac{9}{5}}{-\frac{8}{5}+\frac{3}{4}}=\frac{\frac{9}{5}}{-\frac{17}{20}}=-\frac{36}{17}.$

b) $B=\frac{{\left(-\frac{4}{3}\right)}^2-\frac{3}{5}}{-\frac{3}{4}+2\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)}=\frac{\frac{16}{9}-\frac{3}{5}}{-\frac{3}{4}-\frac{8}{5}}=\frac{\frac{53}{45}}{-\frac{47}{20}}=-\frac{212}{423}.$

Bài 5 trang 14 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) sin⁴x + cos⁴x = 1 ‒ 2sin²xcos²x.

b) $\frac{1+\cot x}{1-\cot x}=\frac{\tan x+1}{\tan x-1};$

c) $\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{{\sin }^3\alpha }=\frac{1-{\cot }^4\alpha }{1-\cot \alpha };$

d) $\frac{{\tan }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -1}{{\cot }^2\alpha +{\sin }^2\alpha -1}={\tan }^6\alpha .$

Lời giải:

a)

 ${\text{sin}}^{4}x+{\text{cos}}^{4}x={\left({\text{sin}}^{2}x+{\text{cos}}^{2}x\right)}^2-2{\text{sin}}^{2}x{\text{cos}}^{2}x=1-2{\text{sin}}^{2}x{\text{cos}}^{2}x$;

b) $\frac{1+\text{cot}x}{1-\text{cot}x}=\frac{1+\frac{1}{\text{tan}x}}{1-\frac{1}{\text{tan}x}}=\frac{\frac{\text{tan}x+1}{\text{tan}x}}{\frac{\text{tan}x-1}{\text{tan}x}}=\frac{\text{tan}x+1}{\text{tan}x-1}.$

c)

 $\frac{\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha }{{\text{sin}}^3\alpha }=\frac{1}{{\text{sin}}^2\alpha }+\frac{\text{cos}\alpha }{\text{sin}\alpha }\cdot \frac{1}{{\text{sin}}^2\alpha }=\left(1+{\text{cot}}^2\alpha \right)+\text{cot}\alpha \left(1+{\text{cot}}^2\alpha \right)$

$=\left(1+\text{cot}\alpha \right)\left(1+{\text{cot}}^2\alpha \right)$

$=\frac{\left(1-{\text{cot}}^2\alpha \right)\left(1+{\text{cot}}^2\alpha \right)}{1-\text{cot}\alpha }=\frac{1-{\text{cot}}^4\alpha }{1-\text{cot}\alpha }$

d) $\frac{{\text{tan}}^2\alpha +{\text{cos}}^2\alpha -1}{{\text{cot}}^2\alpha +{\text{sin}}^2\alpha -1}=\frac{{\text{tan}}^2\alpha -{\text{sin}}^2\alpha }{{\text{cot}}^2\alpha -{\text{cos}}^2\alpha }=\frac{\frac{{\text{sin}}^2\alpha }{{\text{cos}}^2\alpha }-{\text{sin}}^2\alpha }{\frac{{\text{cos}}^2\alpha }{{\text{sin}}^2\alpha }-{\text{cos}}^2\alpha }$

$=\frac{{\text{sin}}^2\alpha \left(\frac{1}{{\text{cos}}^2\alpha }-1\right)}{{\text{cos}}^2\alpha \left(\frac{1}{{\text{sin}}^2\alpha }-1\right)}={\text{tan}}^2\alpha \cdot \frac{{\text{tan}}^2\alpha }{{\text{cot}}^2\alpha }={\text{tan}}^6\alpha$

Bài 6 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${\sin }^{2}605°+{\sin }^{2}1645°+{\cot }^{2}25°=\frac{1}{{\cos }^{2}65°};$

b) $\frac{\sin 530°}{1+\sin 640°}=\frac{1}{\sin 10°}+\cot 10°.$

Lời giải:

a) sin605° = sin(3.180° + 65°) = ‒sin65°.

sin1645° = sin(9.180° + 25°) = ‒sin25° = ‒sin(90° ‒ 65°) = ‒cos65°.

cot25° = cot(90° ‒ 65°) = tan65°.

sin²605° + sin²1645° + cot²25°

= (‒sin65°)² + (‒cos65°)² + (tan65°)²

= 1 + tan²65°

$=\frac{1}{{\text{cos}}^2{65}^{\circ }}$

b) sin530° = sin(3.180° ‒ 10°) = sin10°.

sin640° = sin(4.180° ‒ 80°) = ‒sin80° = ‒sin(90° ‒ 10°) = ‒cos10°.

$\frac{\text{sin}530°}{1+\text{sin}640°}=\frac{\text{sin}10°}{1-\text{cos}10°}=\frac{{\text{sin}}^{2}10°}{\text{sin}10°\left(1-\text{cos}10°\right)}$

$=\frac{1-{\text{cos}}^{2}10°}{\text{sin}10°\left(1-\text{cos}10°\right)}=\frac{\left(1+\text{cos}10°\right)\left(1-\text{cos}10°\right)}{\text{sin}10°\left(1-\text{cos}10°\right)}$

$=\frac{1+\text{cos}10°}{\text{sin}10°}=\frac{111}{\text{sin}10°}+\text{cot}10°\text{ .}$

Bài 7 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\cos \left(\alpha +\pi \right)+\sin \left(\alpha +\frac{5\pi }{2}\right)-\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)\tan \left(\pi -\alpha \right).$

b) $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\sin \left(\beta +\pi \right)-\sin \left(2\pi -\alpha \right)\cos \left(\beta -\frac{\pi }{2}\right).$

Lời giải:

a) $\cos \left(\alpha +\pi \right)+\sin \left(\alpha +\frac{5\pi }{2}\right)-\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)\tan \left(\pi -\alpha \right)$

$=-\cos \alpha +\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)-\tan \left[\pi -\left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)\right]\tan \alpha$

$=-\cos \alpha +\sin \left[\pi -\left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)\right]-\tan \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\tan \alpha$

$=-\cos \alpha +\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)-\cot \alpha \tan \alpha$

$=-\cos \alpha +\cos \alpha -1=-1.$

b) $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\sin \left(\beta +\pi \right)-\sin \left(2\pi -\alpha \right)\cos \left(\beta -\frac{\pi }{2}\right)$

$=\sin \alpha \left(-\sin \beta \right)-\sin \left(-\alpha \right)\cos \left(\frac{\pi }{2}-\beta \right)$

$=-\sin \alpha \sin \beta +\sin \alpha \sin \beta =0.$

Bài 8 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) sin 17°sin197° + sin73°cos163°;

b) $\frac{1}{1-\tan 145°}+\frac{1}{1+\tan 55°}.$

Lời giải:

a) Ta có:

sin197° = sin(180° + 17°) = ‒sin17°.

sin73° = sin(90° ‒ 17°) = cos17°.

cos163° = cos(180° ‒ 17°) = ‒cos17°.

Suy ra:

sin 17°sin197° + sin73°cos163°

= sin 17°.(‒sin17°) + cos17°.(‒cos17°)

= ‒(sin²17° + cos²17°) = ‒1.

b) $\frac{1}{1-\text{tan}145°}+\frac{1}{1+\text{tan}55°}$

$=\frac{1}{1+\text{cot}55°}+\frac{1}{1+\text{tan}55°}$

$=\frac{1}{1+\frac{1}{\text{tan}55°}}+\frac{1}{1+\text{tan}55°}$

$=\frac{\text{tan}55°}{1+\text{tan}55°}+\frac{1}{1+\text{tan}55°}$

$=\frac{\text{tan}55°+1}{1+\text{tan}55°}=1$

Bài 9 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: a) Cho tanα + cotα = 2. Tính giá trị của biểu thức tan³α +cot³α.

b) Cho $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{4}.$ Tính giá trị của sinαcosα.

c) Cho $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{1}{2}.$Tính giá tị của biểu thức sin³α + cos³α.

Lời giải:

a) tan³α + cot³α = (tanα + cotα)³ ‒ 3tanαcotα(tanα + cotα)

= (tanα + cotα)³ ‒ 3 (tanα + cotα) (*)

Thay tanα + cotα = 2 vào biểu thức (*) ta có: 2³ ‒ 3.2 = 2.

b) (sinα + cosα)² = sin²α + cos²α + 2 sinαcosα = 1 + 2 sinαcosα.

Do đó $\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha =\frac{1}{2}\left[{(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha )}^2-1\right]=\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{1}{4}\right)}^2-1\right]=-\frac{15}{32}$

c) sin³α + cos³α

= (sinα + cosα)(sin²α ‒ sinαcosα + cos²α)

= (sinα + cosα)(1 ‒ sinαcosα)

Mà $\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha =\frac{1}{2}\left[{(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha )}^2-1\right]=\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-1\right]=-\frac{3}{8}$, nên

${\text{sin}}^3\alpha +{\text{cos}}^3\alpha =\frac{1}{2}\cdot \left[1-\left(-\frac{3}{8}\right)\right]=\frac{1}{2}\cdot \frac{11}{8}=\frac{11}{16}$

Bài 10 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho tanx = 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\frac{3\sin x-4\cos x}{5\sin x+2\cos x};$

b) $\frac{{\sin }^{3}x-2{\cos }^{3}x}{2\sin x+3\cos x}.$

Lời giải:

Vì tanx xác định nên cosx ≠ 0. Chia tử và mẫu của phân thức cho luỹ thừa thích hợp của cosx để biểu diễn biểu thức theo tanx.

a) $\frac{3\text{sin}x-4\text{cos}x}{5\text{sin}x+2\text{cos}x}=\frac{3\cdot \frac{\text{sin}x}{\text{cos}x}-4}{5\cdot \frac{\text{sin}x}{\text{cos}x}+2}$$=\frac{3\text{tan}x-4}{5\text{tan}x+2}=\frac{3.2-4}{5.2+2}=\frac{1}{6}$.

b) $\frac{{\text{sin}}^{3}x+2{\text{cos}}^{3}x}{2\text{sin}x+3\text{cos}x}=\frac{\frac{{\text{sin}}^{3}x}{{\text{cos}}^{3}x}+2}{\left(2\frac{\text{sin}x}{\text{cos}x}+3\right)\cdot \frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}}=\frac{{\text{tan}}^{3}x+2}{\left(2\text{tan}x+3\right)\left({\text{tan}}^{2}x+1\right)}$

$=\frac{2^3+2}{\left(2\cdot 2+3\right)\left(2^2+1\right)}=\frac{2}{7}$

Bài 11 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Độ dài của ngày từ lúc Mặt Trời mọc đến lúc Mặt Trời mọc ở một thành phố X trong ngày thứ t của năm được tính xấp xỉ bởi công thức:

$d\left(t\right)=4\sin \left[\frac{2\pi }{365}\left(t-80\right)\right]+12$ với t ∈ ℤ và 1 ≤ t ≤ 365.

Thành phố X vào  ngày 31 tháng 1 có bao nhiêu giờ có Mặt Trời chiếu sáng? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải:

Thay t = 31 vào công thức trên ta có:

$d\left(31\right)=4\sin \left[\frac{2\pi }{365}\left(31-80\right)\right]+12\approx \mathrm{9,01}$ (giờ)

Vậy thành phố X vào  ngày 31 tháng 1 có 9,01 giờ có Mặt Trời chiếu sáng.